x - isn

Fonctions (limite, continuité, dérivabilité)
I. Limites et asymptotes.
1° ) Limite au voisinage de +
def : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; + [.
Error!
Tout
intervalle
ouvert
Error!
contenant
b
contient
tous
les
f a pour limite –  en +  .
f(x) dès que x est assez grand.
f a pour limite +  en + 
 >0 x0 x >x0 b- < f(x) <b+
Tout intervalle ] A ; + [ contient Pour tout A (aussi proche de – 
tous les f(x) à partir d’une certaine soit-il) il existe x0 tel que pour tout NB : La droite d’équation y = b
x > x0 on ait : f(x) < A.
valeur x0.
est asymptote horizontale à
A  x0 x > x0 f(x) > A.
A  x0 x > x0 f(x) < A.
la courbe au voisinage de +
2
ex :Error!x = .......
Error!
y
y
y
o
ex : Error!x3 = .......
ex :Error! Error!
graphique ?
o
= ...........
x
Conséquence
o
x
3
ex :Error!(
: Error!xError!
= .......+ 5) = ........... donc graphiquement :
ex
ex : Error! (– x² ) =
.........
o
x
ex : Error! ( ax + b) =
2° ) Limite en -.
ex : Error!x3 = .......
def : Soit f une fonction définie sur un intervalle ] -  ; a].
y
Error!
f a pour limite +  en – .
A  x0 x < x0 f(x) > A.
Error! 
def : Lorsque Error! f(x) = b alors la
droite d’équation y = b est
Error!
A  x0 x < x0 f(x) < A.
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asymptote horizontale à la courbe
de f au voisinage de – 
1
y
ex :Error!x2 = .......
y
y
o
ex : Error!x3 =
.......
o
ex : Error! Error! = ...........
Conséquence graphique ?
x
o
x
ex : Error!( Error! + 5) = ........
ex : Error!x3 = .......
ex : Error! (– x² ) =
.........
o
x
ex : Error! ( ax + b) =
y
3° ) Limite en a.
exà:droite
Error!x
....... a+) : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a ; + [.
* limite
en3a=(notée
Error!
Error! ou Error!
Error! ou Error!
+
+
ou
Error!
f a pour limite + à droite en a (noté a ) f a pour limite –  en a .
si tout intervalle ] A ; + [ contient tous A  x x / a< x < x f(x) > A.

0
0
les f(x) pour x proche de a et x > a.
De plus, la droite d’équation x = a est La droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe de f.
asymptote verticale à (Cf).
* limite à gauche en a (notée a–) : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]- ; a [
Error! ou Error!
La droite d’équation x = a est
Error! ou Error!
La droite d’équation
Error!
est ou Error!
asymptote verticale à la courbe de f.

x = a
asymptote verticale à la courbe de f.
* limite en a : Lorsque la limite à droite en a est égale à la limite à gauche en a alors on dit que f admet une
limite en a et on note : Error! f(x) = Error! f(x) = Error! f(x)
Attention : Lorsqu'on étudie une limite en a, il est sous-entendu que x  a.
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2
ex : f(x) = Error! + 2
f(x) = Error!
f est définie sur [-1 ; 3] par :
Etudier la limite de f(x) en
-1 par lecture graphique.
Etudier la limite de f(x) en -3
par lecture graphique.
Etudier la limite de f(x) en 1
par lecture graphique
II. Théorèmes généraux.
1° ) Opérations algébriques.
Il existe quatre types de formes indéterminées :  –  ; 0   ; Error! et Error!
Une forme indéterminée ne signifie pas que la fonction n'a pas de limite mais seulement qu'on ne peut pas
déterminer cette limite (si elle existe) par les opérations algébriques.
