TD1

DUT Mesures Physiques MP2 – S3
Aspect ondulatoire de la lumi`ere – Physique des ondes
Dans l’ensemble de l’´enonc´e, on rapporte l’espace `a un rep`ere orthonorm´e (O, x, y, z) dont les vecteurs de base
sont : (⃗ex, ⃗ey, ⃗ez).
Exercice 1 : Ondes scalaires
Pour chacune des quatre ondes scalaires suivantes, pr´eciser s’il s’agit d’une onde plane progressive ou non :
A1(x, t) = 4 cos (3t−2x−4) (1)
A2(x, t) = 2 exp −(t−x)2(2)
A3(x, t) = 4 cos (14t−7x+ 4) exp −(t−x)2
4(3)
A4(x, y, t) = 4 cos 3t−x−y
√2−4(4)
Exercice 2 : Repr´esentation d’une onde plane monochromatique
Soit une vibration monochromatique scalaire dont l’expression est donn´ee par :
A(x, t) = 4 cos (πt −πx) (5)
1. Repr´esenter graphiquement A(0, t).
2. En d´eduire la repr´esentation graphique de A1
3, tet A−1 3, t.
Exercice 3 : Description d’une onde plane monochromatique
1. Pour les trois ondes planes monochromatiques suivantes :
A1(x, t) = 3 cos (7t−2x+ 4) (6)
A2(x, t) = 2 cos (3t+ 2x−3) (7)
A3(x, t) = −4 cos (7t−2x+ 2),(8)
donner les valeurs a) de l’amplitude, b) de la phase `a l’origine, c) de la direction et du sens de propagation,
d) de la pulsation, de la fr´equence et de la p´eriode, e) du vecteur d’onde, f ) de la vitesse de propagation et
g) de la longueur d’onde.
2. Pour la vibration :
A4(x, y, t) = 3 cos (7t−2x+ 3y),(9)
donner la valeur de la pulsation et exprimer le vecteur d’onde. En d´eduire la vitesse de propagation.
1

Exercice 4 : Notation complexe
Soient les quatre ondes planes monochromatiques (pulsation ωet vecteur d’onde d’amplitude k)A(x, t),
A1(x, t), A2(x, t) et A3(x, t) exprim´ees en notation complexe par :
A(x, t) = A0ej(ωt−kx)(10)
A1(x, t) = jA(x, t) (11)
A2(x, t) = (1 + j)A(x, t) (12)
A3(x, t) = −A(x, t),(13)
expressions dans lesquelles A0∈R+.
1. Donner pour ces quatre ondes : i) l’amplitude, ii) la phase `a l’origine.
2. Calculer les d´eriv´ees (et d´eriv´ees secondes) partielles suivantes :
i) ∂A(x,t)
∂t et ∂2A(x,t)
∂t2
ii) ∂A(x,t)
∂x et ∂2A(x,t)
∂x2
3. En d´eduire que A(x, t) v´erifie l’´equation d’onde qui peut se mettre sous la forme :
∂2A(x, t)
∂x2−1 β2
∂2A(x, t)
∂t2= 0.(14)
4. Quelle est l’expression du coefficient β, quelle est sa signification physique ?
Exercice 5 : Onde stationnaire
Soient deux ondes planes monochromatiques donn´ees en notation complexe par :
A+(x, t) = A0ej(ωt−kx)(15)
A−(x, t) = A0ej(ωt+kx)(16)
1. Interpr´eter physiquement ces deux expressions.
On s’int´eresse `a la superposition A(x, t) de ces deux ondes : A(x, t) = A+(x, t) + A−(x, t).
2. Donner l’expression de A(x, t).
3. En d´eduire l’expression de A(x, t) en notation r´eelle.
Exercice 6 : Notions de base sur les ondes lumineuses
1. Une onde lumineuse plane monochromatique de pulsation ωse propage dans un milieu d’indice Ndans la
direction des yd´ecroissants. Donner l’expression de son vecteur d’onde ⃗ k.
2. ´ Ecrire en notations r´eelle ⃗ Eet complexe ⃗ El’expression d’un champ ´electrique assimil´e `a une onde plane
monochromatique lumineuse d’amplitude E0de pulsation ωde direction de propagation y(toujours dans le
sens d´ecroissant) polaris´ee selon l’axe zse propageant dans un milieu d’indice N. On consid`erera une phase `a
l’origine nulle.
3. Quelle est l’expression ⃗ Ben notation complexe du champ magn´etique associ´e ? Donner ´egalement l’expres-
sion r´eelle de ⃗ B.
4. Donner l’expression de l’intensit´e lumineuse instantan´ee I(y, t).
2

