Modèle utilisé dans BddP

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Numération
I.
Les systèmes de numération __________________________________________________ 2
A.
1.
2.
B.
Un système hybride (Sino-japonais) __________________________________________ 2
C.
1.
2.
II.
Les systèmes de numération additives ________________________________________ 2
Le système égyptien ______________________________________________________ 2
Le système romain ________________________________________________________ 2
Les systèmes positionnels __________________________________________________ 2
Le système décimal. ______________________________________________________ 2
Les systèmes de base n ___________________________________________________ 2
Arithmétique ________________________________________________________________ 3
A.
1.
2.
3.
Multiples et diviseurs _______________________________________________________
Définitions et propriétés ____________________________________________________
Caractères de divisibilité ___________________________________________________
Diviseur d’un entier naturel _________________________________________________
1.
2.
Nombres premiers _________________________________________________________ 4
Définition _______________________________________________________________ 4
Méthode pourprouver qu’un nombre est premier ________________________________ 4
1.
2.
3.
Diviseurs commun et PGCD _________________________________________________
Méthodes pour calculer le PGCD. ____________________________________________
Utilisations du PGCD. _____________________________________________________
Nombres premiers entre eux ou étranger ______________________________________
4
4
4
5
1.
2.
3.
Multiples communs et PPCM ________________________________________________
Définition _______________________________________________________________
Méthode pour calculer le PPCM _____________________________________________
propriétés _______________________________________________________________
5
5
5
5
1.
2.
3.
Parité et imparité des entiers naturels _________________________________________
Nombres pairs ___________________________________________________________
Nombres impairs _________________________________________________________
Conséquences ___________________________________________________________
5
5
5
5
B.
C.
D.
E.
III.
3
3
3
4
Les ensembles ______________________________________________________________ 6
A.
1.
2.
Les ensembles ____________________________________________________________ 6
Les différents ensembles de nombres. ________________________________________ 6
Cardinal d’un ensemble ____________________________________________________ 7
1.
2.
3.
Les nombres rationels et réels. ______________________________________________
Nombres rationnels positifs _________________________________________________
Nombres rationnels décimaux et non décimaux _________________________________
Valeur approchée _________________________________________________________
B.
IV.
7
7
8
8
Didactique des nombres ____________________________________________________ 9
A.
1.
2.
Pour clarifier le domaine numérique __________________________________________ 9
Des nombres pour quels usages ? ___________________________________________ 9
Quelques nombres de la géométrie ___________________________________________ 9
1.
2.
3.
4.
les enseignements numériques à l’école_______________________________________ 9
La construction du nombre chez l’enfant. ______________________________________ 9
L’utilisation des nombres à l’école. ___________________________________________ 9
l’enseignement de la numération à l’école. ____________________________________ 10
Le nombre dans les programmes de l’école élémentaire _________________________ 10
B.
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I.
Les systèmes de numération
A. Les systèmes de numération additives
1. Le système égyptien




Chaque signe représente une puissance de 10 ; il y a donc une infinité de signe.
Il n’y a pas de zéro (inutile !)
Pour trouver la valeur du nombre, il suffit d’ajouter les valeurs représentées par chaque
signe.
Le nombre de signes ne donne aucune indication sur la taille du nombre.
2. Le système romain
Symbole
romain
I
V
X
L
Valeur
1
5
10
50
Symbole
romain
C
D
M
Valeur
100
500
1000
Pas de symbole zero
Aménagement du système additifs romain pour alléger les écritures :


Utilisation d’écritures soustractives : IX au lieu de VIIII
Utilisation du surlignement pour écrire les grands nombres : la valeur d’un symbole surligné
est multiplié par 1 000.
B. Un système hybride (Sino-japonais)
Deux sortes de signes :
 Des signes pour désigner chaque puissance de la base
 Des signes pour désigner les nombres inférieurs à la base
C. Les systèmes positionnels
1. Le système décimal.