2° ) Limites des fonctions usuelles.
limites en l'infini :
limites en 0 :
3° ) Composée de deux fonctions.
u
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v
3
def : composée de deux fonctions (notée v Error! u) :
Error!
v Error! u
x Error! u(x) Error! v(u(x))
thm (admis) : Si Error! u(x) = b et si Error!v(x) = c (a, b et c pouvant être réel, + ou –)
Alors Error! v Error! u (x) = c.
b ) Error!Error!
c ) Error! cos Error!
ex : a ) lim;
Error!
–
x0
Df = ]-;-3][4;+[
4° ) Théorèmes des gendarmes.
thm des gendarmes : Si u(x) f(x) v(x) pour tout x proche de a. (a pouvant être réel, + ou –)
Si Error!u(x) = Error!v(x) = l
alors f admet une limite en a et Error!f(x) = l.
thm des gendarmes (bis):
Si |f(x) – l | u(x) pour tout x proche de a. (a pouvant être réel, + ou –)
Si Error!u(x) = 0
alors f admet une limite en a et Error!f(x) = l.
ex : Etudier : a ) Error! Error!
b ) Error!Error!
5° ) Théorèmes de comparaison.
thm 1 : Si u(x) f(x) pour tout x proche de a (sauf éventuellement en a) (a est un réel, + ou –)
si Error!u(x) = + 
alors f admet une limite en a et Error!f(x) = + .
thm 2 : Si f(x) v(x) pour tout x proche de a (sauf éventuellement en a)
si Error!v(x) = – .
alors f admet une limite en a et Error!f(x) = – 
ex : f(x) = Error! + 2 sin x ; étudier f en +  (représentée cicontre)
ex : f(x) = Error! ; étudier f en – .
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4
6° ) Limite d'une composée d'une suite et d'une fonction.
thm :
Si f est une fonction définie sur un intervalle I.
si (un) est une suite dont tous les termes appartiennent à l'intervalle I.
si Error! un = b et si Error!f(x) = c (b et c pouvant être réel, + ou –)
Alors Error! f(un) = c.
thm :
Si f est une fonction définie sur un intervalle [A ; + [.
si (un) est une suite définie pour tout n A par un = f(n).
si Error!f(x) = l (l pouvant être réel, + ou –)
Alors Error! un = l.
III. Autres cas de formes indéterminées.
1° ) Forme indéterminée " Error! "
ex : f(x) = Error! sur Error! – {-3 ; 4}; étudier f en 4.
méthode :
Pour lever une forme indéterminée " Error! " d’une limite en a, il faut factoriser par (x – a) le
numérateur et le dénominateur puis simplifier.
2° ) Les racines carrées.
méthode 1 :
Multiplier et diviser par le terme conjugué.
ex : "somme :  – " : f(x) = x + x² + 1 sur I; R ; étudier f en –.
ex : "quotient : Error! " : f(x) = Error! sur [-1;3[]3;+[ ; étudier f en 3.
Cahier d’exercice :
méthode 2 :
a ) f(x) = Error! sur Error!+–{1} ; étudier f en 1.
b ) g(x) = Error! sur ]1 ; + [ ; étudier g en 1.
En l’infini, une autre méthode consiste à factoriser par le terme dominant.
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5
ex : "somme :  – " f(x) = 4x² – x² + x + 1 en + 
ex : "quotient : Error! " : f(x) = Error! en – 
x² = – x )
D = I; R
D = Error!
(Attention : pour x < 0 :
3° ) Fonction définie par raccordement.
–
+
ex : Soit { f(x) = x² + 5x sur I; R *;f(x) = x + 4 sur I; R
a ) Calculer f(-3), f(16), f(0) ; quel est le domaine de f ?
b ) Etudier la limite de f en 0 ?
ex : Soit Error!
a ) Quel est le domaine de f ?
b ) Etudier la limite de f en 1 ?
IV. Continuité.
1° ) Définition.
def : Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant le réel a. La fonction f est continue en a
lorsque f admet une limite en a et que Error! c’est à dire : Error!