5. Donner l’expression de l’intensit´e lumineuse ⟨I⟩moyenn´ee dans le temps `a l’aide de la notation r´eelle.
6. Retrouver cette expression `a l’aide des r´esultats du cours relatifs `a la notation complexe.
Exercice 7 : ´ Energie lumineuse
On dispose d’un Laser continu d´elivrant une puissance (ou encore flux lumineux) Pcw = 100 mW. Le faisceau
laser, consid´er´e ici comme une onde plane (on oublie sa forme Gaussienne), poss`ede une section circulaire de
diam`etre D1= 5 mm.
1. Quelle est l’intensit´e lumineuse I1due au laser `a l’int´erieur d’un plan de section principale du faisceau.
2. Ce faisceau laser est envoy´e sur un d´etecteur dont la surface sensible poss`ede un diam`etre Φ = 1 mm. Quelle
est la puissance P1effectivement re¸cue par le d´etecteur ?
On focalise maintenant le faisceau laser, on obtient un spot circulaire de diam`etre D2= 10 µm.
3. Quelle puissance P2est re¸cue par le d´etecteur ? (La r´eponse ne n´ecessite aucun calcul).
4. Quelle est l’intensit´e lumineuse I2au niveau du spot Laser ainsi form´e ?
Exercice 8 : Att´enuation d’un signal lumineux
On s’int´eresse `a une ligne de transmission optique (Fig. 1.a). L’intensit´e du signal d’entr´ee est not´ee I0, celle
du signal de sortie I. L’att´enuation (en dB) du canal est not´ee adB.
a)
b)
dB
a
dB
a
1
dB
a
2
0
I
1
I
I
I
0
I
Figure 1 – Ligne de transmission d’att´enuation adB compos´ee de deux ´el´ements d’att´enuation a1dB et a2dB.
1. Donner l’expression du rapport I/I0en fonction de adB.
2. La ligne est constitu´ee de deux ´el´ements d’att´enuation respectivement not´ee a1dB et a2dB (Fig. 1.b). I1
repr´esente l’intensit´e lumineuse entre les deux ´el´ements. En exprimant I1/I0puis I/I1, donner la relation
entre a1dB,a2dB et adB.
Applications num´eriques : calculer de tˆete le rapport I/I0pour les valeurs de adB suivantes :
i) −10 dB ii) −30 dB iii) −3 dB iv) −9 dB v) −46 dB vi) 27 dB
3. Une liaison par fibre optique est constitu´ee de : 4 connecteurs (0.3 dB de perte par connecteur), deux
tron¸cons de fibre optique de 10 km chacun dont les att´enuations lin´eiques sont respectivement 0.2 dB/km et
0.4 dB/km, d’un filtre optique (2 dB de perte) et d’un isolateur optique (1 dB de perte). Sachant qu’`a la sortie
le signal doit avoir au moins une puissance de 20 µW pour sortir du bruit et ˆetre d´etect´e sans erreur, quelle
doit ˆetre la puissance du signal d’entr´ee ?
4. Sachant que l’indice d’une fibre optique vaut n= 1.46 pour une longueur d’onde (dans le vide) λ0= 1.55 µm,
donner la forme complexe de l’amplitude du vecteur d’onde kpour une att´enuation lin´eique αdB = 0.2 dB/km
et faire l’application num´erique.
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