TD1

DUT Mesures Physiques
MP2 – S3
Aspect ondulatoire de la lumière – Physique des ondes
Dans l’ensemble de l’énoncé, on rapporte l’espace à un repère orthonormé (O, x, y, z) dont les vecteurs de base
sont : (⃗ex , ⃗ey , ⃗ez ).
Exercice 1 : Ondes scalaires
Pour chacune des quatre ondes scalaires suivantes, préciser s’il s’agit d’une onde plane progressive ou non :
A1 (x, t) = 4 cos (3t − 2x − 4)
[
]
A2 (x, t) = 2 exp −(t − x)2
(1)
(2)
]
(t − x)2
A3 (x, t) = 4 cos (14t − 7x + 4) exp −
4
(
)
x−y
A4 (x, y, t) = 4 cos 3t − √ − 4
2
[
(3)
(4)
Exercice 2 : Représentation d’une onde plane monochromatique
Soit une vibration monochromatique scalaire dont l’expression est donnée par :
A(x, t) = 4 cos (πt − πx)
(5)
1. Représenter graphiquement A(0, t).
2. En déduire la représentation graphique de A
(1 )
( 1 )
,
t
et
A
−3, t .
3
Exercice 3 : Description d’une onde plane monochromatique
1. Pour les trois ondes planes monochromatiques suivantes :
A1 (x, t) = 3 cos (7t − 2x + 4)
(6)
A2 (x, t) = 2 cos (3t + 2x − 3)
(7)
A3 (x, t) = −4 cos (7t − 2x + 2),
(8)
donner les valeurs a) de l’amplitude, b) de la phase à l’origine, c) de la direction et du sens de propagation,
d) de la pulsation, de la fréquence et de la période, e) du vecteur d’onde, f ) de la vitesse de propagation et
g) de la longueur d’onde.
2. Pour la vibration :
A4 (x, y, t) = 3 cos (7t − 2x + 3y),
(9)
donner la valeur de la pulsation et exprimer le vecteur d’onde. En déduire la vitesse de propagation.
1
Exercice 4 : Notation complexe
Soient les quatre ondes planes monochromatiques (pulsation ω et vecteur d’onde d’amplitude k) A(x, t),
A1 (x, t), A2 (x, t) et A3 (x, t) exprimées en notation complexe par :
A(x, t) = A0 ej(ωt−kx)
(10)
A1 (x, t) = jA(x, t)
(11)
A2 (x, t) = (1 + j)A(x, t)
(12)
A3 (x, t) = −A(x, t),
(13)
expressions dans lesquelles A0 ∈ R+ .
1. Donner pour ces quatre ondes : i) l’amplitude, ii) la phase à l’origine.
2. Calculer les dérivées (et dérivées secondes) partielles suivantes :
i)
ii)
∂A(x,t)
∂t
∂A(x,t)
∂x
et
et
∂ 2 A(x,t)
∂t2
∂ 2 A(x,t)
∂x2
3. En déduire que A(x, t) vérifie l’équation d’onde qui peut se mettre sous la forme :
1 ∂ 2 A(x, t)
∂ 2 A(x, t)
−
= 0.
∂x2
β2
∂t2
(14)
4. Quelle est l’expression du coefficient β, quelle est sa signification physique ?
Exercice 5 : Onde stationnaire
Soient deux ondes planes monochromatiques données en notation complexe par :
A+ (x, t) = A0 ej(ωt−kx)
(15)
A− (x, t) = A0 ej(ωt+kx)
(16)
1. Interpréter physiquement ces deux expressions.
On s’intéresse à la superposition A(x, t) de ces deux ondes : A(x, t) = A+ (x, t) + A− (x, t).
2. Donner l’expression de A(x, t).
3. En déduire l’expression de A(x, t) en notation réelle.
Exercice 6 : Notions de base sur les ondes lumineuses
1. Une onde lumineuse plane monochromatique de pulsation ω se propage dans un milieu d’indice N dans la
direction des y décroissants. Donner l’expression de son vecteur d’onde ⃗k.
⃗ et complexe E
⃗ l’expression d’un champ électrique assimilé à une onde plane
2. Écrire en notations réelle E
monochromatique lumineuse d’amplitude E0 de pulsation ω de direction de propagation y (toujours dans le
sens décroissant) polarisée selon l’axe z se propageant dans un milieu d’indice N . On considèrera une phase à
l’origine nulle.
⃗ en notation complexe du champ magnétique associé ? Donner également l’expres3. Quelle est l’expression B
⃗
sion réelle de B.
4. Donner l’expression de l’intensité lumineuse instantanée I(y, t).
2
5. Donner l’expression de l’intensité lumineuse ⟨I⟩ moyennée dans le temps à l’aide de la notation réelle.
6. Retrouver cette expression à l’aide des résultats du cours relatifs à la notation complexe.
Exercice 7 : Énergie lumineuse
On dispose d’un Laser continu délivrant une puissance (ou encore flux lumineux) Pcw = 100 mW. Le faisceau
laser, considéré ici comme une onde plane (on oublie sa forme Gaussienne), possède une section circulaire de
diamètre D1 = 5 mm.
1. Quelle est l’intensité lumineuse I1 due au laser à l’intérieur d’un plan de section principale du faisceau.
2. Ce faisceau laser est envoyé sur un détecteur dont la surface sensible possède un diamètre Φ = 1 mm. Quelle
est la puissance P1 effectivement reçue par le détecteur ?
On focalise maintenant le faisceau laser, on obtient un spot circulaire de diamètre D2 = 10 µm.
3. Quelle puissance P2 est reçue par le détecteur ? (La réponse ne nécessite aucun calcul).
4. Quelle est l’intensité lumineuse I2 au niveau du spot Laser ainsi formé ?
Exercice 8 : Atténuation d’un signal lumineux
On s’intéresse à une ligne de transmission optique (Fig. 1.a). L’intensité du signal d’entrée est notée I0 , celle
du signal de sortie I. L’atténuation (en dB) du canal est notée adB .
a)
I0
b) I 0
adB
I
I1
a1dB
a 2 dB
I
Figure 1 – Ligne de transmission d’atténuation adB composée de deux éléments d’atténuation a1dB et a2dB .
1. Donner l’expression du rapport I/I0 en fonction de adB .
2. La ligne est constituée de deux éléments d’atténuation respectivement notée a1dB et a2dB (Fig. 1.b). I1
représente l’intensité lumineuse entre les deux éléments. En exprimant I1 /I0 puis I/I1 , donner la relation
entre a1dB , a2dB et adB .
Applications numériques : calculer de tête le rapport I/I0 pour les valeurs de adB suivantes :
i) −10 dB
ii) −30 dB
iii) −3 dB
iv) −9 dB
v) −46 dB
vi) 27 dB
3. Une liaison par fibre optique est constituée de : 4 connecteurs (0.3 dB de perte par connecteur), deux
tronçons de fibre optique de 10 km chacun dont les atténuations linéiques sont respectivement 0.2 dB/km et
0.4 dB/km, d’un filtre optique (2 dB de perte) et d’un isolateur optique (1 dB de perte). Sachant qu’à la sortie
le signal doit avoir au moins une puissance de 20 µW pour sortir du bruit et être détecté sans erreur, quelle
doit être la puissance du signal d’entrée ?
4. Sachant que l’indice d’une fibre optique vaut n = 1.46 pour une longueur d’onde (dans le vide) λ0 = 1.55 µm,
donner la forme complexe de l’amplitude du vecteur d’onde k pour une atténuation linéique αdB = 0.2 dB/km
et faire l’application numérique.
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