Leçon 18

Leçon 18
Induction électromagnétique dans un circuit fixe. Energie magnétique (PC)
---------------------------Bibliographie : cours en bloc. Les deux cas ne sont pas séparés. Dans les volumes Elec 2, on utilise les
résultats des équations de Maxwell. Il faut insister sur les inductances & mutuelles, & sur l’énergie magnétique.
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Ellipses Elec2 : chapitre 5 & 6. Moyen.
TecDoc Elec 2 : chapitre 17 : léger. TecDoc Ondes : chapitre 2, léger.
Hachette Elec2 : chapitre 4 & 5, bien. Bien pour les manips.
Dunod Elec 2 : chapitre 16 & 17. Convenable.
I. DEFINITION. ETUDE EXPERIMENTALE :

 
1. Définition : dans le cas de Neumann, le circuit est fixe ( v  0 ), & le champ B dépend du temps.
d


d
  

Alors la relation
& la loi de Faraday devient : e  
. Attention :
  v .  se réduit à :
dt t
t
dt t
il faut impérativement orienter le circuit !
2. Etude expérimentale : le transformateur alimenté au primaire en courant alternatif, & on détecte
un courant induit au secondaire, le circuit magnétique assurant le transfert du flux. Le signe se traduit par
une opposition de phase entre les tensions primaire & secondaire (voir à l’oscillo).
II. ETUDE THEORIQUE :

 



   
    B.dS      A.dl    Em .dl d'où on déduit
t
t 
t 

 C
C
 S (C )




A
que le champ électromoteur vaut Em  
. N'a d'intérêt que théorique, car le potentiel - vecteur A
t

n'est pas connu en général. Le cas de Neumann s'utilisera donc en pratique sous la forme e  
.
t
1. Champ électromoteur : e  
2. Propriété du champ de Neumann : à la différence du champ électrostatique, il n’est pas à circulation conservative : il existe à l’intérieur du générateur, & son intégrale sur un circuit fermé donne la
fem du générateur. Le potentiel électrostatique décroît de façon monotone quand on sort du générateur,

& la remontée dans le générateur est due à Em .
3. Equation de Maxwell - Faraday : les équations locales de Maxwell (les postulats) seront écrites
dans le repère lié au circuit, le seul défini sans ambiguïté, donc dans le cas de Neumann.
 Alors


 

B
A
Rot E  
, équivalent local de la loi de Faraday. Entraîne : E  Ees  Em  Grad V 
. Noter
t
t
 
que l'équation de Maxwell - Faraday redonne la loi : Rot E  0 de l'électrostatique (RP).
III. INDUCTANCE PROPRE & MUTUELLE :

1. Inductance propre : le champ propre B p est proportionnel au courant I (Biot & Savart), donc le
flux propre aussi.
C'est la définition de L :  p 



B
.
B
.
d
S

LI
p & dS étant tous les deux déduits de I par le
p

S (C )
tire-bouchon, L est nécessairement positif. On déduit de la loi de Faraday la fem d’auto-induction :
dI
e   L , dont l’effet est de s’opposer aux variations de courant (inertie électrique). On peut faire une
dt
manip sur le retard à l’établissement du courant.
2. Inductance mutuelle : entre deux circuits C1 & C2, parcourus par des courants I1 & I2. On a dû
  I dl
voir plus tôt le potentiel - vecteur d'un circuit filiforme : A  o  . On en déduit le flux échangé
4 r
C


entre les deux circuits :  2 (1)   B2 .dS1   A2 .dl1 soit :  2 (1)  M 21.I 2 avec (formule de NeuS (C1)

mann) M 21  o
4
 
C1 C 2
C1
dl1.dl2
 M12 car forme symétrique. M a un signe quelconque.
r
Manip : mesure d’une mutuelle par mesure de la tension sur un enroulement secondaire.
IV. ENERGIE MAGNETIQUE :
Dans le cas de Neumann, l'énergie est purement électrique (circuit fixe, pas d'énergie mécanique).
Le courant est alors nécessairement variable.
dI
1
1
1. Un seul circuit : puissance électrique P  uI  e. I  LI d'où : W  LI 2  I . p .
2
2
dt
2. Localisation de l’énergie magnétique : à l’aide du solénoïde infini :  p  NSB  NS. o
N
I
l
N 2S
1
1 o N 2 S 2
 N 2 , puis l’énergie W  LI 2 
I  u.Sl  d’où
l
2
2
l
dW 1 B 2
on déduit la densité d’énergie u 
.

d 2 o
d’où on déduit l’inductance L  o
2. Généralisation : pour N circuits, on somme (le facteur ½ pour traduire le double rôle actif &
passif de chaque circuit) : W 
1 N
1 N N
I


 p p 2   M pq I p I q forme quadratique définie positive car
2 p 1
p 1q 1
B2
c'est l'intégrale de la densité d'énergie u 
. On a Mpp = Lp (action du circuit sur lui-même). Les
2 o
termes mixtes M pq I p I q ne contiennent pas le facteur ½ car ils interviennent deux fois.
3. Couplage : on déduit de la forme quadratique que : M 2pq  L p Lq & le coefficient de couplage K
2
vérifie la propriété : 0  K 
M 2pq
L p Lq
 1 . K = 0 correspond au couplage nul (circuits infiniment éloignés)
& K = 1 au couplage maximal (circuits superposés).