10 signes sont nécessaires pour écrire autant de nombres entiers qu’on veut
La valeur du chiffre dépend de sa position
Le zéro indique une absence de quantité associée à une puissance de 10
Plus le nombre de chiffre est important, plus le nombre entier est grand.
2. Les systèmes de base n
Un système de base b a b symboles ; de 0 à b-1 avec b >= 2.
=> c’est la taille du groupement que l’on appelle la base.
Le sytème décimal est en fait un système de base 10.
Les symboles :
Si b > 10 on utilise les chiffres de 0 à 9 puis des lettres majuscules.
Les nombres se décomposent de droite à gauche, partant des éléments isolés puis en allant vers les
paquets de p éléments. Ainsi (xyzt)p = tb0 + zb1 + yb² + xb3
a) Passage de base b en base 10
Pour passer de base b en base 10, il faut décomposer le nombre tel que ci-dessus puis calculer le
résultat.
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b) Passage de base 10 en base b
Utilisation de la division euclidienne
Si n < b, il n'y a rien à faire : l'écriture en base b est la même que l'écriture en base dix et est n. On
divise n par b : n = b*q + r avec 0 ≤ r < b).
Le reste r de la division euclidienne de n par b (r:=reste(n,b)) donne le dernier chiffre de l'écriture en
base b de n. L'avant dernier chiffre de l'écriture en base b de n sera donné par le le reste de la
division euclidienne de q (q:=quotient(n,b)) par b. On fait donc une boucle en remplacant n par q
(n:=quotient(n,b)) tant que n ≥ b en mettant à chaque étape r:=reste(n,b) au début de la liste qui doit
renvoyer le résultat.
Recherche de la plus grande puissance de b pour trouver les groupement
Ex avec 155
4° = 1 ; 41 = 4 ; 4²=16 ; = 64 et 45 = 256.
On fera donc des regroupements par 64.
155 / 64 = 2*64 + 27
De même on cherche le regroupement de 27 soit 16
Et on trouve que 27 = 1*16 + 11 et 11 = 2*4 +3
 155 = 2*43 + 1*4² + 2*4 +3
 155 = (2123)4
II. Arithmétique
A. Multiples et diviseurs
1. Définitions et propriétés
Un entier naturel p est un multiple d’un autre entier non nul q s’il existe un nombre entier k tel que p =
qxk
On peut alors dire que p est divisible par q ou que q est un diviseur de p.
Propriétés



Un nombre entier n non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs.
Zéro ne connais qu’un seul multiple : lui-même et a une infinité de diviseurs.
Zéro n’est le diviseur d’aucun nombre.
2. Caractères de divisibilité
Divisibilité par
2
4
5
25
3 et 9
11
6
Caractères
Le chiffre des unités est un chiffre pair + 0
Si le nombre formé des unités et des dizaines est divisible par 4
Si le chiffre des unités est divisible par 0 ou 5
Si le nombre formé des unités et des dizaines est 0, 25, 50 ou 75
Si la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9 selon
Méthode 1
On calcule la somme des chiffres de rang impair
Exemple : le nombre donné est 47311. La somme de rang impair est 1 + 3 + 4 = 8
. On calcule la somme des chiffres de rang pair 2u.
Exemple : la somme de rang pair est 1 + 7 = 8
. On calcule la différence des deux nombres obtenus.
Exemple : 8 - 8 = 0
. Le nombre initial est divisible par 11 si le nombre obtenu est divisible par 11.
Exemple : 0 est divisible par 11, donc 47311 l'est aussi
Ou
Quand c’est un nombre à 3 chiffres, la sommes des extrêmes doit être égal au
chiffre du milieu
S'il est divisible à la fois par 2 ET par 3.
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La somme de deux entiers divisibles par a est divisible par a
3. Diviseur d’un entier naturel
Tout entier naturel > 1 peut se décomposer de manière unique en un produit de nombres premiers.
Pour trouver tous les diviseurs.


Décomposer le nombre en facteurs premiers.
Les diviseurs sont l’ensemble des nombres obtenus par la multiplication de chaque facteur à la
puissance de 0 à celle obtenu lors de la décomposition en facteurs.
Nombre de diviseurs.

