2-656 MDRO

2-656 Méthodes d’aide à la décision en recherche opérationnelle Cours 6
2-656 MDRO - SÉANCE 6
MODÉLISATION AVEC DES VARIABLES EN
NOMBRES ENTIERS
Dans cette séance nous présenterons les principes de base de la modélisation de
problèmes de programmation linéaire où certains aspects nécessitent l'utilisation de
variables en nombres entiers (cf. chapitre 6 du livre). Nous verrons comment définir des
variables entières et quand cela est nécessaire (en tenant compte de la complexité
accrue que cela amène du point de vue de la résolution). Nous verrons aussi comment
utiliser certaines variables entières particulières, les variables binaires ou booléennes,
afin de modéliser certaines situations courantes en gestion (présence de coûts fixes,
contraintes de production minimale ou production en lots, conditions logiques, etc.).
Enfin, nous verrons deux applications de modélisation utilisant de telles variables.

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1. MODÉLISATION AVEC DES NOMBRES ENTIERS
Dans de très nombreux cas, les valeurs des variables d’un
modèle doivent être des nombres entiers :
 problèmes de localisation (p.ex. nombre de garages à
construire)
 problèmes de gestion de personnel (p.ex. nombre
d’employés à engager)
 …
De plus, la modélisation en nombres entiers permet une grande
flexibilité de modélisation (conditions “ si...alors ”, change-
ments par coups, etc.)
Cependant, la contrainte d’intégrité rend ces problèmes
beaucoup plus difficiles à résoudre; on se limite habituellement à
des modèles linéaires (P.L.N.E. ou P.L. mixtes)
Les modèles à variables binaires (i.e. qui ne peuvent prendre
que les valeurs 0 ou 1) sont un cas spécial de modèles à nombres
entiers.
Question : Ne peut-on simplement tronquer ou arrondir les
solutions ?
Réponse : Si la partie tronquée est petite par rapport à la valeur
de la variable, ça peut aller. Mais ce n’est souvent pas le cas.

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2. VARIABLES BINAIRES ET CONDITIONS LOGIQUES
Les variables binaires sont très utiles pour des situations de type
“ oui ” ou “ non ” :
xi = 1 si usine “ i ” construite
= 0 sinon
xijk = 1 si véhicule “ i ” fait le trajet de “ j ” à “ k ”
= 0 sinon
et pour modéliser des conditions logiques (les xi sont binaires ci-
dessous) :
 Paiement d'un coût fixe: si on prend une certaine décision
alors on doit encourir un certain coût fixe Cj .
Pour modéliser ceci on associera une variable binaire xi à la
décision et on ajoutera à la fonction objectif un terme xi×Cj
qui fera comptabiliser le coût fixe Cj seulement si la variable
xi = 1, c-à-d. si on prend la décision qui fait intervenir le coût
fixe.
 Décisions dépendantes : on ne peut “ choisir ” ou “ utiliser ” j
que si i est déjà choisie : xj
xi
 Pas plus de k parmi n possibilités :
x1 + x2 + ... + xn
k

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 Contraintes de lots : Si on achète le titre i, on doit en acheter
au moins 200 unités, mais alors pas plus de 1000.
xi est la variable de décision d’acheter ou non : binaire
yi est la variable de la quantité achetée : entière
200 xi
yi 1000 xi
 Exactement k parmi m contraintes doivent être respectées :
Soit m contraintes :
gi(y1, y2, ... yn)
bi, i = 1, 2, ... m
On introduit m nouvelles variables :
xi = 1 si contrainte “ i ” imposée
= 0 sinon
Chaque contrainte gi(y1, y2, ... yn) bi est remplacée par :
gi(y1, y2, ... yn)
bi xi + M (1- xi)
où M est une très grande constante. On ajoute en plus la
contrainte : x1 + x2 + ... + xn = k
 Autres conditions logiques :
(voir fichier Cond_Logiques.doc)

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Résolution graphique
1) Trouver la région admissible sans la contrainte d’intégralité,
et identifier le point optimal qui y correspond.
2) Identifier les solutions entières dans la région admissible
trouvée.
3) Identifier la solution entière optimale.
Rappel : le fait de relaxer ou enlever une contrainte d’un
problème d’optimisation linéaire agrandit (ou laisse pareille) la
région admissible.
 Ceci est vrai aussi pour la contrainte d’intégralité !
On appelle relaxation linéaire le problème obtenu après
élimination de la contrainte d’intégralité.