sur la nature non-cyclotomique des points d`ordre fini des courbes

“d0145rev.jl” — 2004/5/26 — 11:38 — page 81 — #1
i
i
i
i
i
i
i
i
SUR LA NATURE NON-CYCLOTOMIQUE DES
POINTS D’ORDRE FINI DES COURBES
ELLIPTIQUES
LO¨ IC MEREL
Appendice de E. Kowalski et P. Michel
R´ esum´ e
Nous ´ etudions le corps Kpengendr´ e par les points d’ordre premier pd’une courbe el-
liptique sur un corps de nombres. Avec l’aide de Kowalski et Michel, nous d´ emontrons
que pour presque tout nombre premier p, toute courbe elliptique sur le corps cyclo-
tomique Q(µp)poss´ edant un sous-groupe cyclique Q(µp)-rationnel d’ordre pa po-
tentiellement bonne r´ eduction en caract´ eristique p. Nos m´ ethodes s’appliquent aussi
pour ´ etudier, nombre premier par nombre premier, les courbes elliptiques n’ayant
pas potentiellement bonne r´ eduction en p. En particulier, nous d´ emontrons qu’on a
Kp6= Q(µp)pour 5<p<1000 et p≡1(mod 4). Nous faisons un usage crucial
des travaux de Kato sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
0. Introduction
Lorsque Eest une courbe elliptique sur un corps de nombres, le corps Kp(E)en-
gendr´ e par les points de p-division de Econtient un corps cyclotomique Q(µp)en-
gendr´ e par les racines p-i` emes de l’unit´ e — Cela est une cons´ equence ´ evidente de la
structure fournie par les accouplements de Weil. Cet article vise ` a´ etablir que Kp(E)
ne peut gu` ere ˆ etre aussi petit que Q(µp).
Notons Sl’ensemble des nombres premiers ptels qu’il existe une telle courbe el-
liptique avec Q(µp)=Kp(E). Il est connu que l’ensemble Scontient les nombres 2,
3 et 5 (puisque la courbe modulaire param´ etrant le probl` eme de module correspondant
est de genre nul et poss` ede au moins un point Q(µp)-rationnel). E. Halberstadt sem-
ble avoir ´ etabli r´ ecemment que Sne contient pas 7 (voir [6]). Nous sommes incapable
d’´ etablir la finitude de S(les techniques de [21] sont de peu de secours). Pour aborder
cette derni` ere question, il semble naturel de s´ eparer le probl` eme en trois classes de
courbes elliptiques sur Q(µp), selon la g´ eom´ etrie de la fibre en l’id´ eal Pau dessus
DUKE MATHEMATICAL JOURNAL
Vol. 110, No. 1, c 2001
Received 19 May 2000. Revision received 18 September 2000.
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11F, 11G, 11M, 14G.
81

“d0145rev.jl” — 2004/5/26 — 11:38 — page 82 — #2
i
i
i
i
i
i
i
i
82 LO¨ IC MEREL
de pdu mod` ele de N´ eron sur Z[µp]:
— Le cas p-cuspidal, c’est-` a-dire le cas des courbes elliptiques n’ayant pas po-
tentiellement bonne r´ eduction en P. Nous obtenons beaucoup d’informations
dans ce cas.
— Le cas p-ordinaire, c’est-` a-dire le cas des courbes elliptiques ayant potentielle-
ment bonne r´ eduction ordinaire en P. Dans le cas ordinaire on peut distinguer
le cas (non d´ etermin´ e par la g´ eom´ etrie) des anomalies, c’est-` a-dire le cas o` u
la r´ eduction modulo Pde la courbe elliptique poss` ede un point d’ordre p.
Une ´ etude facile montre que les courbes elliptiques ordinaires donnant lieu
aux ´ el´ ements de Spr´ esentent des anomalies.
— Le cas p-supersingulier, qui concerne, comme on s’en doute, les courbes ellip-
tiques ayant r´ eduction potentiellement supersinguli` ere en caract´ eristique p. J.
Oesterl´ e m’a convaincu que ces courbes ne donnent naissance ` a aucun ´ el´ ement
p>3 de S.