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6
def :
f est continue sur l'intervalle I signifie que f est continue en tout point de I.
interprétation graphique : La courbe d'une fonction continue se reconnaît au fait que son tracé se fait sans
lever le crayon.
thm : Les fonctions polynômes, cosinus et sinus sont continues sur I; R.
La fonction racine carrée est continue sur I; R+.
La fonction valeur absolue est continue sur I; R.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
thm : La somme, le produit et la composée de fonctions continues est continue sur chacun des intervalles
où elles sont définies.
thm : Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et g non nulle sur I alors le quotient Error!
est continue sur I.
conséquence : Toute fonction construite à partir des fonctions polynômes, de la fonction racine carrée, de la
fonction valeur absolue, des fonctions sinus et cosinus, par addition, multiplication, composition est
continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
2° ) Fonction « partie entière ».
Tout réel x est encadré par deux entiers consécutifs
n et n+1.
ex : x = – 
…… –  < …..
def : On appelle fonction partie entière, la fonction
notée E, qui à tout réel x de l’intervalle [n ; n+1[
associe l’entier relatif n.
On note E(x) = n avec n x < n+1.
ex : E(2,71) = ……....
E(-2,71) = ….......
E(-5) = ….......…
calculatrice TI :
Casio :
OPTN
MATH
NUM
NUM
part ent ou int
intg
courbe de la fonction partie entière : f(x) = E(x) sur
I; R
prop :
x Error! E(x) est continue sur tout intervalle ] k ; k+1[ mais discontinue en tout entier k.
par exemple : en 2 : lim;
x2
–
E(x) = ......... et
lim;
x2
+
E(x) = ........... = f(2).
On dit que la fonction partie entière est continue à droite de 2 mais pas à gauche.
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ex : f(x) = (x – E(x))(x – E(x) – 1) . Etudier la continuité de f sur I; R.
Exercice : Error!
a ) Trouver a pour que g soit continue en 1.
( = -1)
b ) g est-elle alors continue sur I; R ? (nos
de limite en 3)
3° ) Théorème des valeurs intermédiaires.
thm (admis) : Si f est continue sur un intervalle [a , b] alors pour tout
réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c dans
l’intervalle [a , b] tel que f(c) = k.
càd k admet au moins un antécédent c dans [a , b].
càd l'équation k = f(x) admet au moins une solution dans [a , b].
4° ) Théorème de la bijection
thm de la bijection (admis) : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a , b] alors pour
tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l’intervalle [a , b] tel que f(c) = k. càd
k admet un unique antécédent c dans [a , b].
càd l'équation k = f(x) admet une unique solution c dans I.
Deux cas sont possibles :
Pour trouver une valeur approchée de cette solution, on fait un balayage avec le tableur de la calculatrice.
ex : f(x)= 2sinx – x + 1 a ) Dq sur [2 , 3] l'équation f(x) = 0 a une solution unique .
sur [Error! ; ] b ) Déterminer une valeur approchée de  à 10-2 près.   2,38
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8
cas particulier : Si f est continue et strictement monotone sur [a , b] et si f(a)f(b) < 0
alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]a ; b[.
extension des théorèmes : On admet que ces 2 théorèmes se prolongent aux cas où l’intervalle d’étude est
ouvert ( ]a , b[ ), semi-ouvert ( ]a , b] ) ou non borné ( [a ; +[ ).
f(x) = 2x3 – 3x² – 5.
g(x):= 2x^3–3x²–40;
ex :
saisir (a,b);
tantque b-a>=0.1 faire
m:=(a+b)/2;
si g(m)*g(a)<=0
alors b:=m;
sinon a:=m;
fsi;
ftantque;
afficher(a,b);
a ) Dt que f(x) = 35 admet une solution unique  dans [1 , +[.
b ) Déterminer une valeur approchée de  à 10-1 près. 3,2
c ) Expliquer cet algorithme réalisé sur Xcas (avec a < b).