Multiplier les exposants de facteurs obtenus lors de la déc omposition additionnés de 1.
B. Nombres premiers
1. Définition
Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Nombre premiers inférieurs à 40 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
Remarques :
 Infinité de nombre premiers
 2 est le seul nombre pair
 1 n’est pas premier
2. Méthode pourprouver qu’un nombre est premier
Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d’essayer de le diviser par tous les nombres premiers
inférieurs à
n
C. Diviseurs commun et PGCD
PGCD = plus grand diviseur commun de deux nombres.
Notation : PGCD(p ; q)
1. Méthodes pour calculer le PGCD.
a) Méthode 1 : utilisation de la décomposition en facteurs premiers.
Décomposer p et q en facteurs premiers
PGCD = produit de chacun des facteurs communs à p et à q, élevés à la plus faible des deux
puissances rencontrées dans les décompositions de p et de q.
b) Méthode 2 : algorithme d’Euclide
Soit p > q. On effectue la division euclidienne de p par q. Si r, lre reste, est nul alors le PGCD de p et
de q n’est autre que q.
Sinon, on effectue la division de q par r. On obtient alors r’.
Ainsi de suite jusqu’à obtenir un nouveau reste nul.
c) Méthode 3
On peut écrire que PGCD(p ; q) = PGCD(q ; p-q). Si q et p-q sont égaux alors ils sont aussi égaux à
leur PGCD. Sinon, on peut a nouveau calculer la différence entre le plus grand et le plus petit d’entre
eux et ainsi de suite jusqu’à obtenir deux nombre égaux : le PGCD.
2. Utilisations du PGCD.


Déterminer l’ensemble des diviseurs communs de deux nombres : Ce sont ceux du PGCD.
Rendre une fraction irréductible
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3. Nombres premiers entre eux ou étranger
Définition
Deux nombres entiers naturels non nuls p et q sont dit premiers entre eux ou étrangers si leur PGCD
est égal à 1, c’est à dire s’ils ne possèdent que 1 pour diviseur commun.
Propriété
Si deux nombres entiers naturels non nuls p et q sont des diviseurs d’un autre nombre entier naturel n
et si, par ailleurs, p et q sont premiers en eux , alors le produitp x q est aussi un diviseur de n.
Théorème de Gauss
Soit a, b et k, trois nombres entiers naturels non nuls. Si k divise le produit a xb et si k est premier
avec a, alors k divise b.
D. Multiples communs et PPCM
1. Définition
C’est le plus petit multiple commun aux entiers p et q. On le note PPCM(p ; q)
2. Méthode pour calculer le PPCM
Décomposer p et q en facteurs premiers
PPCM = produit de chacun des facteurs communs à p et à q, élevés à la plus forte des deux
puissances rencontrées dans les décompositions de p et de q.
3. propriétés


Tout multiple de p et de q est un multiple de leur PPCM. Donc si n est un multiple commun
à p et a q alors il existe un entier naturel k tel que : n = k x PPCM(p ; q)
Pour tout couple d’entiers naturels (p ; q), on a : p x q = PGCD(p ; q) x PPCM(p ; q)
E. Parité et imparité des entiers naturels
1. Nombres pairs
Un nombre est pair s’il vérifie l’une des propriétés suivantes :
 Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
 Le reste de la division euclidienne par 2 est 0
2. Nombres impairs
Un entier est impair s’il vérifie l’une des propriétés suivantes :
 Le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9
 Le reste de la division euclidienne par 2 est 1.
3. Conséquences
p et q pairs
p et q impairs
p pair et q impair
Somme p + q
Paire
Paire
Impaire
Produit p x q
Pair
Impair
pair
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III. Les ensembles
A. Les ensembles
1. Les différents ensembles de nombres.
a) Du point de vue des ensembles
* N ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2…
* Z ensemble des entiers relatifs : -2, -1, 0, 1, 2…
* D ensemble des décimaux :
 A x 10n
 A / 2m x 5n
 Ecriture décimale avec une partie entière (qui peut être nulle) et une partie décimale (après
la virgule) qui comporte un nombre limité de décimales
* Q ensemble des rationnels : a / b
 Ecriture décimale avec une partie entière (qui peut être nulle) et une partie décimale (après
la virgule) qui comporte une partie décimale illimitée et périodique
* R ensemble des réels
* C ensemble des complexes
 Irrationnels algébriques comme racine carré de 2
 Irrationnels transcendants comme 
 Ecriture décimale avec une partie entière (qui peut être nulle) et une partie décimale (après
la virgule) qui comporte une partie décimale illimitée et non périodique
On a donc : N  Z  D  Q  R
Période : chiffre ou ensemble de chiffres qui se répètent indéfiniment après la virgule.
b) Du point de vue de l’algèbre
Tous les ensembles de nombres jusqu’à R inclus sont munis d’une relation d’ordre notée ≤
Structure de groupe
Trois conditions :



