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Numération
I. Les systèmes de numération __________________________________________________ 2
A. Les systèmes de numération additives ________________________________________ 2
1. Le système égyptien ______________________________________________________ 2
2. Le système romain ________________________________________________________ 2
B. Un système hybride (Sino-japonais) __________________________________________ 2
C. Les systèmes positionnels __________________________________________________ 2
1. Le système décimal. ______________________________________________________ 2
2. Les systèmes de base n ___________________________________________________ 2
II. Arithmétique ________________________________________________________________ 3
A. Multiples et diviseurs _______________________________________________________ 3
1. Définitions et propriétés ____________________________________________________ 3
2. Caractères de divisibilité ___________________________________________________ 3
3. Diviseur d’un entier naturel _________________________________________________ 4
B. Nombres premiers _________________________________________________________ 4
1. Définition _______________________________________________________________ 4
2. Méthode pourprouver qu’un nombre est premier ________________________________ 4
C. Diviseurs commun et PGCD _________________________________________________ 4
1. Méthodes pour calculer le PGCD. ____________________________________________ 4
2. Utilisations du PGCD. _____________________________________________________ 4
3. Nombres premiers entre eux ou étranger ______________________________________ 5
D. Multiples communs et PPCM ________________________________________________ 5
1. Définition _______________________________________________________________ 5
2. Méthode pour calculer le PPCM _____________________________________________ 5
3. propriétés _______________________________________________________________ 5
E. Parité et imparité des entiers naturels _________________________________________ 5
1. Nombres pairs ___________________________________________________________ 5
2. Nombres impairs _________________________________________________________ 5
3. Conséquences ___________________________________________________________ 5
III. Les ensembles ______________________________________________________________ 6
A. Les ensembles ____________________________________________________________ 6
1. Les différents ensembles de nombres. ________________________________________ 6
2. Cardinal d’un ensemble ____________________________________________________ 7
B. Les nombres rationels et réels. ______________________________________________ 7
1. Nombres rationnels positifs _________________________________________________ 7
2. Nombres rationnels décimaux et non décimaux _________________________________ 8
3. Valeur approchée _________________________________________________________ 8
IV. Didactique des nombres ____________________________________________________ 9
A. Pour clarifier le domaine numérique __________________________________________ 9
1. Des nombres pour quels usages ? ___________________________________________ 9
2. Quelques nombres de la géométrie ___________________________________________ 9
B. les enseignements numériques à l’école_______________________________________ 9
1. La construction du nombre chez l’enfant. ______________________________________ 9
2. L’utilisation des nombres à l’école. ___________________________________________ 9
3. l’enseignement de la numération à l’école. ____________________________________ 10
4. Le nombre dans les programmes de l’école élémentaire _________________________ 10

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I. Les systèmes de numération
A. Les systèmes de numération additives
1. Le système égyptien
 Chaque signe représente une puissance de 10 ; il y a donc une infinité de signe.
 Il n’y a pas de zéro (inutile !)
 Pour trouver la valeur du nombre, il suffit d’ajouter les valeurs représentées par chaque
signe.
 Le nombre de signes ne donne aucune indication sur la taille du nombre.
2. Le système romain
Symbole
romain
Valeur
Symbole
romain
Valeur
I
1
C
100
V
5
D
500
X
10
M
1000
L
50
Pas de symbole zero
Aménagement du système additifs romain pour alléger les écritures :
 Utilisation d’écritures soustractives : IX au lieu de VIIII
 Utilisation du surlignement pour écrire les grands nombres : la valeur d’un symbole surligné
est multiplié par 1 000.
B. Un système hybride (Sino-japonais)
Deux sortes de signes :
 Des signes pour désigner chaque puissance de la base
 Des signes pour désigner les nombres inférieurs à la base
C. Les systèmes positionnels
1. Le système décimal.
 10 signes sont nécessaires pour écrire autant de nombres entiers qu’on veut
 La valeur du chiffre dépend de sa position
 Le zéro indique une absence de quantité associée à une puissance de 10
 Plus le nombre de chiffre est important, plus le nombre entier est grand.
