les filtres - E

LES FILTRES
AGIR
Conditionnement du Signal
filtrage
L’objectif du conditionnement du signal est de Traiter les informations généralement issues des capteurs.
Cette fonction permet donc :
Adapter le signal électrique pour lui donner la forme la plus appropriée pour son traitement;
Amplifier le signal;
Filtrer les signaux (suppression du bruit et des fréquences indésirables);
Linéariser les signaux sur une étendue de mesure;
Convertir en signaux numériques les grandeurs électriques analogiques;
Introduction sur le filtrage
L’opération de filtrage permet :
d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences indésirables;
d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles.
Les applications sont très variées :
Systèmes de communications (téléphonie, réseaux, …);
Systèmes d’acquisition et traitement des données;
Alimentation électrique;
familles de filtre :
Filtrage analogique (avec composants linéaires R, L,C, AOP);
Filtrage numérique (avec composant programmable);
Filtrage à capacités commutées (avec condensateur + interrupteur)
Dans la famille des filtres analogiques, on distingue :
Les filtres passifs (Composants discrets R, L et C);
Les filtres actifs (Composants discrets R, L et C + ALI).
La transmittance ou fonction de transfert T(jω) d’un quadripôle Q est défini par :
V
e
Quadripôle
Q
V
s
T  j  
Vs
Ve
La transmittance T(jω) représente un nombre complexe, qui possède un module et un argument qui
dépendent de la pulsation ω.
Le module est appelé Amplification noté T(ω) (sans unité) et l’argument φ(ω) est appelé phase (en ° ou rad).
Au lieu de travailler avec l’amplification, on préfère travailler avec le gain exprimé en décibel (dB).
Le gain G s’exprime par :
G    20.log T  j 
Le diagramme de Bode est une représentation graphique permettant de tracer les variations du gain G(ω) et
de la phase φ(ω) en fonction de la pulsation ω.
Il est constitué par 2 graphiques.
DIAGRAMME DE BODE
1 décade
L’axe des abscisses est gradué est échelle logarithmique pour rapprocher les hautes fréquences et les très
basses fréquences sur un même graphique.
La bande passante d’un filtre caractérise la bande de fréquence qui n’est pas éliminer en sortie d’un filtre.
Elle est définit par une borne inférieure et une borne supérieure.
Définition de la bande passante à -3dB
La bande passante à -3dB, est la zone de fréquence pour laquelle on a un gain G supérieur ou égal à Gmax3dB ou
bien, un module de la transmittance T tels que T > Tmax/√2.
L’objectif du filtrage étant de sélectionner une fréquence ou une bande de fréquence, on distingue donc 4
types de filtre idéal (gabarit) :
 Filtre passe bas :
Filtre laissant passer les basses fréquences et élimine les hautes fréquences.
 Filtre passe haut :
Filtre laissant passer les hautes fréquences et élimine les basses fréquences.
 Filtre passe bande :
Filtre laissant passer une bande de fréquence et élimine celles en dehors ce celle-ci.
 Filtre réjecteur de bande (coupe bande) :
Filtre laissant passer toutes les fréquences sauf une bande de
Dans la réalité, il est impossible de réaliser des filtres idéaux.
Par conséquent, les gabarits des filtres sont modifiés tels que :
fréquence.
FILTRAGE ANALOGIQUE
Tous les filtres du premier ordre, ont une fonction de transfert (transmittance) T(jω) de la forme :

0
Vs
T  j  
 T0 .

Ve
1 j
T0 est appelé amplification statique, ω0 la pulsation de coupure.0
1  a. j
Avec cette fonction de transfert, il n’est possible de réaliser que des filtres du type passe bas et passe haut, en
fonction du coefficient a.
Vs
1
T  j  
 T0 .
Fonction de transfert d’un filtre passe bas :

Ve
1 j

0
j
0
Vs
Fonction de transfert du type passe haut : T  j  
 T0 .

Ve
1 j
0
ETUDE D’UN FILTRE PASSIF PASSE BAS DU 1er ORDRE
Considérons le montage ci-contre.
On applique le diviseur de tension, car le courant de sortie est supposé nul.
Donc :
En comparaison avec la forme générale d’un filtre du premier ordre du type passe bas, on obtient :
Calcul de G(ω)
Calcul de φ(ω) :
La bande passante est définit par la zone de fréquence telle que G(ω)=Gmax-3dB, donc pour :
Donc, il faut résoudre :
Cette équation est vérifiée uniquement pour :
Soit, donc pour :
La bande passante BP est donc : BP = [0 ω0].
Parfois, il n’est pas nécessaire de tracer précisément le diagramme de Bode. On ne tracera donc que le
diagramme de Bode asymptotique.
On décompose l’ensemble des fréquences (ou pulsations) en 3 zones :
- fréquence f << f0 ;
- fréquence f >> f0;
- fréquence f = f0.
Etude pour f << f0 :
La transmittance T(jω) peut se simplifier par :
Donc :
Etude pour f >> f0 :
G    20.log T  j 
 20.log 1  0
BF