Faute de pouvoir montrer la finitude de S, nous nous proposons d’aller dans la di-
rection g´ en´ erale suivante : ´ etudier les ensembles S0,c,S0,oet S0,sde nombres premiers
pour lesquels il existe une courbe elliptique sur Q(µp)p-cuspidale, p-ordinaire ou p-
supersinguli` ere respectivement munie d’un sous-groupe Cd’ordre pqui est Q(µp)-
rationnel. Ajoutons que notre m´ ethode semble indiquer que l’´ enum´ eration des trois
cas d´ enote une difficult´ e croissante.
Dans le cas cuspidal, nous obtenons le r´ esultat suivant (cons´ equence de la propo-
sition 5, du corollaire 3 de la proposition 6 et de l’appendice).
TH ´ EOR ` EME
L’ensemble S0,cest fini.
Les techniques utilis´ ees dans notre preuve font appel de fac¸on centrale aux id´ ees
vieilles de vingt ans de B. Mazur [17] et aux r´ esultats r´ ecents de K. Kato (heureuse-
ment r´ edig´ es pour l’essentiel par A. Scholl [26]) en direction de la conjecture de Birch
et Swinnerton-Dyer.
Nous proc´ edons en deux ´ etapes : d’abord nous nous efforc¸ons de montrer que
les points Q(µp)-rationnels p-cuspidaux (en le sens ci-dessus, mais notre m´ ethode
s’applique aussi parfois aux points p-ordinaires) de la courbe modulaire X0(p)sont
quadratiques r´ eels. Nous concluons en appliquant les m´ ethodes de S. Kamienny
d’´ etude des points quadratiques de X0(p).
Soient pun nombre premier et χun caract` ere de Dirichlet (Z/pZ)∗−→ C∗. On
r´ esumera par Hp(χ) l’assertion suivante : il existe une forme modulaire parabolique
f=Pnanqnde poids 2 pour 00(p)telle que la fonction enti` ere L(f, χ , s)qui
prolonge la s´ erie de Dirichlet P∞
n=1anχ(n)n−sne s’annule pas en s=1.Nous

“d0145rev.jl” — 2004/5/26 — 11:38 — page 83 — #3
i
i
i
i
i
i
i
i
CYCLOTOMIE ET POINTS D’ORDRE FINI 83
d´ emontrons que les nombres premiers appartenant ` aS0,cne v´ erifient pas Hp(χ) pour
au moins un caract` ere χ:(Z/pZ)∗−→ C∗non quadratique pair. L’´ etude de Hp(χ)
est donc essentielle ` a notre d´ emonstration.
E. Kowalski et P. Michel d´ emontrent que tout nombre premier p>1025 v´ erifie
Hp(χ) pour χnon quadratique pair (voir [13]). L’une de leurs d´ emonstrations, qui
est ´ el´ ementaire, est donn´ ee en appendice. On est tent´ e de ne pas se satisfaire de leur
borne. C’est pourquoi nous faisons quelques efforts, ind´ ependamment de Kowalski et
Michel, visant ` a´ etablir Hp(χ) dans la deuxi` eme partie. Nos r´ esultats sont partiels,
mais nous esp´ erons qu’ils jettent une lumi` ere int´ eressante sur l’hypoth` ese Hp(χ).
En particulier, nous d´ emontrons que Hp(χ ) est v´ erifi´ ee dans les trois cas suivants :
lorsque pest un nombre premier congru ` a 11 ou 19 modulo 20 et χest impair, lorsque
χest injectif et p/∈ {2,3,5,7,13,1487}et lorsque χest un caract` ere d’ordre une
puissance d’un nombre premier ` > 3. L’´ etude du dernier cas fait intervenir l’id´ eal
d’Eisenstein de l’alg` ebre de Hecke de J0(p). Cela retiendra peut-ˆ etre l’attention du
lecteur familier avec [16].
Ajoutons que l’hypoth` ese Hp(χ) est fausse lorsque p∈ {2,3,5,7,13}, et lorsque
χest quadratique pair. W. Stein a v´ erifi´ e qu’elle n’est fausse dans aucun autre cas
pour p<1000. En se fondant sur une variante de la proposition 16, et avec l’aide
de Stein, nous avons d´ emontr´ e qu’aucun nombre premier pv´ erifiant 7 <p<1000
n’appartient ` aS, sauf, peut-ˆ etre, 13. Les d´ etails relatifs ` a ces calculs seront publi´ es
s´ epar´ ement.
