05Quantite_de_mouvement

Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique
1 Quantité de mouvement
5. QUANTITE DE MOUVEMENT ET MOMENT CINETIQUE
.1 Quantité de mouvement
Exercice 1 Choc entre une locomotive et d’un wagon
Lors d’une manœuvre, une locomotive de masse m1 = 20 tonnes heurte un wagon de masse
m2 = 10 tonnes au repos.
Avant le choc, la locomotive roulait à une vitesse constante de 9 km.h-1.
Après le choc, la locomotive et le wagon restent accrochés.
Calculez la vitesse de l’ensemble.

v1

v
Avant le choc
- La locomotive ayant une vitesse constante, les actions , poids et réaction des rails, s’exerçant sur la
locomotive se compensent. C’est un système pseudo-isolé
Sa quantité de mouvement est p1  m1 .v1
- Le wagon est au repos : les actions s’exerçant sur le wagon, poids et réaction des rails, se
compensent. C’est un système pseudo-isolé.
Sa quantité de mouvement est p 2  0
- Le système {locomotive +wagon} est pseudo-isolé.
Sa quantité de mouvement est p  p1  p 2 et p  m1 .v1
Après le choc,
Le système {locomotive + wagon} a une vitesse v . Il est soumis à des actions qui se compensent :
c’est un système pseudo-isolé.
Sa quantité de mouvement est p'  (m1  m 2 ). v
Pour ce système qui reste pseudo-isolé avant , pendant et après le choc , il y a conservation de
la quantité de mouvement. Donc p'  p
Soit, m1 .v1  (m1  m 2 ). v . Les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens d’où la relation
entre les valeurs : m1 .v1  (m1  m2 ).v
m1
Soit v 
.v 1
m1  m 2
Application numérique :
20
v = 6 km.h-1
v
.9
20  10
Remarque : il n’est pas nécessaire d’exprimer les masses en kg, car elles interviennent au
numérateur et au dénominateur et leur rapport est sans unité.
Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique
1 Quantité de mouvement
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Exercice N°2 Un homme sur un bateau

v1
d
Un homme de masse m1 = 75 kg debout sur un
bateau immobile de masse m2 = 50 kg est situé à d
= 5 m du quai. L’homme se déplace d’un
mouvement rectiligne uniforme sur le bateau pour
 se rapprocher du quai. Au bout d’une seconde, il ne
v 2 se trouve plus qu’à d’ = 3,8 m du quai.
1°) Montrez que le bateau s’est déplacé et calculez
sa vitesse par rapport au quai en admettant qu’on
puisse négliger les frottements de l’eau sur le
bateau.
2°) De combien l’homme s’est-il déplacé par
rapport au bateau en une seconde. ?
1°) Dans le repère galiléen terrestre,
- le système {bateau + homme} est immobile.
- d’après le principe de l’inertie, il est donc soumis à des actions qui se compensent.
La somme des quantités de mouvement des parties qui le composent est donc constante.
Avant la mise en mouvement Comme au départ, l’homme et le bateau sont immobiles, leur vitesse
est nulle et la quantité de mouvement du système est nulle.
 
p0
Après la mise en mouvement
La vitesse de l’homme est v1 , sa quantité de mouvement est p1  m1 .v1
La vitesse du bateau est v 2 , sa quantité de mouvement est
p 2  m 2 .v 2
La quantité de mouvement du système est
p'  p1  p 2
La conservation de la quantité de mouvement entraîne : p  p' , donc
0  m1 .v1  m 2 .v 2 soit m1 .v1  m 2 .v 2 et
m
v 2   1 v1
m2
Le signe -, indique que les vecteurs sont opposés et que le bateau s’éloigne du quai quand l’homme
s’en rapproche.
Les vecteurs sont colinéaires. Si on appelle, v1 et v2 les valeurs des vitesses, l’équation précédente
m
d  d'
devient v 2  1 v 1 . L’expression de v1 est v 1 
où ∆t est la durée du parcours
m2
t
5  3,8
Application numérique : v 1 
v1 = 1,2 m.s-1
1
75
v2 
 1,2
50
v2 = 1,8 m.s-1 c’est la vitesse à laquelle le bateau s’éloigne du quai.
Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique

2°) v1 est la vitesse de l'homme par rapport à la terre

v 2 est la vitesse du bateau par rapport à la terre

v ' est la vitesse de l'homme par rapport au bateau
  
  
v1 v' v2
v' v1  v2


les vecteurs v1 et v 2 sont colinéaires et de sens opposés :
v’ = v1 + v2
v’ = 1,2 + 1,8
v’ = 3 m.s-1
En une seconde l’homme a avancé de 3 m sur le bateau.
Il risque fort d’être tombé à l’eau !
1 Quantité de mouvement
Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique
1 Quantité de mouvement
Exercice 3 Les boules de billard
Une boule de billard, assimilable à un point matériel, de vitesse v = 0,2 m.s-1 heurte
une deuxième boule de billard identique, initialement immobile.
Après le choc, les trajectoires des deux boules sont perpendiculaires entre elles.
La vitesse de l’une d’elles vaut v1 = 0,1 m.s-1
1. déterminer la direction de la trajectoire de cette boule après le choc
2. quelle est alors le vecteur vitesse de la deuxième boule ?
système : les 2 boules étudiées dans le référentiel terrestre galiléen.
1. Les actions externes (le poids et la
réaction du support) sur le système des
{deux boules} se compensent
La quantité de mouvement du système
reste invariable.

Le vecteur quantité de mouvement p de
la première boule avant le choc est égal à
la somme vectorielle des vecteurs
quantité de mouvement des deux boules
  
après le choc p  p1  p2
B

p2


p  mv
A
α
C
α

p1
Les deux boules sont identiques et ont donc la même masse
m.v  0  m.v1  m.v 2  v  v1  v 2
Application numérique : Les vecteurs quantités de mouvement forment un triangle rectangle ABC

dont. p donne l’hypothénuse AC. Il en est de même pour le triangle bati sur les vecteurs vitesse v
= 0,2 m.s-1 et v1 = 0,1 m.s-1 :
p
v
donc p 1 
v1 
2
2
p
 
