x - isn

Cours de TS (obligatoire) : 19/04/2017
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Fonctions (limite, continuité, dérivabilité)
I. Limites et asymptotes.
1° ) Limite au voisinage de +
def : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; + [.
Error!
f a pour limite +  en + 
Tout intervalle ] A ; + [ contient
tous les f(x) à partir d’une certaine
valeur x0.
A  x0 x > x0 f(x) > A.
Error!
f a pour limite –  en +  .
Pour tout A (aussi proche de – 
soit-il) il existe x0 tel que pour tout
x > x0 on ait : f(x) < A.
A  x0 x > x0 f(x) < A.
Error!
Tout intervalle ouvert
contenant b contient tous les
f(x) dès que x est assez grand.
 >0 x0 x >x0 b- < f(x) <b+
NB : La droite d’équation y = b
est asymptote horizontale à
la courbe au voisinage de +
2° ) Limite en - .
def : Soit f une fonction définie sur un intervalle ] - ; a].
Error!
f a pour limite +  en – .
A  x0 x < x0 f(x) > A.
Error!
A  x0 x < x0 f(x) < A.
Error! 
def : Lorsque Error! f(x) = b alors la
droite d’équation y = b est
asymptote horizontale à la courbe
de f au voisinage de – 
ex :Error!x2 = .......
ex : Error!x3 = .......
ex :Error! Error! = ........... Conséquence
graphique ?
ex : Error!x3 = .......
ex :Error!( Error! + 5) = ........... donc graphiquement :
ex : Error! (– x² ) =
.........
ex : Error! ( ax + b) =
ex : Error!x3 = .......
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o

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3° ) Limite en a.
* limite à droite en a (notée a+) : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a ; + [.
Error! ou Error!
f a pour limite + à droite en a (noté a+)
si tout intervalle ] A ; + [ contient tous
les f(x) pour x proche de a et x > a.
De plus, la droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Error! ou Error!
f a pour limite –  en a+ .
A  x0 x / a< x < x0 f(x) > A.
La droite d’équation x = a est
asymptote verticale à (Cf).
Error!
ou Error!
* limite à gauche en a (notée a–) : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]- ; a [
Error! ou Error!
La droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Error! ou Error!
La droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Error!
ou Error!
* limite en a : Lorsque la limite à droite en a est égale à la limite à gauche en a alors on dit que f admet une
limite en a et on note :
Error!
f(x) =
Error!
f(x) =
Error!
f(x)
Attention : Lorsqu'on étudie une limite en a, il est sous-entendu que x a.
ex :Error!x2 = .......
ex : Error!x3 =
.......
ex : Error! Error! = ...........
Conséquence graphique ?
ex : Error!x3 = .......
ex : Error!( Error! + 5) = ........
ex : Error! (– x² ) =
.........
ex : Error! ( ax + b) =
ex : Error!x3 = .......
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o

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II. Théorèmes généraux.
1° ) Opérations algébriques.
Il existe quatre types de formes indéterminées : – ; 0 ;
Error!
et
Error!
Une forme indéterminée ne signifie pas que la fonction n'a pas de limite mais seulement qu'on ne peut pas
déterminer cette limite (si elle existe) par les opérations algébriques.
2° ) Limites des fonctions usuelles.
limites en l'infini :
limites en 0 :
3° ) Composée de deux fonctions.
ex : f(x) = Error! + 2
Etudier la limite de f(x) en
-1 par lecture graphique.
f(x) = Error!
Etudier la limite de f(x) en -3
par lecture graphique.
f est définie sur [-1 ; 3] par :
Etudier la limite de f(x) en 1
par lecture graphique
u
v

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def : composée de deux fonctions (notée v
Error!
u) : x
Error!
u(x)
Error!
v(u(x))
Error!
v
Error!
u
thm (admis) : Si
Error!
u(x) = b et si
Error!
v(x) = c (a, b et c pouvant être réel, + ou – )
Alors
Error!
v
Error!
u (x) = c.
4° ) Théorèmes des gendarmes.
thm des gendarmes : Si u(x) f(x) v(x) pour tout x proche de a. (a pouvant être réel, + ou – )
Si
Error!
u(x) =
Error!
v(x) = l
alors f admet une limite en a et
Error!
f(x) = l.
thm des gendarmes (bis): Si |f(x) – l | u(x) pour tout x proche de a. (a pouvant être réel, + ou – )
Si
Error!
u(x) = 0
alors f admet une limite en a et
Error!
f(x) = l.
5° ) Théorèmes de comparaison.
thm 1 : Si u(x) f(x) pour tout x proche de a (sauf éventuellement en a) (a est un réel, + ou – )
si
Error!
u(x) = +
alors f admet une limite en a et
Error!
f(x) = + .
thm 2 : Si f(x) v(x) pour tout x proche de a (sauf éventuellement en a)
si
Error!
v(x) = – .
alors f admet une limite en a et
Error!
f(x) = –
ex : a ) lim;x  0– Error!
b ) Error!Error!
Df = ]-;-3][4;+[
c ) Error! cos Error!
ex : Etudier : a ) Error! Error!
b ) Error!Error!
ex : f(x) = Error! + 2 sin x ; étudier f en +  (représentée ci-
contre)
ex : f(x) = Error! ; étudier f en – .

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6° ) Limite d'une composée d'une suite et d'une fonction.
thm : Si f est une fonction définie sur un intervalle I.
si (un) est une suite dont tous les termes appartiennent à l'intervalle I.
si
Error!
un = b et si
Error!
f(x) = c (b et c pouvant être réel, + ou – )
Alors
Error!
f(un) = c.
thm : Si f est une fonction définie sur un intervalle [A ; + [.
si (un) est une suite définie pour tout n A par un = f(n).
si
Error!
f(x) = l (l pouvant être réel, + ou – )
Alors
Error!
un = l.
III. Autres cas de formes indéterminées.
1° ) Forme indéterminée "
Error!
"
méthode : Pour lever une forme indéterminée "
Error!
" d’une limite en a, il faut factoriser par (x – a) le
numérateur et le dénominateur puis simplifier.
2° ) Les racines carrées.
méthode 1 : Multiplier et diviser par le terme conjugué.
méthode 2 : En l’infini, une autre méthode consiste à factoriser par le terme dominant.
ex : f(x) = Error! sur Error! – {-3 ; 4}; étudier f en 4.
ex : "somme :  – " : f(x) = x + x² + 1 sur I; R ; étudier f en –.
ex : "quotient : Error! " : f(x) = Error! sur [-1;3[]3;+[ ; étudier f en 3.
Cahier d’exercice : a ) f(x) = Error! sur Error!+–{1} ; étudier f en 1.
b ) g(x) = Error! sur ]1 ; + [ ; étudier g en 1.