Équations du Mouvement semi classiques avec Phases de Berry

Équations du Mouvement semi classiques
avec Phases de Berry
Hervé Mohrbach
Laboratoire de Physique Moléculaire et des Collisions,
Université Paul Verlaine, Metz
Collaborateurs
• Alain Bé
Bérard
Université de Metz
• Ferhat Ménas
LPCQ, Tizi Ouzou
• Pierre Gosselin
Université de Grenoble
Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravité statique
7. Conclusion et perspectives
Introduction
Phase de Berry: - physique atomique et moléculaire
- optique
- spintronic (électronique à spin)
- ….
En général on regarde: La phase que la fonction d’onde acquière lors de
l’évolution adiabatique (énergie constante) d’un système quantique.
Depuis peu, il y a un regain d’intérêt pour l’étude des équations du mouvement
dans la limite semi classique car celles-ci peuvent être modifiées par une
Phase de Berry.
Exemples: - électrons de Dirac dans un champ électromagnétique
- électrons dans un solide
monopôle en impulsion (Fang et al. )
- électrons dans les semi-conducteur
Spintronic, courant de spin
non dissipatif (Zhang at al.)
- corrections aux équations de l’optique géométrique
effet Hall de
de spin du photon (spinoptic (Duval, Horvath, Horvathy))
Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravité statique
7. Conclusion et perspectives
Phase de Berry (molécules)
Soit H(R) un Hamiltonien qui dépend de R(t) adiabatique.
Berry a montré:
(
H ( R(t )) ψ (t ) = i
)
t
d
ψ (t )
dt
ψ ( t ) = exp iγ n (t ) − i ∫ E n ( R ( s )) ds n , R ( t )
0
ψ (0) = n , R (0)
H ( R (t )) n , R (t ) = E n ( R ( t )) n , R (t )
avec
γ n (t ) = i ∫
R (t )
R (0)
n , R ∇ R n , R dR
Phase de Berry
P2
p2
H=
+
+ V ( R, r )
2 M 2m
Exemple : Molécules et approx. de Born Oppenheimer
Approximation adiabatique : R fixé, on néglige
n , R ∇ R m , R =et0 on résout
 p2

+ V (r , R) ψ n (r , R ) = En ( R)ψ n (r , R )
H eψ n (r , R ) = 
 2m

Fonction d’onde de l’électron
φ (r , R ) = χ n ( R )ψ n (r , R )
On cherche la solution de l’Hamiltonien total sous la
forme:
2
 1

P
A
(
R
)
E
(
R
)
+
+
(
)
Et la fonction d’onde du noyau satisfait alors:
alors
n
n
 2M
 χ n ( R) = ε n χ n ( R)

Avec la connection de Berry:
An ( R ) = i ψ n (r , R ) ∇ R ψ n (r , R )

Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravité statique
7. Conclusion et perspectives
Électrons de Bloch (dans un solide)
Objectifs: Diagonaliser l’Hamiltonien à l’ordre
et
h approx. adiabatique (une bande)
Hamiltonien semi classique avec termes de Berry
Équations du mouvement semi classiques, très importantes en physique
solide pour étudier les propriétés des métaux, isolants et semi-conducteurs
Niu et al. : Pas d’Hamiltonien semi classique avec phase de Berry
Théorème de Liouville.
du
violation du
Horvathy at al. : faux ! , Lien entre la dynamique Galiléenne exotique et la
Dynamique des électrons de Bloch
mécanique non commutative
il faut le volume
symplectique de l’espace des phases correct
pas de violation de Liouville.
