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Math-F-112 : Exercices pour le module SI
BA1 en Sciences Informatiques
1 Espaces Kn
1) Déterminer le sous-espace vectoriel des solutions des systèmes d’équations suivants sur R(chaque
variable apparaît dans au moins une équation) :
a)(x1−x2+ 2x3= 0
3x1−x2+x3= 0
b)(x1−x2+ 2x3+x4= 0
3x1−x2+x3+ 5x4= 0
c)
2x+ 2y+ 2z+t= 0
x−y+t= 0
5x−3t= 0
2) Déterminer le sous-espace vectoriel des solutions des systèmes d’équations suivants sur C(chaque
variable apparaît dans au moins une équation) :
a)(ix +y= 0
2x+ (2 + i)y= 0
b)(x1−x2+ 2x3= 0
3x1−x2+x3= 0
c)
ix +y+z= 0
x+iy +z= 0
x+y+iz = 0
d)nix + (2 −3i)y+z+t= 0
3) Déterminer le sous-espace affin des solutions du système suivant sur C:
(3x−y−2iz = 1 + i
ix +y+ (1 + 3i)z= 3
4) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2? Si oui montrer que les trois
axiomes sont satisfaits, sinon donner un des axiomes qui ne l’est pas.
1. {(0,1)},
2. {(x, 0) |x∈R},
1

3. {(x, x)|x∈R},
4. {(x, y)|x, y ∈R, x + 3y= 0},
5. {(x, y)|x, y ∈Z},
6. {(x, y)|x, y ∈R, x + 3y= 1},
7. {(x, y)|x, y ∈R, x2+y2= 1}.
5) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3? Si oui montrer que les trois
axiomes sont satisfaits, sinon donner un des axiomes qui ne l’est pas.
1. {(0,0,0)},
2. {(x, 0, z)|x, z ∈R},
3. {(x, y, z)|x, y, z ∈R, x +y−z= 0},
4. {(x, y, z)|x, y, z ∈R, x +y−z= 2},
5. {(x, y, z)|x, y, z ∈R, x =y2}.
6. {(x, y, z)|x, y, z ∈R,|x|=|y|}.
6) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de C4? Si oui montrer que les trois
axiomes sont satisfaits, sinon donner un des axiomes qui ne l’est pas.
1. {(0,0, z, t)|z, t ∈C},
2. {(i, 0,0, t)|t∈C}.
3. {(x, y, z, t)|x, y, z, t ∈C,(2 + i)x+iy +iz = 0}.
7) Si Vest un sous-espace vectoriel de Rnqui ne contient qu’un nombre fini de vecteurs, que pouvez-
vous dire sur V? Expliquer.
8) Si V1et V2sont de sous-espace Kn, alors V1∩V2est aussi un sous-espace de Kn(ceci a été démontré
au cours). Est-ce que V1∪V2est toujours un sous-espace de Kn? Si oui démontrer, si non donner un
exemple où ce n’est pas le cas.
2 Corps
9) Montrer que l’ensemble
Q(√2) = {a+b√2|a, b ∈Q}
forme un corps (pour l’addition et la multiplication usuelle de nombres réels).
10) L’ensemble de nombres complexes
Z[i] = {a+bi |a, b ∈Z}
ne forme par un corps. Pourquoi ?
11) Soit Z7={0,1,2,3,4,5,6}le corps à 7éléments. Calculer :
1. La somme 5 +76 =
2. Le produit 3.74 =
3. L’inverse 4−1=
2

12) Dans le corps Zp={0,1, . . . , p −1}àpéléments (pun nombre premier), montrer que
(p−1)−1=p−1.
13) Dans l’espace vectoriel (Z5)4, déterminer tous les éléments de la droite vectorielle <(0,1,2,3)>.
14) Déterminer le sous-espace affin des solutions du système d’équations suivant sur Z2(chaque
variable apparaît dans au moins une équation) :
x1+x2+x3+x4+x5= 1
x2+x3+x5= 0
x1+x4+x5= 0
15) Déterminer le sous-espace affin des solutions du système d’équations suivant sur Z5(chaque
variable apparaît dans au moins une équation) :
2x1+x2+x5= 1
x1+ 2x2+x3+ 4x4= 2
3x1+x3+x5= 3
3 Espaces vectoriels
16) Déterminer explicitement tous les éléments de l’espace vectoriel (Z2)Z2des fonctions de Z2dans
Z2. Combien y-a-t’il d’éléments dans l’espace vectoriel (Zp)Zp?
17) Soit I={a, b, c}et f, g, h les fonctions de l’espace vectoriel (Z3)Idéfinies par
f(a)=0, f(b) = 1, f(c) = 1,
g(a)=1, g(b) = 1, g(c)=2,
h(a)=2, h(b)=2, h(c) = 0,
Déterminer les vecteurs suivants :
1. 2f,
2. −g,
3. f+h,
4. f+ 2g−h.
18) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces de l’espace vectoriel RR? Si oui montrer
que les trois axiomes sont satisfaits, sinon donner un des axiomes qui ne l’est pas.
1. {f∈RR|f(0) = 0},
2. {f∈RR|f(1) = 0},
3. {f∈RR|f(0) = 1},
4. {f∈RR|f(x) = f(−x)∀x∈R}.
19) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces de l’espace vectoriel R[X]? Si oui montrer
que les trois axiomes sont satisfaits, sinon donner un des axiomes qui ne l’est pas.
3

