Leçon 18

Leçon 18
Induction électromagnétique dans un circuit fixe. Energie magnétique (PC)
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Bibliographie : cours en bloc. Les deux cas ne sont pas séparés. Dans les volumes Elec 2, on utilise les
résultats des équations de Maxwell. Il faut insister sur les inductances & mutuelles, & sur l’énergie ma-
gnétique.
 Ellipses Elec2 : chapitre 5 & 6. Moyen.
 TecDoc Elec 2 : chapitre 17 : léger. TecDoc Ondes : chapitre 2, léger.
 Hachette Elec2 : chapitre 4 & 5, bien. Bien pour les manips.
 Dunod Elec 2 : chapitre 16 & 17. Convenable.
I. DEFINITION. ETUDE EXPERIMENTALE :
1. Définition : dans le cas de Neumann, le circuit est fixe (
v0
), & le champ
B
dépend du temps.
Alors la relation
d
dt tv  
.
se réduit à :
d
dt t
& la loi de Faraday devient :
t
e
. Attention :
il faut impérativement orienter le circuit !
2. Etude expérimentale : le transformateur alimenté au primaire en courant alternatif, & on détecte
un courant induit au secondaire, le circuit magnétique assurant le transfert du flux. Le signe se traduit par
une opposition de phase entre les tensions primaire & secondaire (voir à l’oscillo).
II. ETUDE THEORIQUE :
1. Champ électromoteur :
Cm CCS
dlEdlA
t
dSB
tt
e...
)(
d'où on déduit
que le champ électromoteur vaut
t
A
Em
. N'a d'intérêt que théorique, car le potentiel - vecteur
A
n'est pas connu en général. Le cas de Neumann s'utilisera donc en pratique sous la forme
et
.
2. Propriété du champ de Neumann : à la différence du champ électrostatique, il n’est pas à circu-
lation conservative : il existe à l’intérieur du générateur, & son intégrale sur un circuit fermé donne la
fem du générateur. Le potentiel électrostatique décroît de façon monotone quand on sort du générateur,
& la remontée dans le générateur est due à
m
E
.
3. Equation de Maxwell - Faraday : les équations locales de Maxwell (les postulats) seront écrites
dans le repère lié au circuit, le seul défini sans ambiguïté, donc dans le cas de Neumann. Alors
t
B
E Rot
, équivalent local de la loi de Faraday. Entraîne :
t
A
VEEE mes 
 Grad
. Noter
que l'équation de Maxwell - Faraday redonne la loi :
0 Rot 
E
de l'électrostatique (RP).
III. INDUCTANCE PROPRE & MUTUELLE :
1. Inductance propre : le champ propre
p
B
est proportionnel au courant I (Biot & Savart), donc le
flux propre aussi.

C'est la définition de L :
)(
.
CS pp LISdB 
.
p
B
&
dS
étant tous les deux déduits de I par le
tire-bouchon, L est nécessairement positif. On déduit de la loi de Faraday la fem d’auto-induction :
dt
dI
Le 
, dont l’effet est de s’opposer aux variations de courant (inertie électrique). On peut faire une
manip sur le retard à l’établissement du courant.
2. Inductance mutuelle : entre deux circuits C1 & C2, parcourus par des courants I1 & I2. On a dû
voir plus tôt le potentiel - vecteur d'un circuit filiforme :
C
or
dl
I
A4
. On en déduit le flux échangé
entre les deux circuits :
112 )1( 122 ..)1( CCS
dlAdSB
soit :
2212.)1( IM
avec (formule de Neu-
mann)
12
1 2
21
21 .
4M rdldl
M
C C
o
car forme symétrique. M a un signe quelconque.
Manip : mesure d’une mutuelle par mesure de la tension sur un enroulement secondaire.
IV. ENERGIE MAGNETIQUE :
Dans le cas de Neumann, l'énergie est purement électrique (circuit fixe, pas d'énergie mécanique).
Le courant est alors nécessairement variable.
1. Un seul circuit : puissance électrique
dt
dI
LIIeuI  .P
d'où :
p
ILIW .
2
1
2
12
.
2. Localisation de l’énergie magnétique : à l’aide du solénoïde infini :
I
l
N
NSNSB op  .
d’où on déduit l’inductance
2
2N
lSN
Lo
, puis l’énergie
SluI
lSN
LIWo.
2
1
2
12
2
2
d’où
on déduit la densité d’énergie
o
B
d
dW
u 2
2
1
.
2. Généralisation : pour N circuits, on somme (le facteur ½ pour traduire le double rôle actif &
passif de chaque circuit) :
 N
p
N
qqppq
N
ppp IIMIW 1 11 2
1
2
1
forme quadratique définie positive car
c'est l'intégrale de la densité d'énergie
o
B
u 2
2
. On a Mpp = Lp (action du circuit sur lui-même). Les
termes mixtes
qppq IIM
ne contiennent pas le facteur ½ car ils interviennent deux fois.
3. Couplage : on déduit de la forme quadratique que :
qppq LLM 
2
& le coefficient de couplage K
vérifie la propriété :
10 2
2 qp
pq
LL
M
K
. K = 0 correspond au couplage nul (circuits infiniment éloignés)
& K = 1 au couplage maximal (circuits superposés).