1. G´ eom´ etrie et arithm´ etique de X0(p)et J0(p)
1.1. Un lemme ´ el´ ementaire de g´ eom´ etrie arithm´ etique
Soit pun nombre premier. Conform´ ement ` a l’usage, notons X0(p)la courbe sur Q
qui classe grossi` erement les courbes elliptiques g´ en´ eralis´ ees munies d’un sous-groupe
cyclique d’ordre p(voir [1]). Notons X0(p)le mod` ele r´ egulier minimal de X0(p)sur
Z. Notons J0(p)la vari´ et´ e jacobienne de X0(p). Notons Tle sous-anneau (commu-
tatif) de EndQJ0(p)engendr´ e par les op´ erateurs de Hecke et l’involution Wp. (Nos
notations co¨ ıncident notamment avec celles de [16].) Notons J0(p)le mod` ele de
N´ eron sur Zde J0(p)(dont la composante neutre n’est autre que Pic0(X0(p)).) No-
tons X0(p)`la partie lisse de X0(p): elle est obtenue en ˆ otant les sections qui sont
supersinguli` eres dans la fibre en p(voir [1]).
Pour ´ etudier l’existence de points Q(µp)-rationnels sur X0(p)nous ferons usage
du r´ esultat suivant. Lorsque χest un caract` ere ` a valeurs complexes, on notera Z[χ]le
sous-anneau de Cengendr´ e par les valeurs de χ.

“d0145rev.jl” — 2004/5/26 — 11:38 — page 84 — #4
i
i
i
i
i
i
i
i
84 LO¨ IC MEREL
PROPOSITION 1
Soit pun nombre premier. Soient Ket Ldeux extensions finies de Qpv´ erifiant les
inclusions Qp⊂K⊂L⊂Qp(µp)et d’anneaux des entiers OKet OLrespective-
ment. Posons S0=spec OKet S=spec OL. Soit Xun sch´ ema s´ epar´ e et noetherien
sur S0de fibre sp´ eciale ¯ X. Soient s1et s2des sections du morphisme canonique
X×S0S−→ Sdont les restrictions ` a la fibre g´ en´ erique (les “points” L-rationnels)
sont not´ ees P1et P2. Supposons que les restrictions de ces sections ` a la fibre sp´ eciale
de Sco¨ ıncident avec une section ¯s:spec Fp−→ ¯ X.
Supposons que pour tout caract` ere χ:Gal(L/K)−→ C∗il existe un morphisme
de S0-sch´ emas φχ:X−→ A, o` uAest le mod` ele de N´ eron sur S0d’une vari´ et´ e
ab´ elienne Asur Qpet tχ∈EndKA⊗Z[χ]v´ erifiant les deux conditions suivantes :
(i) L’homomorphisme de Z[χ]-modules φ∗
χ◦t∗ χ(d´
eduit des morphismes φχ
et tχpar passage aux espaces cotangents et extension des scalaires) :
Cotgφχ(¯s)A⊗Z[χ] −→ Cotg¯sX⊗Z[χ]est surjectif (on dira alors que
le couple (tχ, φχ)constitue une pseudo-immersion formelle au point ¯s).
(ii) On a dans A(L)⊗Z[χ]:
X
σ∈Gal(L/K)
χ(σ )tχσφχ(P1)=X
σ∈Gal(L/K)
χ(σ )tχσφχ(P2).
Alors les sections s1et s2(et donc P1et P2) co¨ ıncident.
D´ emonstration
Notons Pl’id´ eal de Zp[µp]au-dessus de pZp. Notons PX(resp. PA) l’id´ eal
maximal du compl´ et´ e formel de X(resp. A) le long de ¯s(resp. φχ(¯s)).