Hamiltonien d’un électron dans un potentiel périodique+potentiel électrique :
2
P
H=
+ V ( R ) − eφ ( R)
2m
L’espace des états des électrons de Bloch:
Bloch
Dans cette représentation
K n, k = k n, k
n, k = n ⊗ k
R = i∂ / ∂K
Indice de Bandes
et quasi-impulsion
 R i , K j  = iδ ij
 R i , R j  = 0
Électrons de Bloch: champ E
On diagonalise formellement H avec une matrice unitaire U(K):
UHU + = Ε ( K ) − eφ (URU + )
Avec E(K) une matrice diagonale ayant pour éléments les bandes d’énergie
La quasi-impulsion K (générateur des translations) est invariante
R n’est pas invariant et devient:
En ( K )
k = UKU +
r = URU + = R + iU ∂ kU +
Dans l’approximation « une bande » ou approximation adiabatique on néglige les
transitions inter-bandes et on projette sur la nième bande:
rn = Pn ( r ) = R + An
Avec la connexion de Berry:
Où on a utilisé :
Rappel:
U + n = un ( k )
(
)
An = iPn U ∂ kU + = i un (k ) ∂ k un (k )
Partie périodique des ondes de Bloch
Hψ n , K ( R ) = E n , Kψ n , K ( R ) Fonction d’ondes de Bloch
ψ n, K ( R) = eiKR un , K ( R )
Électrons de Bloch: champ E
Approximation une bande
non commutativité des coordonnées:
 rni , rnj  = iΘij (k )
Avec la courbure de Berry:
Θijn (k ) = ∂ i Anj (k ) − ∂ j Ani ( k )
Équations du mouvement:
mouvement -approximation semi classique:
classique
•
r = ∂Ε ( k ) / h ∂ k − k × Θ ( k )
h2 )
Ε n ( k ) − eφ (rn )
Et l’Hamiltonien une bande s’écrit:
•
(Ordre
et
•
•
h k = −eE
 r k , φ ( r )  = i∂ lφ (r )Θkl + O (h)
avec
Θi (k ) = ε ijk Θ jk / 2
− k × Θ(k(perpendiculaire
)
On obtient un terme supplémentaire
à E) par rapport aux
équations habituelles de la physique du solide (non nul si pas de symétrie par inversion).
Ce terme= « vitesse anormale » proposé la première fois par Karplus et Luttinger. Il
serait responsable de la conductivité de Hall spontanée dans certains corps
ferromagnétiques . Redécouvert par Blount et Adams avec le même formalisme.
Électrons de Bloch: Conductivités
Considérons un champ
Avec
(
E.z La conductivité transverse
)
nF ( ε ) = 1/ e β (ε − µ ) + 1
σ xy = ∑ nF (Ε n (k ))Θ z (k )
n, k
la distribution de Fermi.
Fermi
Le comportement de la conductivité est déterminé par la courbure de Berry
Z. Fang et al. ( Sciences 302 (2003) 92) ont calculé la courbure de Berry avec les
fonctions d’ondes de Bloch pour SrRu03 et ont trouvé un monopôle en k pour k=0
car il y a dégénérescence des bandes d’énergie (pour des raisons de symétrie).
Berry: à un point de dégénérescence de bandes, la phase de Berry est singulière
(exemple: phase de Berry du photon= monopole en p)
Electron de Bloch: champ B
On peut généraliser au cas d’un électron dans un solide en présence d’un champ
magnétique externe.
Blount et Adams:
Adams H. + non commutatif incorrect Mohrbach et al., H. semi classique avec Phase de Berry
Niu et al.
pas d’Hamiltonien
al formalisme lagrangien variationnel
Horvathy et al.
formalisme Hamiltonien non commutatif
al Mécanique classique symplectique
Hamiltonien
On pose
Et donc
K
H
P 2m e A R
K
e
Ki , K j
avec K le générateur des translations (commute)
A R
e
ijk
V R
Bk
On considère la diagonalisation à l’ordre semi classique avec une matrice
Uunitaire
K
Alors l’impulsion n’est plus invariante
On a les relations de commutations non triviales (après projection sur la nième bande)
Electron de Bloch: champ B
Nous avons développé une méthode générale pour diagonaliser tous les Hamiltoniens
à l’ordre
.
avec
et
AR i U
Ap
i U
P
U
R
U
Les phases de Berry en R et P
A partir de cet Hamiltonien (projeté sur une bande) on peut déduire les équations du
mouvement sous une forme générale:
Dans le cas des e de Bloch, on obtient :
la magnétisation
Et:
Nouvelles équations du mvt semi classique !
Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravité statique
7. Conclusion et perspectives
Électron de Dirac
Objectif: - Électron de Dirac dans un champ externe faible: approximation adiabatique
- Trouver l’Hamiltonien semi classique avec Phase de Berry
- Équations du mouvement
Ep =
Diagonalisation avec la transformation de Foldy-Wouthuysen :
Après projection sur la bande d’énergie positive on arrive à l’Hamiltonien
Avec pour opérateur position:
Conséquences: mécanique quantique non commutative :
P(UHU + ) = E p + V (r )
Connection de Berry non Abélienne
Θ ij ( p ) = ∂ p i A j − ∂ p j Ai +  A i , A j 
On peut généraliser ce résultat aux particules de spin quelconques grâce aux équations de
Bargmann-Wigner
A chaque équation on associe un Hamiltonien
p 2 c 2 + m 2c 4
Électron de Dirac
On peut déduire l’opérateur position pour toutes particules à spin:
(1)
(n)
Avec: S = h (σ + ... + σ ) / 2
Postulé par H. Bacri
Conséquences:
Particules non localisables
- R pas bon opérateur position car :
dR / dt = cα
•
- Équations du mouvements semi classique pour r:
p2c2 •
r=
+ p× Θ( p)
Ep
et
•
p = −∇V (r )
On retrouve la vitesse anormale !
Rq: Dans les semi-conducteurs: la vitesse anormale est
responsable de l’effet Hall de spin (Zhang et al.)
Le couplage spin-orbite est aussi beaucoup plus important du facteur
où Eg est
mc 2 Eg
/ Eg 0, la phase
la largeur de la zone interdite entre bande de valence et bande de conduction.2Qd
de Berry devient un monopôle en p. D’après Zang et al., cet effet Hall de spin avec monopole
serait responsable d’un courant de Spin (dans un champ E externe) sans dissipation de chaleur
(très important pour les ordinateurs Quantiques):
i
(loi d’Ohm: j = σ E)
j j = σε ijk E k
i
i
Électron de Dirac
Applications : - limite non relativiste
Différence d’un facteur ½ entre les deux opérateurs position
- limite ultra relativiste (masse nulle):
r = ih
∂
p×S
+
p2
∂p
Opérateur position du photon (Bacri)
Courbure= monopôle en P (dégénérescences
des bandes d’énergie en p=0)
Hélicité λ = ±h pour le photon. On s’attend donc à un effet Hall de spin pour le photon dans
un milieu inhomogène.
Rq: En présence d’un champ B, notre diagonalisation donne comme Hamiltonien:
avec
Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravité statique
7. Conclusion et perspectives
Photon: libre
r = ih
Opérateur position du photon:
∂
∂ p×S
+ A( p ) = ih + 2
∂p
∂p
p
λ = ±h
Photon non localisable:
p = p3
Relation d’incertitude pour un photon
∆x1∆x 2 ≥ λ 2
L’Hamiltonien après diagonalisation (Bargmann-Wigner) et projection:
•
pic
i
i
La vitesse dans cette représentation:
donc :
r =v =
p
Incertitude transverse.
v =c
Dans la représentation de Bargmann-Wigner :
donnée par:
•
V =R=c 2
et
•
v = Ω×v
Mvt hélicoïdal du photon autour de l’axe p.
Analogie avec un électron dans un champ
magnétique.
γ µ ( i ) ∂ µψ ( a , a ) = 0
1
avec:
2
Ω=
λ
h
ck
H = pc
avec: i=1,2, la vitesse est
Photon: expérience de Chiao
Mise en évidence de la phase de Berry du Photon.
Propagation d’un photon dans une fibre optique (hélice).
x =
État initial: faisceau laser polarisé linéairement:
État final:
x =
1
( exp(iγ + ) + + exp(iγ − ) −
2
)
donc
D’après Berry:
γ = i ∫ A( p)dp = ∫ dS p Θ( p) = λΩ [C ]
C
S
Flux magnétique à travers la courbe C en présence
d’un monopole magnétique;
Rq: représentation projective du groupe des translations
Dans l’espace P:
U (b )U ( a ) p = exp(γ ) p + a + b
1
(+ + −
2
x x'
2
)
= cos 2 γ +
Rotation du plan de
polarisation
Photon: Milieu inhomogène
Dans un milieu inhomogène n(r) :
effet Magnus Optique (balle de tennis liftée) ?
Déviation des trajectoires des photons polarisés circulairement
droit et gauche. Expériences de Liberman et Zel’dovich.
Interprétation immédiate en terme d’opérateur position
non commutatif.