1. L’ensemble des polynômes de degré 4,
2. L’ensemble des polynômes de degré au plus 4,
3. L’ensemble des polynômes de degré au moins 4,
4. L’ensemble des polynômes ayant 0pour racine,
5. L’ensemble des polynômes ayant 1pour racine.
4 Parties génératrices, parties libres, bases
20) Déterminer le sous-espace vectoriel engendré par chacune des parties suivantes de R2:
1. {(0,0)},
2. {(1,1)},
3. Une droite passant par (0,0),
4. Une droite ne passant pas par (0,0),
5. La réunion deux droites passant par (0,0).
21) Déterminer le sous-espace vectoriel engendré par chacune des parties suivantes de R3:
1. {(0,0,0)},
2. {(1,1,1)},
3. Une droite passant par (0,0,0),
4. Une droite ne passant pas par (0,0,0),
5. Un plan passant par (0,0,0),
6. Un plan ne passant pas par (0,0,0),
7. La sphère d’équation x2+y2+z2= 1.
22) Décrire géométriquement tous les sous-espace de R3.
23) Dans l’espace vectoriel C3, montrer que le vecteur (0,4+i, 4i)appartient au sous-espace vectoriel
engendré par
X={(i, 1−i, 2),(1,3,2i)}.
24) La partie
{(1,2,3),(1,1,0),(1,0,1)}
est-elle génératrice de R3?
25) Dans l’espace vectoriel R[X], le polynôme
p(X) = 5 −X2+ 3X3−61X5
est-il dans le sous-espace engendré par la partie
X={5,2X, −X3, X4}?
Et le polynôme q(X) = 1 + X?
26) Parmi les parties suivantes de R3, déterminer celles qui sont libres :
1. {(0,0,0),(1,1,15)},
4

2. {(3,−2,4),(−6,4,−8)},
3. {(1,4,1),(2,5,0)},
4. {(3,0,0),(3,1,0),(3,2,5)},
5. {(1,2,3),(1,4,7),(0,1,1)},
6. {(1,2,3),(1,4,7),(0,1,1),(7,1,−2)},
27) Parmi les parties suivantes de R4, déterminer celles qui sont libres :
1. {(0,1,0,2)},
2. {(1,1,1,1),(2,1,0,0),(1,0,−1,−1)},
3. {(0,1,2,3),(0,1,−1,0),(1,1,1,1),(3,2,1,0)},
28) La partie
X={(1,1,1,0,1),(1,0,1,0,1),(1,1,1,1,0)}
est-elle libre dans (Z2)5?
29) Parmi les parties suivantes, déterminer celles qui sont des bases de R3:
1. {(1,2,3),(4,5,6)}
2. {(1,1,1),(1,0,1),(5,0,−1)}
3. {(1,2,3),(1,1,1),(8,3,−1)}
30) Parmi les parties suivantes, déterminer celles qui sont des bases de C2:
1. {(1, i)},
2. {(1, i),(1,0))},
3. {(i, i + 1),(i−1, i + 2))},
31) Parmi les parties suivantes, déterminer celles qui sont des bases de (Z3)3:
1. {(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1)},
2. {(1,2,0),(2,1,0),(1,1,1)},
3. {(2,2,2),(2,2,1),(0,0,1)},
32) Déterminer une base de R2contenant la partie libre {(5,6)}. Déterminer une base de R3conte-
nant la partie libre {(1,2,3),(4,2,1)}.
33) Quelle est la dimension du sous-espace
V=<(1,1,1,1),(1,2,1,1),(3,5,3,3),(1,0,0,0),(3,3,2,2)>
de R4? Donner une base de ce sous-espace.
34) Quelle est la dimension du sous-espace de C3engendré par les vecteurs suivants : (i, i, 3i),(1,0, i),
(0,−1, i −3) ?
35) Donner un exemple de sous-espace satisfaisant les conditions données ci-dessous :
1. un sous-espace de dimension 1dans C4,
5