Un ensemble
G
Au moins un élément => non vide
Une loi de composition interne =>une opération binaire *
en quatre points




Ensemble clos ou fermé
Quelque soit deux éléments de l'ensemble G, leur combinaison
donne un élément de l'ensemble G ; (x , y G) x * y G
Il existe une opération qui ne change rien; x G e * x = x * e = x
Il existe une opération inverse qui ramène au point de départ
e
; x G, x-1 x * x-1 = x-1 * e =
Je peux combiner des opérations; (x , y, z G) x * (y * z) = (x * y) * z
On symbolise ce groupe par la notation ( G , * )
Propriétés du groupe Abélien
Elément neutre : L'élément e est appelé identité du groupe ( G , * ) ; Il est unique
Inverse : L'élément x-1 est appelé l'inverse de x. Il est unique Soit un groupe ( G , * ) et un élément x
de G, il n'existe qu'un seul élément y de G tel que x * y = y * x = e
Associativité : x * y * z = x * (y * z) = (x * y) * z
Groupe commutatif ou abélien : x * y = y * x
Anneau
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Un anneau A est un groupe abélien (dont on notera additivement la loi) qui est en outre muni d'une loi
interne * (notée multiplicativement) qui est associative et distributive sur la loi de groupe additif de A,
et qui possède un élément neutre (en général noté 1).
Si cette loi est en outre commutative, on dit que A est un anneau commutatif. Exemples d'anneau :
L'anneau commutatif (Z,+,≤) des entiers relatifs.
Corps
Un corps K est un anneau tel que K* = (K-{0},*) est un groupe (c'est-à-dire que tout élément de K* est
inversible pour la loi multiplicative). Si en outre K* est commutatif, alors on dit que K est un corps
commutatif.
Exemples de corps :
 Le corps (commutatif) Q (Q,+,x,≤) des rationnels.
 Le corps R (R,+,x, ≤) des réels.
c) Du point de vue de l’analyse




N et Z sont deux ensembles infinis discrets : entre deux entiers il existe un nombre fini d’entiers.
D et Q sont deux ensembles infinis denses : on peut toujours trouver un rationnel (décimal) entre
deux rationnels (décimaux)
Il y a dans Q des « trous » : les irrationnels.
R est une ensemble continu
2. Cardinal d’un ensemble
Le cardinal d'un ensemble fini E désigne le nombre d'éléments de E.
Dans le cas des ensembles infinis on ne peut plus parler de nombre.
Dire que deux ensembles ont le même cardianl signifie qu’il existe une bijection de l’un vers l’autre.
B. Les nombres rationels et réels.
1. Nombres rationnels positifs
a) Signification de l’écriture
Soit deux entiers positifs a et b (b <> 0), l’écriture
a
b
a désigne un nombre rationnel.
b
Ce nombre est :
 La solution de l’équation b*x = a ; on le note aussi a : b
 La mesure d’une grandeur qui comprend a parts mesurant chacune le bième de l’unité.
b) Fractions équivalentes
Soient r, un rationnel ; r = a et k un entier non nul.
b
a = kxa
b kxb
c) Fraction irréductible.
Parmis toutes les fractions équivalentes qui représentent r, il y en a une seule sur laquelle le
numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Cette fraction est dite irréductible ou réduite.
 Pour obtenir une fraction irréductible, il suffit de diviser a et b par leur PGCD.
 Pour ramener deux fractions au même dénominateur, il faut utiliser le PPCM qui sera le
dénominateur commun.
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2. Nombres rationnels décimaux et non décimaux
a) Ecriture fractionnaire et écriture à virgule.
Ecriture fractionnaire