H=
1
[ F ( R)α P + α PF ( R)] = α P%
2
diagonalisé par F-W
Après transformation et projection sur la bande d’énergie positive on obtient:
r = ih
∂ p× S
+ 2
p
∂p
Équations du mvt:
p=P
E=c
1
( F (r ) p + pF (r )) 2
2
Relation entre vitesse et impulsion:
on retrouve l’é
quation
l’équation
de Libermann et al.,
déduite phé
phénomé
noménologiquement.
Le spin du photon introduit au niveau quantique une phase de Berry qui change les équations du mvt au
niveau S-C. On obtient ainsi les premières corrections aux équations de l’optique géométrique.
.
Rq: On voit que l’effet Magnus = effet Hall de spin du photon.
Photon: loi de Snell (réfraction)+P.Berry
L’étude précédente montre qu’on doit étendre les équations de l’optique géométrique pour
prendre en compte le spin du photon
généralisation du principe de Fermat
« Spin optique
géométrique » (équivalent de la « spintronic ») (Duval, Horvath et Horvathy).
Nouvelles perspectives théoriques et expérimentales.
Autres conséquences: déplacement transverse lors de la réflexion (observé par Imbert) et lors de
la réfraction.
Onoda et al. « Hall effet of
Light »
Déviation proportionnelle à la longueur d’onde (car monopole). Pour
réduire la longueur d’onde cristal photonique monopole pour
k ≠ 0 lorsque des bandes sont dégénérées.
Fonction d’onde de Bloch du photon
(l’effet n’est pas lié au spin).
Plan
1. Introduction
2. Phase de Berry
3. Électron de Bloch
4. Électron de Dirac
5. Photon dans un milieu inhomogène
6. Photon dans un champ de gravitation statique
7. Conclusion et perspectives
Photon dans un champ de gravitation statique
g ij ( x) ≡ nij ( x)
Champ de gravitation statique est équivalent à un milieu inhomogène anisotrope:
On a: g oi ( x) = 0
1ère idée: postuler l’Hamiltonien par analogie avec le milieu isotrope:
r = ih
Considérer l ’opérateur position du cas isotrope:
∂ p×S
+ 2
∂p
p
mettre dans H
Et déduire les équations du mouvement semi classiques:
2ème idée: Partir de l’équation de Dirac avec masse nulle
H = α P%
Rappel:
avec:
(
Bargmann Wigner Photon
P%α = hiα ( R) Pi + hε ρβγ Γiρβ ( R)σ γ
ds 2 = g ij dx i dx j = ηαβ dxα dx β
Avec:
)
h=vierbein
hα i hiβ = ηαβ
ε αβγ σ γ =
(
i α β
γ γ − γ βγ α
8
)
Photon dans un champ de gravitation statique
Après diagonalisation et projection sur la bande d’énergie positive:
T% aαβ = hi α Γ ia β − hi β Γ iaα
Si on calcule les phases de Berry, on a:
Avec un champ « magnéto-torsion»:
Et:
Torsion
avec
Pour les opérateurs dynamiques on a:
Relations de
Commutations:
avec:
Photon dans un champ de gravitation statique
Équations du mouvement S-C:
Équations corrigées de l’optique géométrique dans un milieu anisotrope.
Hélicité données par
Avec:
La prise en compte du couplage spin-orbite du photon implique que la trajectoire de celui-ci
n’est plus la géodésique. On voit un nouveau couplage de type magnéto-torsion.
La vitesse de la lumière devrait être différente de sa valeur canonique. Ceci doit être encore
quantifié.
Conclusion
Nous avons tenté de montrer l’importance de la phase de Berry dans différents domaines de
la physique et le lien avec la MQ dite non commutative.
Dans ce formalisme toutes les particules (massives ou non ) ont le même statut.
Les résultats les plus prometteurs se trouvent essentiellement en physique du solide et en
« spintronic ». Mais la « spinoptic » devrait aussi se développer de façon comparable.
Nous avons développé une méthode de diagonalisation générale à l’ordre S-C, qui permet
l’étude de nombreux systèmes.
Pour le photon dans un champ de gravité nous avons trouvé un couplage entre spin et un
« champ magnéto-torsion ». Que devient la vitesse de la lumière au voisinage d’un trou
noir? Quelle est la géodésique de la lumière ?
Généraliser la méthode pour des particules massives dans un champ de gravitation statique.
Doit on chercher des équations de Lorentz semi classiques ?