PPCM – PGCD - Enseignons.be

PPCM – PGCD
1. Activités :
a) On dispose de pièces de verre rectangulaires de dimensions identiques (60 mm
sur 80 mm) mais de couleurs différentes.
On veut assembler ces pièces en les disposant toutes de la même manière afin
d’obtenir un vitrail carré le plus petit possible.
Achève ci-dessous la représentation de ce vitrail.
Ecris les premiers multiples de :
60 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………
80 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………
Ci-dessus, entoure en rouge les multiples communs de 60 et de 80.
Le vitrail est un carré de …………… mm de côté ; ce nombre est le ………………………
…………………………………………………………………………………………………………………… de 60 et 80.

b) Un coffret de jeu pour enfants est destiné à contenir des cubes. Il a pour
dimensions intérieures 36 cm, 20 cm et 6 cm.
Combien peut-il contenir de cubes de 1 cm d’arête ? ………
Peut-il contenir, en étant rempli complètement, des cubes plus grands ? ………………
Si oui, de quelle dimension ? En quel nombre ? ………………………………………………………………
Quelle est la dimension du plus grand cube utilisable ? ………………………………………………
Ecris, dans un ordre croissant, tous les diviseurs de :
6 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
20 : …………………………………………………………………………………………………………………………………………
36 : …………………………………………………………………………………………………………………………………………
Le plus grand cube utilisable est un cube dont l’arête mesure …………… cm ; ce
nombre est le …………………………………………………………………………………………………………………………
de 6, 20 et 36.
2. La décomposition en facteurs premiers :
Rappel :
Facteur : nombre « intervenant » dans une multiplication
Exemple : 2 x 3 = 6 ……… et ……… sont des facteurs.
Nombre premier : nombre qui n’admet que deux diviseurs distincts ; 1 et lui-
même.

Comment diviser un naturel en facteurs premiers ?
- Une succession de divisions permet la décomposition en facteurs premiers.
Exemple :
24
24 = …… x …… x …… x …… = …… x ……
Exercice : décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers
et écris-les sous la forme d’un produit de puissances de facteurs premiers.
84 250
84 = …………………………………………… 250 = ……………………………………………
72 145
72 = …………………………………………… 145 = ……………………………………………

3. Recherche du PPCM de plusieurs nombres :
Théorie :
On appelle plus petit commun multiple de plusieurs nombres, le plus petit multiple
commun de ces nombres autre que zéro. On le note PPCM.
Pour rechercher le PPCM de plusieurs nombres :
1) On décompose chacun des nombres en facteurs premiers
2) On calcule le produit de tous les facteurs différents obtenus, chacun étant
pris avec son plus grand exposant
Exemple : Recherchons le PPCM de 18 et de 24.
On rappelle leur décomposition en facteurs premiers :
18 = 2 x 32 24 = 23 x 3
Pour obtenir le PPCM, on fait le produit de tous les facteurs apparus dans les
décompositions, chacun n’étant cité qu’une fois et affecté de son plus grand
exposant :
PPCM de 18 et de 24 : 23 x 32 = 72
72 est le plus petit des nombres divisibles à la fois par 18 et 24.

Exercices :
a) Détermine le PPCM des nombres suivants.
342 et 36 360 et 378
342 36 360 378
342 = …………………………………………… 360 = ……………………………………………
36 = ……………………………………………… 378 = ……………………………………………
PPCM de 342 et 36 = PPCM de 360 et 378 =
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48 et 144 12 et 35
343 36 12 35
48 = ………………………………………………. 12 = ……………………………………………
144 = ……………………………………………… 35 = ……………………………………………
PPCM de 48 et 144 = PPCM de 12 et 35 =
......................................................... .........................................................