1
L’angle α = (p, p1 ) de déviation de la boule (1) est donné par cos   1 ; cos   ; α = 60°
p
2
2. De même dans le triangle rectangle ABC on peut écrire cos(30 ) 
d’où p2 = p .cos(30°) et v2 = v. cos(30°)
3
Application numérique : v 2  0,2 
2
v2 = 0,17 m.s-1
p2
p
Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique
2 Moment cinétique
2. Le moment cinétique
Exercice N° 1 Comment distinguer un œuf dur d’un œuf frais
1. Expérience préliminaire avec un bol d’eau
- Expérience : Mettre à flotter dans le bol, un petit corps léger (miette de pain, petit bout de
bois, petit morceau d’écorce d’orange).
Avec les deux mains, mettre le bol en rotation sur lui-même en prenant appui sur une table.
Observation : quand le bol tourne, on constate que l’objet léger reste sur place ou tourne très
peu.
Explication : l’eau est immobile et n’a pas de raison de tourner quand on tourne le bol : il y a
peu de frottements entre le bol et l’eau.
Conclusion Le moment cinétique de l’eau dans le bol est faible puisque sa vitesse angulaire
est quasi nulle.
Inversement, un corps qui tourne ne s'arrête pas tant qu'aucune force ne vient changer sa rotation.
Par exemple, une toupie qui tournerait dans l’espace interstellaire, sans frottement, poursuivrait
indéfiniment sa rotation.
-
C’est la conservation du moment cinétique."
Avec le moment cinétique, on peut se faire une idée de la manière dont se fait la rotation
d'un objet. Le moment cinétique dépend à la fois de la masse qui tourne, de la façon dont la
masse est répartie autour de l’axe et de la vitesse de rotation."
2. Les facteurs dont dépend le moment cinétique
2.1. Influence de la masse : exemple des toupies.
Si on peut, faire l’expérience avec deux toupies, l’une légère, l’autre lourde
Si on en prend une très légère, il est facile de la faire tourner, mais le moindre frottement l’arrête.
Elle a peu d’inertie de rotation, son moment cinétique est faible.
Maintenant, si on prend une toupie plus lourde, pour la faire tourner, il faut plus d’énergie, mais elle
est plus difficile à arrêter. Son moment cinétique est plus élevé.
- Conclusion Plus un objet qui tourne a une masse importante, plus son moment cinétique
est grand.
2.2. Influence de la répartition de la masse : la patineuse
Il n’y a pas que la masse qui intervienne dans le moment cinétique. C'est aussi une question de
répartition. La patineuse qui tourne est un système isolé: son moment cinétique se conserve. Au
début, quand ses bras sont loin de l’axe de rotation, elle a un certain moment cinétique. Quand elle
rapproche ses bras, il faut que leur vitesse de rotation augmente pour que le moment cinétique soit
conservé.
Et pour ralentir, il suffit de faire l’inverse : écarter à nouveau les bras.
- Conclusion Plus les masses sont loin de l'axe, plus le moment cinétique est important.
. La grandeur qui rend compte de la masse et de sa répartition est le moment d’inertie. Le
moment cinétique augmente quand augmente le moment d’inertie
3. Application : comment distinguer un œuf cru d’un œuf cuit ?.
Il suffit de les faire tourner. Celui qui tourne comme une toupie, est dur. Son moment d’inertie J
est grand car le blanc durci est entrainé avec la coquille, donc son moment cinétique est grand. Si
son moment cinétique est grand il ne s’arrêtera pas facilement (il faudrait des frottements
importants)
Chapitre 5. Quantité de mouvement et Moment cinétique
2 Moment cinétique
Celui qui tourne très peu est frais. Le contenu liquide de l’oeuf, à l’intérieur, ne tourne que très
peu, et les faibles frottements contre la légère coquille finissent par l'arrêter, parce que le moment
cinétique est faible, comme dans le cas de la toupie légère ou de l’eau dans le bol.
Faire l’expérience à titre de vérification !
Exercice 2 Moment cinétique et énergie mécanique : boites de coca sur un plan incliné
Deux boites de coca (cylindriques en aluminium) pleines sont lâchées le long d'un plan
incliné. L'une a son contenu gelé, l'autre pas. Laquelle atteindra la première le bas du plan incliné?
Le système (A){boite de coca liquide} et le système (B) {boite de coca solide} ont la même masse
m, roulent sur le plan incliné. (A) a un moment d’inertie JA. (B) a un moment d’inertie JB> JA
(répartition de la masse qui tourne en même temps que la boite, voir exercice précédent)
Bilan des forces appliquées pour (A),et pour (B)
Le poids, la réaction du plan force de frottement qui lors de roulement ne travaille pas
Loi : seul le poids travaille
Chaque système est donc conservatif, son énergie mécanique E est constante
Expression des énergies
Position 1 : au haut de la pente à l’altitude 0, de référence pour les énergies potentielles.
(A) et (B) partent du même niveau, avec une vitesse nulle (Ec = 0), ils ont la même masse donc la
même énergie potentielle et la même énergie mécanique : E = Ep = 0
Position 2 : au bas de la pente, à l’altitude – h Ect est l’énergie cinétique de translation et Ecrot est
1
1
l’énergie cinétique de rotation. E = Ep + Ect + Ecrot où Ec  mv 2 et Ec rot  J 2 et comme
2
2
2
1 v
v
Ec rot  J 2

2 R
R
Pour les systèmes (A) et (B)
EA = EpA2 + EctA2 + EcArot 2
EB = EpB2 + EctB2 + EcBrot 2
EpA2 = EpB2 = -mgh et EA = EB (systèmes identiques quand ils sont immobiles comme à la positon de
départ)
Il reste EctA2 + EcArot 2 = EctB2 + EcBrot 2
J
J
1
1
2
2
Soit (m  A2 )v A  (m  B2 )v B JB> JA donc vB<vA (A) arrive avant (B). C’est la boite de
2
2
R
R
coca liquide qui arrive la première en bas.
Si vous n’êtes pas convaincu, faites l’expérience !