0
    arctan    arctan  0   0
1

La transmittance T(jω) peut se simplifier par :
Donc :
Dans le diagramme de Bode, l’axe X des abscisses est gradué en X=log(ω), donc le gain en hautes
fréquences, est une droite du type -20X+log(ω0)
Etude pour f = f0 :
La transmittance T(jω) peut se simplifier par :
LES FILTRES ACTIFS
GENERALITES
Les filtres actifs sont composés d’éléments discrets, tels que les résistances, les condensateurs et les
inductances, mais aussi d’un ou plusieurs ALI (AOP).
Pour simplifier les études, on considèrera toujours que ces ALI sont idéaux et qu’ils fonctionnent en régime
linéaire.
Rappel sur les ALI :
ALI = Amplificateur Linéaire Intégré. Appelé aussi AOP
Norme française
Norme américaine
+
S
+
-
S
-
-
On omet généralement de placer les bornes d’alimentation.
Tension différentielle :
  V  V 
L’ALI se comporte comme un amplificateur
 V  V  
Vs  Avd . V   V   Avc . 

2


= amplification en mode différentiel (ex : 105)
= amplification en mode commun (environ 1)

A vd
A vc
Donc :


Vs  Avd . V   V   Avd .

La tension de sortie est limitée en théorie à l’intervalle [+Vcc;-Vcc]. En
réalité, à [+Vsat;-Vsat].
+Vcc - Vsat est appelée tension de déchet (de l’ordre de 1 à 2 V) sauf pour
les ALI dit « rail to rail » (qqs millivolts).
 
Vcc 15

 150V
Avd 105
Cette tension est très faible. Un ALI n’est donc jamais utilisé en boucle ouverte pour amplifier un signal.
Nécessité d’une boucle de réaction
  V   V 

Vs  Avd .
V   Ve

R1
 
V  Vs. R  R  k .Vs
1
0

On peut donc modéliser le fonctionnement du montage ci-dessus par :
La loi d’entrée/sortie est donnée par la relation de Black :
Donc
Or A vd est très grand, donc :
R
Vs  R1  R2 

 1 2
Ve
R1
R1
Étude de la stabilité :
V
e
+
ε
Avd
Vs
V-
k
Il y a donc compensation. Un point d’équilibre est possible. On dit que le montage est stable.
Le montage est dit en fonctionnement linéaire.
- Impédance d’entrée différentielle infinie Ze : → i + = i - = 0
- Impédance de sortie nulle Zs : → Vs indépendant du courant de sortie
- Amplification différentielle Avd infinie : → En régime linéaire ε = 0 → V+ = VOn a donc pour chaque ALI :   0  V   V 
 

i  i  0
 A  
 vd
ETUDE DES FILTRES DU 1er ORDRE
Les structures générales des filtres actifs du premier ordre sont données ci-dessous. Elles diffèrent selon le
type de montage de l’ALI (montage inverseur, non inverseur ou suiveur).
Montage suiveur
Diviseur de tension car i+=0.
Donc :
Montage non inverseur
Montage inverseur
EXEMPLES DE STRUCTURES
L’étude d’un tel filtre a les mêmes objectifs que l’étude d’un
filtre passif. Nous devons pouvoir connaître et tracer les
réactions de la structure étudiée en gain et en phase en
fonction de la grandeur électrique qu’on lui imposera en
entrée.
On calcul littéralement Z1 ;Z2 en fonction des R,C,J, si nécessaire.
-
On calcul littéralement Vs en fonction de Ve, Z1, Z2.
-
On remplace Z1 et Z2 dans l’équation de Vs mais sous la forme complexe.
-
On essaye de mettre la fonction de transfert Av = Vs / Ve sous une forme plus simple à exploiter en
complexe.
-
On calcul le module Av
-
On trace la courbe de gain en fonction de la fréquence
Fréquence (Hz)
0
0,1Fc
Fc
Vs / Ve
G = 20 log | Av|
On calcul la phase du signal Vs en fonction de la fréquence.
Fréquence (Hz)
Vs / Ve
Arctg  = (-b/a)
0
0,1Fc
Fc
10Fc
100Fc
10Fc
100Fc
FILTRE PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE
L’entrée inverseuse de l’AO est masse virtuelle, son potentiel est
nul.
Appliquons lui le théorème de Millman :
Ve
1
 (  jC ).Vs  0
R1
R
soit
 Pulsation de coupure