V. Les dérivés.
1° ) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I
rappel : Le taux d'accroissement de f en a est :
Error! ou bien
Error!
def :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I .
f est dérivable en a si son taux d’accroissement en a admet une limite finie.
Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en a et on le note f '(a).
Error!
ou bien
Error!
def2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a ; a + [ (avec >0).
On dit que f est dérivable à droite en a si lim;
Error! =  (   Error! )
+
xa
Cette limite  est appelée le nombre dérivé à droite de f en a et on le note fd'(a).
def :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a –  ; a ] (avec >0).
On dit que f est dérivable à gauche en a si lim;
Error! = ' ( '  Error! ).
–
xa
Cette limite ' est appelée le nombre dérivé à gauche de f en a et on le note fg'(a).
NB :
Pour une fonction f dérivable en a alors : fg'(a) = fd'(a) = f '(a).
En physique, f ' est noté Error! ; ou bien Error! si la variable est le temps.
2° ) Interprétation graphique de la dérivabilité.
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Nombre dérivé : f '(a) est le coefficient directeur de la
tangente à la courbe au point A(a, f(a)).
La tangente en A(a ; f(a)) a pour équation
y = f ’(a)(x – a) + f(a)
Error!(1 ; f ’(a)) est un vecteur
directeur
Si f est dérivable à droite en a alors la courbe a une demitangente à droite en A de coefficient directeur fd'(a).
Si f est dérivable à gauche en a alors la courbe a une demitangente à gauche en A de coefficient directeur fg'(a).
Point anguleux : Lorsque fg'(a)  fd'(a) alors la courbe présente un
"point anguleux" en A.
Demi-tangente verticale :
Si lim;
Error! est infinie alors la courbe admet une demi-tangente
+
xa
verticale à droite de A.
Si lim;
Error! est infinie alors la courbe admet une demi-tangente
–
xa
verticale à gauche de A.
ex : f(x) = | x |. Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
ex : f(x) =
x . Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
3° ) Continuité et dérivabilité.
thm : Si une fonction est dérivable sur un intervalle I alors cette fonction est continue sur I
dt :
Posons T(x) = Error! alors f(x) = f(a) + T(x)  (x – a)
Comme f est dérivable en a alors lim;
T(x) = f '(a) ; on en déduit que :
xa
lim;
xa
f(x) = lim;
xa
(f(a) + T(x)  (x – a)) = f(a) donc f continue en a.
rmq : La réciproque du théorème est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être
dérivable. (un contre-exemple est la fonction valeur absolue : x Error! | x |)
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4° ) Théorèmes.
thm : Les fonctions polynômes, cosinus et sinus sont dérivables sur I; R.
La fonction racine carrée x Error! Error! est dérivable sur ] 0 ; + [.
La fonction valeur absolue x Error! | x | est dérivable sur ] –  ; 0 [ et sur ] 0 ; + [.
Les fonctions rationnelles sont dérivables sur chacun des intervalles où elles sont définies.
thm : La somme, le produit et la composée de fonctions dérivables sont dérivables sur chacun des
intervalles où elles sont définies.
thm : Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et g non nulle sur I alors le quotient Error!
est dérivable sur I.
thm : * Si f = | u | alors f est dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et non nulle.
* Si f = u alors f est dérivable sur tout intervalle où la fonction u est dérivable et strictement
positive et Error!
* Si f = un (avec n  I; N*) alors f est dérivable sur tout intervalle où la fonction u est dérivable et
(un ) ' = n un-1 u' . Cette formule reste vraie pour n négatif non nul si u  0.
* Si g : x Error! f(ax+b) avec f dérivable sur un intervalle J, alors g est dérivable sur un intervalle I
(tel que : pour tout x  I, on a ax+b  J) et Error!
* Si g : x Error! f(u(x)) avec u dérivable sur un intervalle I et f dérivable sur u(I), alors g est
dérivable sur I et Error! (c'est la dérivée d'une fonction composée)
ex : Trouver l’expression des dérivées de : f = sin(u) ; g = cos (u).
ex : Soit f(x) = x x
étudier la dérivabilité de f sur I; R+.
