Nombres premiers

Nombres premiers (un peu d’histoire)
Erastosthène (IIIème s. avant JC). Le crible d’Erastosthène) permet de connaître les nombres premiers
inférieur à un certain entier.
Euclide (IIIème s. avant JC) démontre l’infinité des nombres premiers, par ailleurs dans Les Eléments
(ouvrage de référence, c’est sûrement le plus célèbre de l’histoire des mathématiques.) il traite des
problèmes avec des nombres premiers et des nombres parfaits.
John Wilson (1588-1648) : Théorème de Wilson : « Pour tout nombre premier
p
,
)!1( p
1
est un
multiple de
p
»
Pierre de Fermat (1601 – 1665) : Petit théorème de Fermat, grand théorème de Fermat (démontrer en
1994)
Nombre de Fermat :
n
F
122
n
avec
n
entier naturel
Fermat a cru que tous les nombres Fn étaient premiers, Euler a prouvé que F5 était divisible par 641.
Le père Marin Mersenne (1588-1648), nombre de Mersenne Mn = 2n-1.
Au 24 décembre 2005 le plus grand nombre premier connu était M30402457, il s’écrit avec 9 152 052
chiffres en base 10.
1801 Gauss démontre le théorème fondamental de l’arithmétique : « tout entier naturel n (n>1) se
décompose de manière unique en produit de facteur premiers »
Gustav Dirichlet (1805-1859) Théorème de Dirichlet : « Si
a
et
b
sont deux entiers premiers entre eux,
il existe une infinité de nombres premiers de la forme
ban
»
1845 Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) conjecture « si n>3, entre n et 2n se trouve tou-
jours un nombre premier » et Pafnouti Tchebychev (1821-1894) le démontre.
1978 Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman créent le système R.S.A. Ce système de
cryptographie à clé publique est basé sur la difficulté de factoriser en produit de deux premiers des
grands nombres entiers.
Il nécessite de connaître de « grands » nombres premiers.
Ce système est devenu aujourd’hui indispensables pour les transactions bancaires et le commerce
électronique.
1994. Le grand théorème de Fermat, depuis plus de 300 ans à l’état de conjecture, est démontré par
Andrew Wiles. Son énoncé est « Etant donné un entier
3n
, il est impossible de trouver des entiers
yx,
et
z
tels que
nnn zyx 
»
1999 Un nombre de 155 chiffres (qui servait de clef à un système RSA) a été décomposé en produit de
deux facteurs premiers de 78 chiffres chacun. Le temps cumulé de calcul a été évalué à 8000 Mips (8000
millions d’instructions par seconde pendant un an). Depuis la société RSA recommande des nombres de 309
chiffres, voir 617 chiffres.
Avis : 500 000 $ est le prix attribué par l’ESF (Electronic Frontier Foundation) pour qui découvrira un
nombre premier de plus d’un milliard de chiffres.
Problème non résolus :
- Nombres Jumeaux : Jusqu’à présent, les mathématiciens ne sont pas parvenus à découvrir si
l’ensemble des nombres premiers jumeaux est infini.
Deux nombres premiers dont la différence vaut 2 sont appelés nombres premiers jumeaux, comme 5 et
7, 17 et 19, 101 et 103.
- La conjecture de Goldbach (1690-1764) (mathématicien russe) il conjectura que « tout entier pair
plus grand que 2 est la somme de deux nombres premiers. » Ainsi, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5…
- Autre problème non résolus : « Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme
1
2n
? »
(Exemples : 5=22+12, 17=42+1, 37=62+1,…)