Rationnel décimal positif
La fraction irréductible qui représente un
rationnel décimal positif est de la forme

N
oà N, p et q sont des
2exp p*5exp q

entiers naturels.
Parmis les fractions équivalentes

certaines sont de la forme
Ecriture à virgule


auncune n’est de la forme
A où A
10exp n
entier naturel
A où A
10exp n
entier naturel
La partie après la virgule contient un
nombre fini de chiffres.
Peut être représenté sous la forme d’une
écriture à virgule illimitée dont les chiffres
sont tous égaux à 0 à partir d’un certain
rang.
Peut être représenté sous la forme d’une
écriture à virgule illimitée dont les chiffres
sont tous égaux à 9 à partir d’un certain
rang.

Rationnel non décimal positif
Le dénominateur de la fraction
irréductible comporte au moins un facteur
premier différent de 2 ou 5
Parmis les fractions équivalentes

Peut être représenté sous la forme d’une
écriture à virgule illimitée la partie après
la virgule est périodique à partir d’un
certain rang.
b) Passage d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule
Cas d’un rationnel décimal.
Il suffit de poser la division. Elle s’arrêtera lorsque le reste sera nul.
Cas d’un rationnel non décimal.
Il faut poser la division et s’arrêter lorsqu’on a trouvé la période (on revient à la division de départ)
c) Passage d’une écriture à virgule à une écriture fractionnaire
Cas d’un rationnel décimal.
Il suffit de multiplier par 10n le numérateur et le dénominateur avec n = nombre de chiffres après la
virgule.
Cas d’un rationnel non décimal.
Soit N le rationnel avec une péride de p chiffres
Calculer 10p x N –N = T
D’où N = T / (10p –1)
Essayer ensuite de réduire la fraction obtenue.
3. Valeur approchée
Soit a, x 2 nombres et  >0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à  près (ou à la
précision  près) quand |x-a 
Définition :
Soit a, x réels et  > 0,
 a est une valeur approchée de x à  près par défaut si a  x  a +
 a est une valeur approchée de x à  près par excès si a - xa
Propriétés

:
Soit x tel que a x b, une valeur approchée de x est c = (a+b) / 2. La précision est  = (ba) / 2 et c est une valeur approchée de x à  près soit : x-c .
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

Si x tel que ax b et que c a b  d alors on a : c a x b d
Si x tel que ax b, un majorant de x est le plus grand nombre en valeur absolue a ou b
IV. Didactique des nombres
A. Pour clarifier le domaine numérique
1. Des nombres pour quels usages ?
 Nombres utilisés en tant que désignation. Ex : le dossard 3 ou un n° de téléphone
 Nombres utilisés en tant qu’ordinal : comptine, numérotation de chapitres.
 Nombres utilisés en tant que cardinal = nombre d’éléments.
2. Quelques nombres de la géométrie
2 = hypothénuse d’un triangle rectangle isoclèe de coté 1
la hauteur du triangle équilatéral de coté 1 a pour valeur
φ = nombre d’or =
3/2
1 5
2
B. les enseignements numériques à l’école
1. La construction du nombre chez l’enfant.





