PPCM – PGCD - Enseignons.be
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PPCM – PGCD 1. Activités : a) On dispose de pièces de verre rectangulaires de dimensions identiques (60 mm sur 80 mm) mais de couleurs différentes. On veut assembler ces pièces en les disposant toutes de la même manière afin d’obtenir un vitrail carré le plus petit possible. Achève ci-dessous la représentation de ce vitrail. Ecris les premiers multiples de : 60 : …………………………………………………………………………………………………………………………………… 80 : …………………………………………………………………………………………………………………………………… Ci-dessus, entoure en rouge les multiples communs de 60 et de 80. Le vitrail est un carré de …………… mm de côté ; ce nombre est le ……………………… …………………………………………………………………………………………………………………… de 60 et 80. b) Un coffret de jeu pour enfants est destiné à contenir des cubes. Il a pour dimensions intérieures 36 cm, 20 cm et 6 cm. Combien peut-il contenir de cubes de 1 cm d’arête ? ……… Peut-il contenir, en étant rempli complètement, des cubes plus grands ? ……………… Si oui, de quelle dimension ? En quel nombre ? ……………………………………………………………… Quelle est la dimension du plus grand cube utilisable ? ……………………………………………… Ecris, dans un ordre croissant, tous les diviseurs de : 6 : …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 20 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 36 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………… Le plus grand cube utilisable est un cube dont l’arête mesure …………… cm ; ce nombre est le ………………………………………………………………………………………………………………………… de 6, 20 et 36. 2. La décomposition en facteurs premiers : Rappel : Facteur : nombre « intervenant » dans une multiplication Exemple : 2 x 3 = 6 ……… et ……… sont des facteurs. Nombre premier : nombre qui n’admet que deux diviseurs distincts ; 1 et luimême. Comment diviser un naturel en facteurs premiers ? - Une succession de divisions permet la décomposition en facteurs premiers. Exemple : 24 24 = …… x …… x …… x …… = …… x …… Exercice : décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers et écris-les sous la forme d’un produit de puissances de facteurs premiers. 84 250 84 = …………………………………………… 250 = …………………………………………… 72 145 72 = …………………………………………… 145 = …………………………………………… 3. Recherche du PPCM de plusieurs nombres : Théorie : On appelle plus petit commun multiple de plusieurs nombres, le plus petit multiple commun de ces nombres autre que zéro. On le note PPCM. Pour rechercher le PPCM de plusieurs nombres : 1) On décompose chacun des nombres en facteurs premiers 2) On calcule le produit de tous les facteurs différents obtenus, chacun étant pris avec son plus grand exposant Exemple : Recherchons le PPCM de 18 et de 24. On rappelle leur décomposition en facteurs premiers : 18 = 2 x 3 2 3 24 = 2 x 3 Pour obtenir le PPCM, on fait le produit de tous les facteurs apparus dans les décompositions, chacun n’étant cité qu’une fois et affecté de son plus grand exposant : 3 2 PPCM de 18 et de 24 : 2 x 3 = 72 72 est le plus petit des nombres divisibles à la fois par 18 et 24. Exercices : a) Détermine le PPCM des nombres suivants. 342 et 36 342 360 et 378 36 342 = …………………………………………… 36 = ……………………………………………… PPCM de 342 et 36 = .......................................................... 360 360 = …………………………………………… 378 = …………………………………………… PPCM de 360 et 378 = ......................................................... 48 et 144 343 378 12 et 35 36 48 = ………………………………………………. 144 = ……………………………………………… PPCM de 48 et 144 = ......................................................... 12 35 12 = …………………………………………… 35 = …………………………………………… PPCM de 12 et 35 = ......................................................... 90, 120 et 150 90 120 32, 48 et 72 150 32 90 = ………………………………………………. 120 = ……………………………………………… 150 = ……………………………………………… PPCM de 90, 120 et 150 = …………………………………………………… 48 72 32 = …………………………………………… 48 = …………………………………………… 72 = …………………………………………… PPCM de 32, 48 et 72 = …………………………………………………… b) On utilise le PPCM pour réduire des fractions au même dénominateur afin de les comparer, les additionner ou les soustraire. 