Réponses possibles pour l’activité « Les Aventurier de la règle perdue (1) » Conjectures liées au tableau limité à 42 lignes : - Sur chaque ligne, le nombre de la première case est le nombre de termes à droite (ou à gauche) de 100 dans la somme de la case suivante. - Sur chaque ligne, la case centrale contient la somme d’un nombre impair de nombres entiers consécutifs. - D’une ligne à la suivante, le nombre de termes dans la case centrale augmente de 2. - Sur chaque ligne, dans la case centrale, le dernier nombre de la somme est 100 plus le nombre de la première case ; le premier nombre est 100 moins le nombre de la première case. - Sur chaque ligne, le nombre de termes de la somme est égal à 2 fois le nombre de la première case plus 1. - Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le résultat de la somme écrite dans la seconde. - Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le produit du nombre de termes de la somme écrite dans la seconde case par 100. - Le dernier nombre de la somme de la ligne 42 est 142 (obtenu par 100 + 42). - Le premier nombre de la somme de la ligne 42 est 58 (obtenu par 100 – 42). - Le nombre de termes de la somme de la ligne 42 est 85 (obtenu par 2 42 + 1). - A la ligne 42, le nombre de la dernière case est 8 500 (obtenu par 85 100). - La somme 58 + 59 + … + 141 + 142 contient 85 termes. - La somme 58 + 59 + … + 141 + 142 est égale à 8 500 . Conjectures liées au tableau généralisé: - Sur la ligne n, le dernier nombre de la somme est 100 + n . - Sur la ligne n, le premier nombre de la somme est 100 – n . - Sur la ligne n, le nombre de termes de la somme est 2n + 1 . - Sur la ligne n, le nombre de la dernière case est (2n + 1) 100 . Conjecture plus générale : - La somme d’un nombre impair n de nombres consécutifs est égale à n fois le terme central. Réponses possibles pour l’activité « Les Aventurier de la règle perdue (2) » Conjectures liées au tableau limité à 12 lignes : - Sur chaque ligne, la seconde case contient des puissances de 2 successives à partir de 20. - Sur chaque ligne, le nombre de la première case est l’exposant de la dernière puissance de 2 écrite dans la seconde case. - Sur chaque ligne, la troisième case contient tous les nombres qu’on obtient en additionnant au plus une fois les nombres qui figurent dans la seconde case. - Sur chaque ligne, la troisième case contient tous les nombres de 1 jusqu’à 2 fois le dernier nombre de la case précédente moins 1. - Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le nombre de nombres écrits dans la case précédente. - Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est la somme des nombres écrits dans la seconde case. - D’une ligne à la suivante, le nombre de nombres écrits dans la troisième case est obtenu en multipliant par 2 et en ajoutant 1. - Sur la ligne 12, dans la seconde case, il y a 13 nombres. - Sur la ligne 12, dans la seconde case, on a les puissances de 2 jusqu’à 4 096 (212). - Sur la ligne 12, dans la dernière case, il y a le nombre 8 191 (2 4 096 – 1). - Sur la ligne 12, le nombre de la dernière case est 213 – 1 . - Sur la ligne 12, dans la troisième case, il y a les nombres entiers de 1 jusqu’à 8 191 ; on arrive à tous les écrire en additionnant au plus une fois les nombres de la seconde case. - Sur la ligne 12, le nombre 8 191 de la quatrième case est la somme des 13 nombres écrits dans la seconde case. - On a l’égalité : 20 + 21 + 22 + 23 + … + 211 + 212 = 8 191 - On a l’égalité : 20 + 21 + 22 + 23 + … + 211 + 212 = 213 – 1 - Avec seulement 13 puissances de 2, on peut composer additivement les 8 191 premiers nombres entiers. Conjectures liées au tableau généralisé: - Sur la ligne n, dans la seconde case, on a la suite des puissances de 2 de 20 jusqu’à 2n . - Sur la ligne n, le nombre de la dernière case est 2n + 1 – 1 . - Sur la ligne n, dans la troisième case, on a composé les entiers de 1 à 2 n+1 – 1 en utilisant uniquement les nombres de la case précédente, une fois chacun au plus. Conjectures plus générales : - on a l’égalité : 20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n - 1 + 2n = 2n + 1 – 1 - On obtient tous les nombres entiers de 1 à 2n+1 – 1 en additionnant au plus une fois les nombres de la suite 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; … ; 2n - 1 ; 2n . - Avec seulement n + 1 puissances de 2, on peut composer additivement les 2n+1 – 1 premiers nombres entiers.