Exercice : Soit f(x) = x² – |x – 2| étudier la dérivabilité de f sur I; R.
5° ) Limite d'un taux d'accroissement (nombre dérivé).
méthode : Lorsque la limite cherchée est celle d’un taux d'accroissement alors on utilise le nombre dérivé.
exemple à connaître : lim;
Error! = Error!Error! = (sin)'(0) = cos0 = 1
Error!
x0
Limite avec changement de variable : a ) lim;
x0
Error!
b ) Error! Error!
VI. Les fonctions sin et cos.
1° ) Généralités.
def : Une fonction f admet une période T si :
1 )  x  Df , x + T  Df
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2 )  x  Df , f(x + T) = f(x).
prop : Les fonctions sin et cos sont périodiques de 2 ; donc il suffit de les étudier sur un intervalle
d'amplitude 2 (par ex : [0 ; 2] ou [- ; ]) pour en déduire l'étude sur I; R.
parité : Une fonction f admet une parité si :
1 ) Df est centré en 0.
2 )  x  Df , f(-x) = f(x) si f est paire ** OU ** f(-x) = – f(x) si f est impaire .
prop : cos est paire car :  x  I; R cos(-x) = cos(x)
Donc sa courbe est symétrique par rapport à (Oy)
Donc on peut limiter l'intervalle d'étude de la fonction cos à [0 ; ] car avec la symétrie on peut en déduire
l'étude sur [- ; ] ; puis avec la périodicité on en déduit l'étude sur I; R.
f(x)
f '(x)
prop : sin est impaire car :  x  I; R sin(-x) = – sin(x)
Donc sa courbe est symétrique par rapport au point O.
Donc on peut aussi limiter l'intervalle d'étude à [0 ; ].
prop : cos et sin sont continues et dérivables sur I; R.
sin x
cos x
cos x
– sin x
sin(ax + b)
a cos(ax + b)
cos(ax + b)
– a sin(ax + b)
2° ) Etude de sin et cos.
a ) Sinus
f(x) = sin x
f '(x) = cos x
Etude du signe de cos x sur [0 ; ]
cos x
0 sur ...................
cos x
0 sur ....................
b ) Cosinus
f(x) = cos x f '(x) = ...............
Etude de signe de f '(x) sur [0 ; ]
c ) Courbes de sin et cos
3° ) Inéquations
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ex : 1° ) Résoudre dans [0 ; 2] les inéquations :
a ) cos x Error!
b ) 2sin x > 3
c ) sin x
– Error!
2°) Construire sur [0 ; 2] le tableau de signes de f(x) = cos x (sin x + Error! )
a ) cos x
; ]
– Error! dans [-  b ) 2sin x < 3 dans [-  ; ]
c)
2 cos x
– 1 dans [-  ; ]
Exercice : Construire sur [- ; ] le tableau de signes de f(x) = sin x (cos x + Error!)
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13
exercice 1 : Etudier la continuité et la dérivabilité de f. Proposer un tableau de variation de f (avec signe de f ’).
exercice 2 : f(x) = x² + x . Domaine, limites, continuité, dérivabilité en 0 (à droite) et en -1 (à gauche).
exercice 3 : Soit f la fonction définie par : Error!
a ) Quel est le domaine de définition de f ? Déterminer la limite de f aux bornes du domaine.
b ) Etudier la limite de f en -1 et 3.
c ) Etudier la continuité de f.
d ) Etudier la dérivabilité de f.
e ) Dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, tracer la courbe de f (et faire apparaître l'interprétation
graphique de l'étude de la dérivabilité de f et les éventuelles asymptotes)
f ) Déterminer Error!Error!
exercice 4 : f(x) = x – E(x).