1) Complète par < ou > 4 9 3 5 2) Effectue : 3 2 1 + = 5 7 4 5 3 1 + = 7 2 3 7 15 11 20 c) Calcule le PPCM de 7 et de 9. C’est bizarre, dit Eric, on trouve leur ………………… C’est normal reprend Sarah, c’est parce que ces nombres sont ………………………………… (Deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont que « 1 » comme diviseur commun.) Remarque : Le PPCM de plusieurs nombres …………………………………………. est égal à leur …………………. d) Des boîtes de savon en forme de « parallélépipède rectangle » ont les dimensions suivantes : 36mm ; 5,4cm et 0,72dm On veut les emballer sans perdre de la place dans des caisses cubiques les plus petites possibles. Quelle sera la dimension de ces caisses ? Combien de boîte de savon y seront contenues ? 4. Recherche du PGCD de plusieurs nombres : Théorie : On appelle plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, le plus grand diviseur commun de ces nombres. On le note PGCD. Pour rechercher le PGCD de plusieurs nombres : 1) On décompose chacun des nombres en facteurs premiers 2) On calcule le produit de leurs facteurs communs, chacun étant pris avec son plus petit exposant Exemple : Recherchons le PGCD de 75 et de 125. On rappelle leur décomposition en facteurs premiers : 75 = ………………………… 125 = ………………………… PGCD de 75 et de 125 : ……………………………… ……… est le plus grand nombre qui divise à la fois 75 et 125. Exercices : a) Détermine le PGCD des nombres suivants. 120 et 144 120 540 et 168 144 540 120 = …………………………………………… 144 = …………………………………………… PGCD de 120 et 144 = .......................................................... 540 = ………………………………………….. 168 = …………………………………………… PGCD de 540 et 168 = ......................................................... 60, 48 et 160 60 48 168 225, 75 et 525 160 60 = ………………………………………………. 48 = ……………………………………………… 160 = ……………………………………………… PGCD de 60, 48 et 160 = …………………………………………………… 225 75 525 225 = …………………………………………… 75 = ……………………………………………… 525 = …………………………………………… PGCD de 225, 75 et 525 = …………………………………………………… b) Pour rendre une fraction irréductible, il est intéressant de diviser directement son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. Exemple : 72 72 : 18 4 = = 90 90 : 18 5 Complète le tableau suivant : Fraction à rendre irréductible 45 75 125 275 39 52 42 60 450 800 28 70 80 140 PGCD Fraction réduite c) Deux barres de fer, l’une de 360cm et l’autre de 450cm doivent être sciées en un certain nombre de barres de même longueur, la plus longue possible. Recherche la longueur et le nombre de ces nouvelles barres. Remarque : Le produit de deux nombres et égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. PPCM – PGCD : Exercices 1. Recherche le côté du plus grand carré qui quadrille une feuille de papier rectangulaire de 60cm de long et de 45cm de large. Combien de carrés obtiendras-tu ? 2. Quel est le plus petit carré que l’on peut former avec des rectangles de 12 x 16 cm ? Détermine le nombre de rectangles utilisés. 3. On voudrait construire un baril aussi petit que possible, qu’on pût remplir avec un nombre exact de bouteilles ayant chacune les capacités suivantes : 45cl, 75cl et 180cl. Quelle devra être la capacité de ce baril ? Combien contiendra-t-il de bouteilles de chaque sorte ? 4. Un entrepreneur doit couvrir de dalles le sol d’une salle de bain de 4,2m sur 1,8m. Il possède des dalles carrées de diverses dimensions : 20cm de côté, 30cm, 40cm, 50cm et 60cm. Afin de pouvoir n’utiliser que des dalles entières, quelles sont les dimensions qui conviennent ? Dans chaque cas, calcule le nombre de dalles nécessaires. Pour te faciliter la tâche, convertis toutes les données en décimètres. 5. Dans la salle de bain de Julie, deux robinets coulent goutte à goutte. Le robinet d’eau chaude laisse tomber une goute toutes les 18 secondes tandis que celui d’eau froide laisse tomber un goutte, toutes les 15 secondes. Julie constate que les des gouttes viennent de tomber simultanément. Quand cet évènement se reproduira-t-il ? Après avoir entendu la chute simultanée de deux gouttes, Julie entend encore tomber cinq gouttes. Combien de temps devra-t-elle attendre pour entendre la sixième ?
