Leçon 8

Leçon 8
TRAVAUX NUMÉRIQUES
LES ÉQUATIONS
Séquence 1 :
Compétence
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier
degré à une inconnue
Des expériences
Complète :
Expérience 1 :
Expérience 2 :
Expérience 3 :
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 1
E.BECCHETTI
Expérience 4 :
Complète : Si on ajoute ou si on soustrait le même nombre dans chaque membre d’une égalité alors cette
égalité reste vérifiée
Propriété
Une égalité reste vraie si on ajoute ou si on soustrait le MÊME nombre dans chaque membre
Soient a, b, c trois nombres : si a = b alors a + c = b + c
Exemples
Si x – 5 = 15 alors x – 5 + 5 = 15 + 5 c’est à dire x = 20
Si x + 3 = 17 alors x + 3 - 3 = 17 – 3 c’est à dire x = 14
Si x + 4 = - 12 alors x + 3 - 4 = - 12 – 4 c’est à dire x = - 16
D’autres expériences
Complète :
Expérience 1 :
Expérience 2 :
Expérience 3 :
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 2
E.BECCHETTI
Complète : Si on multiplie ou si on divise par le même nombre chaque membre d’une égalité alors cette
égalité reste vérifiée
Propriété
Une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise par le MÊME nombre non nul chaque membre
Soient a, b, c trois nombres : si a = b alors a + c = b + c et si c  0 alors Error! = Error!
Exemples
Si Error! = 12 alors Error! x 4 = 12 x 4 c’est à dire x = 48
Si 7x = 42 alors Error! = Error! c’est à dire x = 6
« Balançons » une équation
Dans la pesée ci-dessus, on appelle m la masse du cylindre inconnue.
Écris l’égalité qui traduit l’équilibre de la balance : m + 20 = 50 + 10 10 + 10
On enlève 20g dans chaque plateau.
Écris la nouvelle égalité obtenue : m = 50 + 10 10 + 10 - 20
Quelle est la masse du cylindre ? m = 60
Ce résultat s’appelle la solution de l’équation
D’autres pesées
Complète
100 s ‘appelle la solution de l’équation x + 20 = 120
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 3
E.BECCHETTI
40 s ‘appelle la solution de l’équation 2y = 20 + 20 + 20 +20
160 s ‘appelle la solution de l’équation Error! = 10 + 10 +10 +10
Définition
Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est appelé inconnue. Résoudre une équation c’est
trouver toutes les valeurs du nombre inconnu pour lesquelles l’égalité est vérifiée.
Exemple :
4x + 2 = 22 est une équation
5 est une solution car si on remplace x par 5 on a : 4 x 5 +2 = 22
1 n’est pas une solution car si on remplace x par 1 on a : 4 x 1 + 2  22
Exemple de résolution d’équation
Résoudre l’équation : 4x + 5 = 2x –16
On élimine 5 du membre de gauche en ajoutant –5 dans chaque membre
4x + 5 – 5 = 2x –16 – 5
4x = 2x - 21
On élimine «2x» du membre de droite en ajoutant –2x dans chaque membre
4x - 2x = 2x –21 –2x
2x = -21
On isole x en divisant chaque membre par 2
Error! = Error!
x = Error! soit x = -10,5
Vérification : 4 x Error! + 5 = -42 + 5 = -37
2 Error! - 16 = -21 –17 = -37
La solution de l’équation est Error!
Résolution d’un problème avec une inconnue
Un groupe de personnes dîne au restaurant. A la fin du repas, le groupe paye 75 € et le restaurateur rend
2,90 €. Sachant que la part de chacun est de 10,30 €, quel est le nombre de personnes de ce groupe
Solution
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 4
E.BECCHETTI
Mise en équation
On appelle x la donnée manquante du problème donc ici x sera le nombres de personnes
On met le problème en équation en traduisant en langage mathématique toutes les informations utiles de
l’énoncé
Dans ce problème, chaque membre représentera le prix total du dîner
Celui-ci peut donc s’écrire : 10,30x
Mais ce prix total peut aussi s’écrire : 75 – 2,90
L’équation est donc : 10,30x = 75 – 2,90
Résolution de l’équation
On réduit si possible
Ici 10,30x = 72,10
On utilise la propriété de la multiplication ou de la division dans un égalité pour obtenir la valeur de x
Ici on va diviser les deux membre par 10,30
Error! = Error!
x=7
Vérification
On vérifie que la valeur trouvée est bien solution de l’équation
Ici : 10,30 x 7 = 72,10 et 75 – 2,90 = 72,10
Retour au problème
On répond à la question posée dans le problème
Ici : Il y avait 7 personnes à ce dîner
Résolution d’un problème avec une inconnue et des animaux
Dans une ferme, le grand-père de Laurel (Hardy) élève des canards et de moutons. Un matin, il annonce à
sa petite fille Isabelle qu’il a compté 20 têtes et 66 pattes. Isabelle veut savoir combien son grand-père a
de canards et combien il a de moutons
Solution
Mise en équation
On appelle x la donnée manquante du problème mais ici il y a deux données manquantes. On va alors par
exemple appelé x le nombres de canards
Le nombre de moutons sera alors 20 - x
Le nombre de pattes (en fonction de x) sera : 2x + 4(20 – x)
On met le problème en équation en traduisant en langage mathématique toutes les informations utiles de
l’énoncé
Dans ce problème, chaque membre représentera le nombre total de pattes
Celui-ci peut donc s’écrire : 2x + 4(20 – x)
Mais il peut aussi s’écrire : 66
L’équation est donc : 2x + 4(20 – x) = 66
Résolution de l’équation
Ici on développe
2x + 80 – 4x = 66
On réduit si possible
-2x + 80 = 66
On utilise la propriété de la l’addition ou de la soustraction dans un égalité pour éliminer les termes
numériques dans le premier membre
Ici on va –80 dans les deux membres
-2x + 80 - 80 = 66 - 80
-2x = -14
On utilise la propriété de la multiplication ou de la division dans un égalité pour obtenir la valeur de x
Ici on va diviser les deux membre par -2
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 5
E.BECCHETTI
Error! = Error!
x=7
Vérification
On vérifie que la valeur trouvée est bien solution de l’équation
Ici : 2 x 7 + 4(20 – 7) = 14 + 4 x 13 = 14 + 52 = 66
L’égalité est bien vérifiée
Retour au problème
On répond à la question posée dans le problème
Ici : Il y a donc 7 canards
Le nombre de moutons est donc 20 – 7 = 13
QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 1 - Page 6
E.BECCHETTI