2. Les systèmes de base n
Un système de base b a b symboles ; de 0 à b-1 avec b >= 2.
=> c’est la taille du groupement que l’on appelle la base.
Le sytème décimal est en fait un système de base 10.
Les symboles :
Si b > 10 on utilise les chiffres de 0 à 9 puis des lettres majuscules.
Les nombres se décomposent de droite à gauche, partant des éléments isolés puis en allant vers les
paquets de p éléments. Ainsi (xyzt)p = tb0 + zb1 + yb² + xb3
a) Passage de base b en base 10
Pour passer de base b en base 10, il faut décomposer le nombre tel que ci-dessus puis calculer le
résultat.

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b) Passage de base 10 en base b
Utilisation de la division euclidienne
Si n < b, il n'y a rien à faire : l'écriture en base b est la même que l'écriture en base dix et est n. On
divise n par b : n = b*q + r avec 0 ≤ r < b).
Le reste r de la division euclidienne de n par b (r:=reste(n,b)) donne le dernier chiffre de l'écriture en
base b de n. L'avant dernier chiffre de l'écriture en base b de n sera donné par le le reste de la
division euclidienne de q (q:=quotient(n,b)) par b. On fait donc une boucle en remplacant n par q
(n:=quotient(n,b)) tant que n ≥ b en mettant à chaque étape r:=reste(n,b) au début de la liste qui doit
renvoyer le résultat.
Recherche de la plus grande puissance de b pour trouver les groupement
Ex avec 155
4° = 1 ; 41 = 4 ; 4²=16 ; = 64 et 45 = 256.
On fera donc des regroupements par 64.
155 / 64 = 2*64 + 27
De même on cherche le regroupement de 27 soit 16
Et on trouve que 27 = 1*16 + 11 et 11 = 2*4 +3
 155 = 2*43 + 1*4² + 2*4 +3
 155 = (2123)4
II. Arithmétique
A. Multiples et diviseurs
1. Définitions et propriétés
Un entier naturel p est un multiple d’un autre entier non nul q s’il existe un nombre entier k tel que p =
q x k
On peut alors dire que p est divisible par q ou que q est un diviseur de p.
Propriétés
 Un nombre entier n non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs.
 Zéro ne connais qu’un seul multiple : lui-même et a une infinité de diviseurs.
 Zéro n’est le diviseur d’aucun nombre.
2. Caractères de divisibilité
Divisibilité par
Caractères
2
Le chiffre des unités est un chiffre pair + 0
4
Si le nombre formé des unités et des dizaines est divisible par 4
5
Si le chiffre des unités est divisible par 0 ou 5
25
Si le nombre formé des unités et des dizaines est 0, 25, 50 ou 75
3 et 9
Si la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9 selon
11
Méthode 1
On calcule la somme des chiffres de rang impair
Exemple : le nombre donné est 47311. La somme de rang impair est 1 + 3 + 4 = 8
. On calcule la somme des chiffres de rang pair 2u.
Exemple : la somme de rang pair est 1 + 7 = 8
. On calcule la différence des deux nombres obtenus.
Exemple : 8 - 8 = 0
. Le nombre initial est divisible par 11 si le nombre obtenu est divisible par 11.
Exemple : 0 est divisible par 11, donc 47311 l'est aussi
Ou
Quand c’est un nombre à 3 chiffres, la sommes des extrêmes doit être égal au
chiffre du milieu
6
S'il est divisible à la fois par 2 ET par 3.

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La somme de deux entiers divisibles par a est divisible par a
3. Diviseur d’un entier naturel
Tout entier naturel > 1 peut se décomposer de manière unique en un produit de nombres premiers.
Pour trouver tous les diviseurs.
