autofocus de projecteur de diapositive
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DM2 asservissement AUTOFOCUS DE PROJECTEUR DE DIAPOSITIVE Principe de fonctionnement Diapositive 4 Foyer auxiliaire 3 Condenseur 2 vers écran Foyer lumineux 1 Objectif Motoréducteur 8 Cellules photoélectriques 6 Chariot Vis Une première diapositive (4) est positionnée par le système de 3 chargement automatique. On règle manuellement l'objectif (5) pour obtenir une image nette sur l'écran. Le but de l'autofocus est de maintenir 4 automatiquement la netteté de l'image au cours des différentes vues malgré un positionnement plus ou moins exact des diapositives. La lampe auxiliaire (3) éclaire la diapositive sous un angle . La surface de la diapositive joue le rôle de miroir et renvoie une tache lumineuse circulaire (en hachuré sur la vue de dessus de la cellule double) Si cette tache est centrée, les deux demi-cellules photoélectriques délivrent la même tension et la tension différentielle V est nulle. Si la diapositive vient à s'écarter de la position initiale (déplacement x), la tache lumineuse se déplace de y et une moitié de cellule reçoit plus de lumière que l'autre : une tension différentielle est alors créée. Cette tension est utilisée pour la 6 commande du moto-réducteur (8). Celui-ci, par l'intermédiaire de la vis (7) déplace l'objectif pour maintenir la netteté. En fait c'est la distance y diapositive - objectif qui est maintenue constante, la cellule étant solidaire de l'objectif. La lampe auxiliaire délivre un faisceau lumineux de 2 mm de diamètre. Les demi-cellules délivrent une tension proportionnelle à la surface éclairée et elles sont montées en opposition. 1/4 x DM2 asservissement 1. Etude du capteur de position 1.1. Donner l'expression du déplacement y de la tache lumineuse en fonction du déplacement x de la diapositive et de l' angle . y = f(x,) Calculer la valeur à donner à l'angle pour obtenir y = 1,5 x V 1.2. Quand la tache lumineuse est entièrement sur une demi-cellule, la tension différentielle est alors de 3V. Calculer l'expression de cette tension différentielle en fonction du déplacement y de la tache lumineuse. V = f(y) 1.3. Tracer V = f(y) pour -1,5 < y < 1,5 ( V en volts et y en mm) 6a 6b 1.4. Calculer le domaine de linéarité à 5 % de V = f(y) (domaine où l'erreur relative entre f(y) et la tangente à l' origine de f(y) est inférieure ou égale à 5 %). y 1.5. Montrer alors que la fonction de transfert du capteur peut se mettre sous la forme d'un gain pur Kc. Calculer Kc. x en mètres V en volts Kc 2. Etude du moteur. 2.1. A partir des équations mécaniques et électriques du moteur à courant continu à flux constant, reproduire et compléter le schéma-bloc (voir annexe). U i + Cm ? Kt ? Ke 2.2. Exprimer la fonction de transfert du moteur H 1 p ( p) . U( p) 2.3. A partir des valeurs numériques données en annexe, montrer que Kt ≈ Ke = K (Kt en Nm/A et Ke en V/rd.s-l). 2.4. En vérifiant numériquement que RJ LK d , pour le moteur employé, montrer que l'on peut mettre H l(P) sous la forme : H 1 p C 1 e p1 em p 2.5. Calculer numériquement C, e, em. L’'inertie du groupe de lentilles de l'objectif (5) rapportée à l'axe du moteur est négligeable devant le moment d'inertie du rotor du moteur. 2.6. En déduire la fonction de transfert numérique H2(p) du système ayant pour entrée la tension du moteur et pour sortie le déplacement d de l'objectif (H2(p) en m/V) : H 2 p d ( p) U( p) 3. Régulation de position. Pour réaliser la régulation de position de l'objectif, on réalise le montage suivant : Amplificateur Correcteur U Motoréducteur et vis-écrou V 2/4 objectif cellules d - + diapositive DM2 asservissement 3.1. Mettre le système sous la forme du schéma-bloc suivant en explicitant H3(P) : A(p) est la fonction de transfert de l'amplificateur correcteur, pert représente la perturbation (mauvais positionnement de la diapositive). pert Réglage initial + + + d x A(p) H3(p) - 3.2. On considère le réglage initial comme position de référence (0). Peut-on négliger le pôle électrique du moteur et prendre le modèle simplifié ci-dessous pour étudier le comportement dynamique du système ? pert + d x A H4(p) - 3.3. Le bloc A est un gain unitaire de valeur Al = 1 et on utilise le modèle simplifié ci-dessus, avec : H 4 ( p) 1,2 p1 0,05p Tracer le diagramme de Bode en boucle ouverte de ce système. 3.4. On règle le gain A à la valeur A3 = 25 (28 dB). 3.4.1. Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée : H 5BF ( p) d ( p) pert ( p) 3.4.2. Mettre cette fonction de transfert sous forme canonique et en déduire m et : H 5BF ( p) 1 1 2 mp 2 p 2 3.5. On règle l'objectif, pour obtenir une image nette sur l'écran, à l'aide de la première diapositive. La deuxième diapositive se positionne avec un écart de 0,1 mm. 3.5.1. Sur quelle distance va se déplacer l'objectif? 3.5.2. Tracer l’évolution du déplacement de l'objectif en fonction du temps (d = f(t)) 3.5.3. En déduire le dépassement et le temps de réponse à 95 %. 4. Etude du courant Sous peine de détruire le bobinage du moteur, le courant impulsionnel qui le traverse ne doit pas dépasser 7 A. On se propose de calculer le courant Imax lors de l'évolution décrite à la question 3.5. 4.1. Donner l'expression littérale de la fonction de transfert : H 6 ( p) Im( p) Um( p) courant moteur issu du modèle du tension moteur moteur obtenu à la question 2.1. 4.2. On néglige le frottement visqueux et la constante de temps électrique e devant la constante de temps électromécanique em et on suppose Kt = Ke. Exprimer littéralement la nouvelle fonction de transfert : H 7 ( p) Im( p) . Um( p) 4.3. A partir de H7(p), calculer numériquement la fonction de transfert H8(p) (on garde le gain A3 = 25) : H 8 ( p) Im( p) . pert ( p) 4.4. En déduire le courant de démarrage pour l'évolution décrite à la question 3.5 (pert = O,1 mm) Confirmer le résultat par l'analyse physique. Risque-t-on de griller le moteur ? 3/4 DM2 asservissement Annexe Le moto-réducteur est constitué d'un moteur RTC type MK 72 320 et d'un réducteur à engrenages RTC type MRA 72. Moteur RTC type MK 72 320 Tension nominale 5,25 V Vitesse à vide 3 000 tr/mn Couple nominal 1 m.Nm Courant nominal 60 mA Résistance d'induit : R 16 Inductance d'induit : L 16 mH Moment d'inertie du rotor : J 9 g.cm2 2,8.10-6 Nm/rd.s-1 Couple de frottement visqueux Kd Réducteur RTC type MRA 72 Charge maximale admissible 30 m.N Force axiale maximale 2N Force radiale maximale 4,5 N Rapport de réduction : 25,85 / 1 Vis sans fin Nombre de filets 1 Pas : 6.10-4 m Objectif Lentilles collées 2 Distance focale 120 mm Poids de l'ensemble 200 g 4/4