Montrer que f est périodique de période 1.
exercice 5 : Soit f la fonction définie sur I; R par f(x) = cos²(x) – 3cos x
1° ) Expliquer pourquoi on peut limiter l’étude de f à l’intervalle [0 ; ].
2° ) Etudier f sur [0 ; ] ; puis en déduire son tableau de variation sur [- ; ]. f '(x) = sinx ( 3 – 2 cos x)
exercice 6 : Soit f la fonction définie sur I; R par f(x) = cos x – cos²(x)
1° ) Résoudre dans [0 ; ] l’inéquation f(x) 0.
2° ) Expliquer pourquoi on peut limiter l’étude de f à l’intervalle [0 ; ].
3° ) Etudier f sur [0 ; ].
Problème ouvert : Sur la figure ci-contre, le centre du secteur angulaire est le sommet
du triangle isocèle hachuré.
Pour quelle(s) valeur(s) de l’angle d’ouverture, l’aire de la partie coloriée est égale à
l’aire du triangle hachuré ?
exercice 2 : Etudier les limites :

a) f(x) =2 x(4 – x) en + 
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b ) f(x) = 4|x| + Error! en +  et –
14
c ) f(x) = x + 1 – x en + 
d ) f(x) = 2x² – x en + 
f ) f(x) = x² – 4 – x² + x + 1 en – 
e ) f(x) = Error! en 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dérivée d’une fonction composée. p 42 : n°94 (cont & encadrmt) -100
application pour une précision C (ex : C=0.1) :
Entrer g(x) dans Y1 (touche f(x) ) Y1= 2X^3–3X²–40;
Entrer le programme : PRGM > New > Name:DICHOTOM
:Prompt A,B,C
:While B-A C
:(A+B)/2Error!M
:If Y1(M)Y1(A) 0
:then
:MError!B
:else
:MError!A
:End
:End
:Disp A,B
2nd
QUIT puis exécuter le programme : PRGM > Exec
--------------------------- LMITES DE DEMARRAGE en +  et –  ---------------------------f(x) = - 3x² + 5
f(x) = 3x3 + x + Error!
f(x) = 4x² + x
f(x) = Error!
f(x) = Error!
f(x) = Error!
---------------------------- LIMITES DE FCT IRRATIONNELLES ------------------------------f(x) = x + 1 – x en +  (conj)
f(x) = 2x² – x en +  (fact)
f(x) = Error! en 3
f(x) = x² – 4 – x² + x + 1 en –  (conj puis fact)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------exercice : étude de f(x) = x² + x
domaine, limites (en – !!), continuité sur ]-  ; 0]  [1 ; + [, dériv en 0- (interpréter : tgte verticale), dériv
en 1+(idem)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------exercice : Soit f la fonction définie par : Error!
a ) Quel est le domaine de définition de f ? Déterminer la limite de f aux bornes du domaine.
b ) Etudier la limite de f en -1 et 3.
c ) Etudier la continuité de f.
d ) Etudier la dérivabilité de f.
e ) Dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, tracer la courbe de f (et faire apparaître l'interprétation
graphique de l'étude de la dérivabilité de f et les éventuelles asymptotes)
f ) Déterminer Error!Error!
[ sur ] -1 ; 3[ f(x) = Error! ; cont en -1 (anguleux) ; non continue en 3 ]
PROPOSITION : Dans un repère orthonormal, on considère le cercle (C) d'équation x²+y²=1 et le point I de
coordonnées (1;0). M et N sont deux points du cercle (C) tels que (MN)et (OI) soient perpendiculaires et H est le
point d'intersection des droites (OI) et (MN). On pose OH=x.
1. Calculer l'aire du triangle MNI en fonction de x.
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2. f est la fonction définie sur [-1;+1] par : f(x) = (1 – x) 1 – x²
a) Trouver les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Etudier la dérivabilité de la fonction en -1 et +1.
En déduire une équation des tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisses -1 et +1.
c) Etudier le sens de variation de la fonction f et donner son tableau de variation.
d) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité graphique: 10 cm).