Pour PIAGET, l’enfant utilise les nombres de manière intuitive et empirique.
GELMAN : 5 principes de comptage :
 Une désignation et une seule pour chaque objet
 La comptine suit un ordre institué
 Le numéro du dernier nommé désigne le cardinal recherché
 La nature des objets comptés n’importe pas sur le nombre
 La façon dont on compte n’influe par sur le nombre
L’utilisation de la comptine comme outil de dénombrement est un outil de plus pour la construction
du nombre. (GRECO et FUSON)
Différence de réussite selon que la tâche est dynamique (partager, compter) ou statique
(comparer) (MELJAC)
Rôle de la mémoire : chez le jeune enfant, le traitement immédiat de l’information est peu étendu
et peu rapide ; les progrès de l’enfant sont favorisés par des activités mnémoniques faclilitant la
structuration et le stockage. (RICHARD).
2. L’utilisation des nombres à l’école.
a) Pour évaluer ou comparer.
Importance du rôle joué par l’écriture : les aspects syntaxiques recouvrent le codage et les règles de
fonctionnement de ce codage
Divers champs de savoirs impliqués : ensemble, géométrie, arithmétique, algèbre. Chacun intervient
selon l’âge et le niveau des élèves.
b) Pour désigner
Diverses activités rituelles :
- mise en place de la comptine des nombres. La comptine est stabilisée pour
mémoriser des mots particuliers :les mots-nombre
- reconnaissances d’écritures chiffrées.
c) Pour dénombrer
Consiste à utiliser correctement la comptine numérique
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d) Pour résoudre des problèmes numériques
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Pour des quantités discrètes
Estimer, évaluer de petites quantités
Quand on a deux quantités à ajouter, on dénombre l’une, on dénombre l’autre,
on dénombre leur réunion
L’ajout d’une quantité à une autre, connue, se fait sans recompter la première
Quand on doit enlever une quantité d’une autre, on peut réciter la comptine à
l’envers
On peut distribuer un à un, faire des groupements
Pour des quantités continues
Etalonner, mesurer, estimer, encadrer.
3. l’enseignement de la numération à l’école.
Dans la pratique de la classe on peut dissocier complétement l’étude des nombres de celle de leur
écriture. Selon l’objectif de l’enseignant.
 Si l’objectif est la connaissance des nombres, on utilise l’écriture comme moyen pour
communiquer
 Si l’objectif est de comprendre les règles d’écriture des nombres, on peut coder et décoder des
quantités selon des règles fixées, comparer divers systèmes en particuler apprendre en les
opposant le fonctionnement de notre numération écriture et celui de notre numération orale.
4. Le nombre dans les programmes de l’école élémentaire
a) Au cycle 1
Être capable de :
- comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques ;
- réaliser une collection qui comporte la même quantité d'objets qu'une autre collection (visible ou non,
proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec
l'aide de l'écrit ;
- résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution,
partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles ;
- reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités (de un à trois ou quatre) ;
- reconnaître globalement et exprimer des petites quantités organisées en configurations connues
(doigts de la main, constellations du dé) ;
- connaître la comptine numérique orale au moins jusqu'à trente ;
- dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ;
- associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée en se référant à une bande
numérique.
b) Au cycle 2
Connaissance des nombres entiers naturels
1) Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels (inférieurs à 1000)
- dénombrer et réaliser des quantités en utilisant le comptage un à un ou des groupements et des
échanges par dizaines et centaines ;
- comprendre et déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture décimale
d'un nombre ;
- produire des suites orales et écrites de nombres de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100 (en avant et en
arrière, à partir de n'importe quel nombre), en particulier citer le nombre qui suit ou qui précède un
nombre donné ;
- associer les désignations chiffrées et orales des nombres.
2) Ordre sur les nombres entiers naturels
- comparer, ranger, encadrer des nombres (en particulier entre deux dizaines consécutives ou entre
deux centaines consécutives),
- situer des nombres (ou repérer une position par un nombre) sur une ligne graduée de 1 en 1, 10 en