Supposons que s1et s2ne co¨ ıncident pas. Par passage aux espaces cotangents,
ces sections d´ efinissent des homomorphismes s∗
1et s∗ 2:PX/P2
X−→ P/P2qui
ne co¨ ıncident pas par le lemme de Nakayama. Pour χcaract` ere de Gal(L/K)notons
eχ=(1/[L:K])Pσ∈Gal(L/K)¯χ(σ )σ l’idempotent de Z[χ , 1/(p−1)][Gal(L/K)]
qui projette sur la composante χ-isotypique. Le nombre p´ etant premier ` a[L:K], ces
idempotents d´ efinissent une d´ ecomposition en somme directe du Fp-espace vectoriel
P/P2. Il existe donc un charact` ere χ:Gal(L/K)−→ Z[χ]∗tel que eχ◦s∗
1et
eχ◦s∗
2soient distincts. Comme l’application cotangente φ∗
χ◦t∗ χest surjective, les
applications eχ◦s∗
1◦φ∗
χ◦t∗ χet eχ◦s∗
2◦φ∗
χ◦t∗ χsont distinctes. Or cela contredit la
formule dans A(OL)⊗Z[χ]d´ eduite de l’hypoth` ese (ii) par extension au mod` ele de
N´ eron et application ` a l’espace cotangent.
Remarque. L’hypoth` ese (i) est v´ erifi´ ee lorsque tχ∈EndKAet tχ◦φχest une immer-
sion formelle (au sens habituel) au point ¯s, d’o` u notre terminologie. L’hypoth` ese (ii)
est v´ erifi´ ee par exemple lorsque tχ=1 et lorsque A,tχ,P1et P2sont M-rationnels

“d0145rev.jl” — 2004/5/26 — 11:38 — page 85 — #5
i
i
i
i
i
i
i
i
CYCLOTOMIE ET POINTS D’ORDRE FINI 85
pour un sous-corps Mde Ltel que tχA(M)=0. Mais ces hypoth` eses plus faibles ne
nous suffisent pas.
1.2. Points d’ordre pde J0(p)
L’assertion suivante est une cons´ equence facile des travaux de Mazur [16].
PROPOSITION 2
La vari´ et´ e ab´ elienne J0(p)ne poss` ede pas de point Q(µp)-rationnel d’ordre p.
D´ emonstration
L’´ enonc´ e est ´ evident et sans int´ erˆ et si p=2. Supposons donc que p>2.
Soit P∈J0(p)(Q(µp))[p]. Si Pest non nul, quitte ` a multiplier par un ´ el´ ement
de Tappropri´ e on peut supposer que l’annulateur de Pdans Test un id´ eal maximal
Mqui est n´ ecessairement de caract´ eristique r´ esiduelle p.
Consid´ erons le sous-sch´ ema Nen T/M-vectoriel engendr´ e par P. C’est un sous-
sch´ ema T/M-vectoriel de J0(p)[M]. Notons ila dimension de l’espace vectoriel sur
T/Msous-jacent. Comme J0(p)( ¯ Q)[M]est un espace vectoriel de dimension 2 sur
T/M(voir [16, proposition II.14.2] qui s’applique car p>2), on a i=1 ou 2.
Supposons qu’on ait i=1. D’apr` es [16, proposition II.14.1], l’id´ eal Mest un
id´ eal premier d’Eisenstein. Cela n’est possible que lorsque pdivise le num´ erateur de
(p−1)/12, c’est-` a-dire jamais. Cela exclut le cas i=1.
´
Etudions maintenant le cas i=2. On obtient alors un homomorphisme de
groupes
GalQ(µp)/Q'(Z/pZ)∗−→ Aut J0(p)( ¯ Q)[M] ' GL2(T/M).
Comme T/Mest un corps fini de caract´ eristique p>2, une ´ etude facile nous in-
dique que l’image de cet homomorphisme est conjugu´ ee (dans GL2(T/M))` a un
sous-groupe diagonal. On obtient donc l’existence d’un sous T/M[Gal(Q(µp)/Q)]-
module de dimension 1 sur T/M. L’´ etude du cas i=1 exclut pr´ ecis´ ement cette
situation.
On a donc P=0.
COROLLAIRE
Soit Pun point d’ordre fini nde J0(p)(Q(µp)). L’extension de Pau mod` ele de N´ eron
de J0(p)est d’ordre ndans la fibre en p.
D´ emonstration
On sait que nest premier ` apd’apr` es la proposition pr´ ec´ edente. Un lemme de
sp´ ecialisation bien connu (voir par exemple [17]) permet de conclure : dans un sch´ ema