3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle MNI est-elle maximale? Quelle est cette aire?
4. Déterminer à 0,01 près, pour quelle valeur de x, autre que zéro, l'aire du triangle MNI est égale à 1.
-------------------------------- Hors - Programme -------------------------------------------------------1) Approximation affine.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant a donc
Error! Error! = f '(a)
donc Error! Error! = 0.
Posons (h) = Error! – f '(a) alors Error! = (h) + f ’(a) et f(a + h) – f(a) = h ((h) + f ’(a) )
f(a + h) = f(a) + h f ’(a)+ h (h) avec lim;
(h) = 0.
h0
cqce : pour h voisin de 0 : f(a + h)  f(a) + h f ’(a).
En posant x = a + h alors pour x voisin de a : f(x)  f(a) + f ’(a)(x – a)
* interprétation graphique : Au voisinage de A, la tangente est la droite la plus proche de la courbe Cf
* La meilleure approximation affine de f au voisinage de a, est la fonction g telle que g(x) = f '(a) (x – a) +
f(a).
ex22: Sans calculatrice donner une valeur approchée de
1
002.
1°) Notation différentielle.
Pour h voisin de 0 :
f(x + h)  f(x) + h f ’(x)
donc f(x + h) – f(x)  h f ’(x)
Posons f(x + h) – f(x) = y et (x + h) – x = x d’où
y
 x f ’(x)
Error!  f ’(x) pour x proche de 0. Notation différentielle (de Leibniz) : Error! = f ’(x) ou Error! = f
’(x) ou Error! = f ’
démonstration du thm des gendarmes : Pour tout voisinage V contenant l ; comme Error!u(x) = l alors V
contient tout les réels u(x) pour x appartenant à un certain intervalle Iu. Idem, Error!v(x) = l alors V
contient tout les réels v(x) pour x appartenant à un certain intervalle Iv. Ainsi pour tout x  Iu  Iv alors u(x)
et v(x) appartiennent à V ; puis comme u(x) f(x) v(x) alors f(x)  V.
def :
def :
def :
veut)
def :
veut)
On appelle voisinage de +  tout intervalle ouvert ]A ; +[ avec A est aussi grand que l'on veut.
On appelle voisinage de –  tout intervalle ouvert ] –  ; -A[ avec A est aussi grand que l'on veut.
On appelle voisinage de a+ tout intervalle ouvert ] a ; a +  [ avec  >0 (aussi proche de 0 qu'on
On appelle voisinage de a– tout intervalle ouvert ] a –  ; a [ avec  >0 (aussi proche de 0 qu'on
ex 1 : f(x) = 3 – Error!
a ) Pour tout  > 0, résoudre dans ]-2 ; +[ l'inéquation f(x) > 3 – 
b ) En déduire la limite de f en +. (x>0 dc f(x)<3 dc 3–<f(x)<3 sur ]Error!
– 2;+[
NB : La limite lorsqu'elle existe, est unique et indépendante de x.
démonstration par l'absurde : Si 2 limites distinctes  et ' existent alors il existe  = Error! et les voisinages
]- ; +[ et ]'– ;'+[ contiennent tous les f(x) ; impossible car ces voisinages ont une intersection
vide.
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2) Etude de la fonction tangente
a ) Fonction périodique
def 1 : "T est une période de f" ;
def 2 :"on appelle LA période la plus petite période strictmt positive"
ex : sin ; cos
ex : f(x) = x – E(x) est 1-périodique
a ) b ) Etude de la fonction tangente
* domaine : I; R – { Error! + k  ; k  Error! }
* périodicité : [1°) mq 2 est une période de tan ; 2°) mq  est une période ]
prop :  est LA période de tan [admis]
cqce : limiter l'étude à un intervalle de longueur , donc]- /2 ; /2 [ compte tenu des VI)
* parité, puis étude sur [0 ; /2[ ; prop : tan est impaire
* dérivé ; prop : (tan)' = ... = ...
