INTRODUCTION À LA PHOTONIQUE Exercices VIII 1) Non

INTRODUCTION À LA PHOTONIQUE
Exercices VIII
1) Non-linéarité optique d'ordre deux : modèle classique
Les nuages électroniques (masse m, charge q) d'un milieu sont mobiles suivant l'axe x. Leur position
instantanée est repérée par leur écart (t) à leur position d'équilibre, vers laquelle ils sont rappelés par
une force anharmonique – (t) + A (t)2 , > 0 .
Un champ électrique E(t) est appliqué le long de l'axe x.
a) Écrire l'équation du mouvement d'un nuage électronique ; on introduira une force de frottement fluide
d
– f dt (t) , f > 0 .
En déduire l'équation différentielle suivie par la densité de polarisation P(t) = Nq(t) , où N est le
nombre de nuages par unité de volume ; on introduira les notations o = /m et = f/m ( << o).
b) On se place en régime quasi statique, E(t) étant supposé varier lentement à l'échelle de 2/o .
• Exprimer la réponse linéaire (A = 0) sous la forme P(t) = o E(t) , en précisant l'expression de la
susceptibilité linéaire statique .
• Lorsque A 0 reste faible, montrer que P(t) = o E(t) + PNL(t) où la densité de polarisation non
linéaire est PNL(t) = 2 d E(t)2 ; préciser l'expression de la susceptibilité non linéaire statique d'ordre deux,
d. Vérifier que d 3 (règle de Miller) ; interpréter physiquement ce résultat.
• Exprimer PNL(t) lorsque E(t) = Eo cost et lorsque E(t) = E1 cos1t + E2 cos2t .
c) Le champ électrique étant sinusoïdal, de la forme E(t) = Eo cost , on tient compte maintenant de la
dispersion, la pulsation étant supposée proche de o .
• La solution stationnaire étant écrite P(t) = Re{Peit} en régime linéaire (A = 0), trouver la
susceptibilité linéaire () définie par P = o () Eo .
A
2
[
Re{Peit}]
2
3
Nq
apparaît. En déduire que la non-linéarité crée une densité de polarisation statique Po = d( 0) (Eo)2 et
• Lorsque A 0 reste faible, montrer qu'un nouveau champ électrique (effectif)
une densité de polarisation à la pulsation de second harmonique, d'amplitude complexe
P2 = d( 2) (Eo)2 ; trouver les expressions de d( 0) et d( 2) .
• Examiner le cas où E(t) = E1 cos1t + E2 cos2t . On s'intéressera aux composantes spectrales de la
densité de polarisation P(t) qui apparaissent aux pulsations somme 1 + 2 et différence 1 – 2
(1 > 2), et on exprimera les susceptibilités non linéaires d(1,2 1+2) et d(1,2 1–2) .
2) Effet Kerr optique
Une onde optique de pulsation : E(r,t) = Re{E(r)eit}, est présente dans un milieu non linéaire
d'ordre 3. (Un tel milieu est appelé milieu Kerr.)
a) Calculer les composantes spectrales de la densité de polarisation non linéaire PNL = o (3) E3.
b) Montrer que, à la pulsation , le milieu se comporte comme s'il était linéaire avec un indice de
réfraction n + n, où
3
(3)
n(r) = 8n |E(r)|2
(effet Kerr optique).
c) Lorsque l'onde à est propageante : E(r) = Eo e–ik1z , exprimer l'indice de réfraction sous la forme
n(I) = n + n2 I,
n
où I = 2 (o/μo)1/2 |Eo|2 (en W/m2) est l'intensité de l'onde ; préciser l'expression de n2.
d) Que vaut la vitesse de phase de l'onde à ? Exprimer le déphasage de l'onde entre deux plans d'onde
distants de L (effet d'auto-modulation de phase).
e) L'onde à étant propageante, trouver la relation d'accord de phase pour la génération de troisième harmonique. Quelle est la
relation correspondante sur l'indice de réfraction ?
3) Mélange à quatre ondes – Conjugaison de phase
Une superposition de trois ondes optiques est présente dans un milieu non linéaire d'ordre 3 :
E(r,t) = Re{E(1)(r)ei1t + E(2)(r)ei2t + E(3)(r)ei3t} ,
soit :
1
E(r,t) = 2
q E(q)(r) eiqt
,
q = ±1, ±2, ±3,
avec les conventions –q = – q et E(–q)(r) = E(q)(r)*.
a) Exprimer la densité de polarisation non linéaire PNL(r,t) = o (3) E(r,t)3.
b) Trouver la composante spectrale de PNL(r,t) à la pulsation
4 = 1 + 2 – 3.
c) Lorsque les trois ondes sont propagatives : E(q)(r) = Eo(q) e–ikq.r , |kq| = nq c , quelle est la relation
d'accord de phase pour la génération de l'onde optique à la pulsation 4 ?
d) Montrer que l'onde optique à 4 une fois générée – la condition d'accord de phase correspondante étant
remplie – peut interagir avec deux quelconques des trois premières ondes pour contribuer à celle qui reste
(on néglige ces interactions dans la suite).
e) Les trois ondes initiales ont maintenant la même pulsation : 1 = 2 = 3 = , donc aussi la
quatrième : 4 = ; de plus, les ondes 1 et 2 sont contra-propageantes : k2 = – k1.
Montrer que k4 = – k3, que la relation d'accord de phase est automatiquement vérifiée et que l'onde 4
est une version conjuguée de l'onde 3 :
E(4)(r,t) [Eo(3) e–ik3.r]* eit
(conjugaison de phase).
f) Vérifier que cette conjugaison de phase revient à un renversement du temps, l'onde 4 étant
proportionnelle à l'onde 3 remontant le temps.
miroir
1
3
LASER ()
4
milieu
Kerr
2
miroir
expérience de conjugaison de phase