10, 100 en 100.
3) Relations arithmétiques entre les nombres entiers naturels
- connaître les doubles et moitiés de nombres d'usage courant : doubles des nombres inférieurs à 10,
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des dizaines entières inférieures à 100, moitié de 2, 4, 6, 8, 10, 20, 40, 60, 80 ;
- connaître et utiliser les relations entre nombres d'usage courant : entre 5 et 10 ; entre 25 et 50 ; entre
50 et 100 ; entre 15 et 30, entre 30 et 60 ; entre 12 et 24.
c) Au cycle 3
Compétences
2 - CONNAISSANCE DES NOMBRES ENTIERS NATURELS
2.1 Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels
- déterminer la valeur de chacun des chiffres composant l'écriture d'un nombre entier en fonction de
sa position ;
- donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000..., et retrouver l'écriture d'un
nombre à partir d'une telle décomposition ;
- produire des suites orales et écrites de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, à partir de n'importe quel
nombre ;
- associer la désignation orale et la désignation écrite (en chiffres) pour des nombres jusqu'à la classe
des millions.
2.2 Ordre sur les nombres entiers naturels
- comparer des nombres, les ranger en ordre croissant ou décroissant, les encadrer entre deux
dizaines consécutives, deux centaines consécutives, deux milliers consécutifs... ;
- utiliser les signes <et> pour exprimer le résultat de la comparaison de deux nombres ou d'un
encadrement ;
- situer précisément ou approximativement des nombres sur une droite graduée de 10 en 10, de 100
en 100...
2.3 Structuration arithmétique des nombres entiers naturels
- connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, tiers, quadruple, quart
; trois quarts, deux tiers, trois demis d'un nombre entier ;
- connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d'usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 75,
100 ; entre 50, 100, 200, 250, 500, 750, 1000 ; entre 5, 15, 30, 45, 60, 90 ;
- reconnaître les multiples de 2, de 5 et de 10.
3 - CONNAISSANCE DES FRACTIONS SIMPLES ET DES NOMBRES DÉCIMAUX
3.1 Fractions
- utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d'entiers et de fractions pour coder des
mesures de longueurs ou d'aires, une unité étant choisie, ou pour construire un segment (ou une
surface) de longueur (ou d'aire) donnée ;
- nommer les fractions en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième... ;
- encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs ;
- écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.
3.2 Désignations orales et écrites des nombres décimaux
- déterminer la valeur de chacun des chiffres composant une écriture à virgule, en fonction de sa
position ;
- passer, pour un nombre décimal, d'une écriture fractionnaire (fractions décimales) à une écriture à
virgule (et réciproquement) ;
- utiliser les nombres décimaux pour exprimer la mesure de la longueur d'un segment, celle de l'aire
d'une surface (une unité étant donnée), ou pour repérer un point sur une droite graduée régulièrement
de 1 en 1 ;
- écrire et interpréter sous forme décimale une mesure donnée avec plusieurs unités (et
réciproquement) ;
- produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01
; 0,001... ;
- produire des suites écrites ou orales de 0,1 en 0,1, de 0,01 en 0,01... ;
- associer les désignations orales et l'écriture chiffrée d'un nombre décimal.
3.3 Ordre sur les nombres décimaux
- comparer deux nombres décimaux donnés par leurs écritures à virgule ;
- encadrer un nombre décimal par deux entiers consécutifs ou par deux nombres décimaux ;
- intercaler des nombres décimaux entre deux nombres entiers consécutifs ou entre deux nombres
décimaux ;
- utiliser les signes <et> pour exprimer le résultat de la comparaison de deux nombres ou d'un
encadrement ;
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- donner une valeur approchée d'un nombre décimal à l'unité près, au dixième ou au centième près ;
- situer exactement ou approximativement des nombres décimaux sur une droite graduée de 1 en 1,
de 0,1 en 0,1.
3.4 Relations entre certains nombres décimaux
- connaître et utiliser des écritures fractionnaires et décimales de certains nombres :
0,1 et 1 ; 0,01 et 1 ; 0,5 et 1 ; 0,25 et 1; 0,75 et 3 ,
10
100
2
4
4
- connaître et utiliser les relations entre
1 (ou 0,25) et 1 (ou 0,5), entre 1 ; et, 1 ; entre 1 ; et 1 .
4
2
100
10
1000 100
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