1
1
0 
f 0 
RC
2 2RC
AN : R = 1k
C = 220 nF
0 = 4545 rad/s
f0 = 723,5 Hz
ETUDE DES FILTRES DU 2nd ORDRE
Ecrire les 2 lois des nœuds en A et B.
Exprimer les différents courants en fonction des différentes tensions et des impédances (ou admittances).
Supprimer les tensions inintéressantes.
Vs
Ve

Y1.Y3
1

Z1.Z 3
Z1 Z1 Z 3 Z1.Z 3
Y1.Y5  Y2 .Y5  Y3 .Y4  Y3 .Y5  Y4 .Y5




Z 4 Z 5 Z 5 Z 2 .Z 5 Z 4 .Z 5
FILTRE PASSE-BAS DU SECOND ORDRE
AO idéal donc VA = VA’ d’autre part VA’ = VA = Vs
VA  Vs 
Théorème de Millman en A
VB
R
1
 jC 
R
VB  Vs.(1  jRC)
Ve
Vs
 2 jC.Vs 
R
VB  R
2
 2 jC 
R
Théorème de Millman en B
En égalant les deux expressions de VB :
Ve 
1
1

  2 jC   .Vs  2.Vs.(1  jRC ).  jC  
R 
R
R

1
H
1  2 jRC   2(RC ) 2
soit
Pulsation de coupure
H
Posons x = RC pour alléger l’écriture
G
1
1  2x 2  2 jx
1
G MAX
(1  2 x )  4.x
2 soit x tel que
Gain
pulsation de coupure pour x tel que
1
x0 
2 2
2
2
(GMAX étant égal à 1) (1  2x )  4.x  2 ou 1 + 4.x4 = 2 soit
1
1
0 
f0 
2RC et
2 2RC
Finalement
A .N.
R = 33 k
2 2
G
2
C = 10 nF
0 = 2142 rad/s
f0 = 341 Hz
soit
FILTRE PASSE BANDE
Ve
 jC.Vs
1 R
VA 
2 1  jC
R
Théorème de Millman en A
Théorème de Millman en B, en tenant compte du fait que B est masse
Vs
 jC .VA  0
R
virtuelle
ou
1  jRC 
Ve  jRC .Vs  2.Vs.
jRC 
En égalant les deux expressions de VA :
 jRC 
H
2  (RC ) 2  2 jRC 
soit
VA  
Vs
jRC 
 Gain :
H
Posons encore x = RC
 Gain maximal
 jx
2  ( x ) 2  2 jx
Calculons la dérivée du gain par rapport à x
G
x
(2  x 2 ) 2  4.x 2

exercice1
Exercice2
Exercice3
On considère un filtre actif dont le schéma est donné ci-dessous sur la figure 1.
On a tracé pour ce filtre le diagramme de Bode comprenant deux graphes :
US
) en fonction de f : fréquence
UE
-  = us/ue en fonction de f : fréquence
4  x4
dG
4  x4

dx (4  x 4 ) 3 / 2 qui s’annule pour x m  2
EXERCICES
G  20log(
x
1. A la vue du diagramme de Bode précédemment tracé, quelle est la nature du filtre étudié ? Justifier votre
réponse.
2. Quelle est la valeur du gain maximum noté GMAX ?
3. Déduire de la valeur du gain maximum, le module de la fonction de transfert maximum, noté IITIIMAX.
Sachant que IITIIMAX = R2 / R1 et que R2 = 47 k, déterminer la valeur du résistor R1.
4. Rechercher graphiquement la fréquence de coupure à – 3 dB de ce filtre.
5. Sachant que cette fréquence est telle que fC = 1 / (2R2C), déterminer la capacité du condensateur C
sachant que R2 = 47 k.
6. Que vaut us/ue pour la fréquence de coupure fC ?
7. Quelle est la pente en dB/décade de l’asymptote oblique à la caractéristique du gain en fonction de la
fréquence ?
Exercice4
On se propose d’étudier, de façon théorique un filtre actif. Le schéma du filtre est fourni sur la figure 2.
1. Déterminer l’expression de la fonction de transfert T = US / UE de ce filtre
en fonction de R1, R2, C et .
2. En déduire l’expression de IITII, module de la fonction de transfert T du
filtre.
3. Rechercher les limites de IITII lorsque la fréquence f tend vers 0 et lorsque
la fréquence f tend vers .
4. Déduire de la question 3, la nature du filtre étudié.
5.On veut obtenir IITIIMAX = 4,7.Quelle valeur doit-on donner au résistor
R1sachant que le résistor R2 = 47 k ?
6. Déterminer l’expression de la fréquence de coupure à - 3 dB de ce filtre.
7. Quelle valeur doit-on donner à la capacité du condensateur C pour obtenir une fréquence de coupure à - 3
dB égale à 230 Hz ? (le résistor R2 est inchangé soit R2 = 47 k)
8. Que vaut la différence de phase us / ue pour f = fC : fréquence de coupure à - 3 dB ?