* limite en /2
* tableau de valeurs et tracé de courbe.
ex : Vrai ou Faux ? Error! tan Error! = Error! ?
Exercice 3 (5,5 points)
1° ) Montrer que pour tout X de I; R on a X3 – 1 = (X – 1)(X² + X + 1) puis résoudre
dans I; R l’inéquation X3 – 1 0.
2° ) Soit f la fonction définie sur ] – Error! ; Error! [ par f(x) = sin x – tan x
a ) Etudier la parité de f.
b ) Etudier f sur [ 0 ; Error! [
c) Déterminer et justifier le tableau de variations de f sur ] – Error! ; Error! [ .
Exercice
Soit f la fonction définie par f(x) = Error!
1° ) La fonction f est-elle définie sur ] – Error! ; Error! [ ?
2° ) Expliquer pourquoi on peut limiter l’étude de f à l’intervalle ] 0 ; Error! [ .
3° ) Etudier la fonction f sur l’intervalle ] 0 ; Error! [.
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Progression
25/9 (2h) : q ? pr DS + cours Thm de comparaison de limites
28/9 : Limite d’une fct composée ; II Continuité
29/9 TD : 51 p 38
1/10 :
Hors programme
def :
f est continue à droite en x 0 signifie que Error!f(x) = f(x 0). (pour f définie en x 0 et à droite de x 0)
f est continue à gauche en x 0 signifie que Error!f(x) = f(x 0). (pour f définie en x 0 et à gauche de x 0)
ex :
g(x) = Error! sur Error!*
Tracer g ; pas définie en 0 donc pas continue en 0.
Error!
Dg 1 = Df  {0} = Error!
Tracer g 1 ; continue à droite en 0.
Error!
Tracer g 2 ; continue à gauche en 0.
Error!
Tracer g 3 ; pas continue en 0
ex :
ex :
ex :
2°) Prolongement par continuité.
def : Si f est une fonction non définie en x 0 mais admet une limite finie l en x 0 alors la fonction g définie
par Error!est continue en x 0 on l'appelle le prolongement par continuité de f en x0.
ex :
ex :
f(x) = Error! se prolonge par Error! en 0.
g(x) = Error! se prolonge par Error! en 1 mais ne se prolonge pas en 3.
3°) Image d'un intervalle.
prop : * L'image d'un intervalle I par une fonction continue est un intervalle f(I).
* Si I est fermé (I = [a , b]) alors f(I) est fermé (f(I) = f([a , b]) = [m , M]).
* Si y0  f(I) alors y0 admet un ou plusieurs antécédents.
thm de la bijection : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f(I) est un intervalle
et f réalise une bijection de I sur f(I).
ie pour tout y0 de f(I), y0 admet un unique antécédent x0 dans I.
ie pour tout y0 de f(I), l'équation y0 = f(x) admet une unique solution x0 dans I.
ex : f(x) = x 2 - 4x + 3. Chercher l'image par f de l'intervalle I = [1 , 3]
f(1) = 0 f(3) = 0. Il faut chercher les variations de f. f'(x) = 2(x – 2)
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f([1 , 3]) = [-1 , 0].
4°) Inégalité des accroissements finis
thm : Soit m et M deux réels et une fonction f dérivable sur un intervalle [a , b].
Si pour tout x de [a , b] m f ' (x) M.
Alors on a : m(b - a) f(b) - f(a) M(b - a).
thm : Si f est définie et dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout t de I |f ' (t)| M.
Alors pour tous éléments x et y de I, on a |f(y) - f(x)| M |y - x|.
---------------------------------------------------------------------------------------écriture différentielle : A partir de la définition : lim;
Error! = f '(a)
xa
on peut écrire : y/x = f '(x) +  avec  tend vers 0 (lorsque x Error! 0)
y = f '(x) x +  x
L’écriture différentielle est exprimée par cette égalité : dy = f '(x) dx
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