 Décomposer le nombre en facteurs premiers.
 Les diviseurs sont l’ensemble des nombres obtenus par la multiplication de chaque facteur à la
puissance de 0 à celle obtenu lors de la décomposition en facteurs.
Nombre de diviseurs.
 Multiplier les exposants de facteurs obtenus lors de la déc omposition additionnés de 1.
B. Nombres premiers
1. Définition
Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Nombre premiers inférieurs à 40 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
Remarques :
 Infinité de nombre premiers
 2 est le seul nombre pair
 1 n’est pas premier
2. Méthode pourprouver qu’un nombre est premier
Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d’essayer de le diviser par tous les nombres premiers
inférieurs à
n
C. Diviseurs commun et PGCD
PGCD = plus grand diviseur commun de deux nombres.
Notation : PGCD(p ; q)
1. Méthodes pour calculer le PGCD.
a) Méthode 1 : utilisation de la décomposition en facteurs premiers.
Décomposer p et q en facteurs premiers
PGCD = produit de chacun des facteurs communs à p et à q, élevés à la plus faible des deux
puissances rencontrées dans les décompositions de p et de q.
b) Méthode 2 : algorithme d’Euclide
Soit p > q. On effectue la division euclidienne de p par q. Si r, lre reste, est nul alors le PGCD de p et
de q n’est autre que q.
Sinon, on effectue la division de q par r. On obtient alors r’.
Ainsi de suite jusqu’à obtenir un nouveau reste nul.
c) Méthode 3
On peut écrire que PGCD(p ; q) = PGCD(q ; p-q). Si q et p-q sont égaux alors ils sont aussi égaux à
leur PGCD. Sinon, on peut a nouveau calculer la différence entre le plus grand et le plus petit d’entre
eux et ainsi de suite jusqu’à obtenir deux nombre égaux : le PGCD.
2. Utilisations du PGCD.
 Déterminer l’ensemble des diviseurs communs de deux nombres : Ce sont ceux du PGCD.
 Rendre une fraction irréductible

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3. Nombres premiers entre eux ou étranger
Définition
Deux nombres entiers naturels non nuls p et q sont dit premiers entre eux ou étrangers si leur PGCD
est égal à 1, c’est à dire s’ils ne possèdent que 1 pour diviseur commun.
Propriété
Si deux nombres entiers naturels non nuls p et q sont des diviseurs d’un autre nombre entier naturel n
et si, par ailleurs, p et q sont premiers en eux , alors le produitp x q est aussi un diviseur de n.
Théorème de Gauss
Soit a, b et k, trois nombres entiers naturels non nuls. Si k divise le produit a xb et si k est premier
avec a, alors k divise b.
D. Multiples communs et PPCM
1. Définition
C’est le plus petit multiple commun aux entiers p et q. On le note PPCM(p ; q)
2. Méthode pour calculer le PPCM
Décomposer p et q en facteurs premiers
PPCM = produit de chacun des facteurs communs à p et à q, élevés à la plus forte des deux
puissances rencontrées dans les décompositions de p et de q.
3. propriétés
 Tout multiple de p et de q est un multiple de leur PPCM. Donc si n est un multiple commun
à p et a q alors il existe un entier naturel k tel que : n = k x PPCM(p ; q)
 Pour tout couple d’entiers naturels (p ; q), on a : p x q = PGCD(p ; q) x PPCM(p ; q)
E. Parité et imparité des entiers naturels
1. Nombres pairs
Un nombre est pair s’il vérifie l’une des propriétés suivantes :
 Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
 Le reste de la division euclidienne par 2 est 0
2. Nombres impairs
Un entier est impair s’il vérifie l’une des propriétés suivantes :
 Le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9
 Le reste de la division euclidienne par 2 est 1.
3. Conséquences
Somme p + q
Produit p x q
p et q pairs
Paire
Pair
p et q impairs
Paire
Impair
p pair et q impair
Impaire
pair