Chapitre 6 OPERATIONS ET NOMBRES ENTIERS

6ème
Chapitre
OPERATIONS ET NOMBRES ENTIERS
Connaître les tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
Division euclidienne.
Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la main ou
instrumenté.
Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme,
facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10.
Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9.
Calculer des durées, calculer des horaires.
Chapitre
OPERATIONS ET NOMBRES ENTIERS
1) Addition :
a) Vocabulaire :
Une addition est une opération.
Les termes sont les nombres que l’on ajoute.
La somme est le résultat.
Exemple :
Les termes de l’addition 78+30
sont 78 et 30.
La somme de 78 et de 30 est 108.
b) Propriété :
On peut modifier l’ordre des termes d’une addition, sans que cela change leur somme.
Exemple : Calcul astucieux
A = 25 + 78 + 75 + 12
A = ( 25 + 75) + (78 + 12)
A = 100 + 90 = 190
On peut ainsi calculer mentalement.
2) Soustraction :
a) Vocabulaire :
Une soustraction est une opération.
Les termes sont les nombres que l’on
soustrait.
La différence est le résultat.
Exemple :
Les termes de la soustraction 78 − 30
sont 78 et 30.
La différence de 78 et de 30 est 48, en effet
48 + 30 = 78 .
b) Remarques :
Attention !! On ne peut pas modifier l’ordre des termes d’une soustraction.
Exemple :
On peut calculer 33 − 15 = 18 , mais calculer 15 − 33 n’est pas au programme de 6ème.
3) Multiplication :
a) Vocabulaire :
Une multiplication est une opération.
Les facteurs sont les nombres que l’on multiplie.
Le produit est le résultat.
Exemple :
Les facteurs de la multiplication 13 × 18 sont 13 et 18.
Le produit de 13 et de 18 est 234.
×
1
+1
2
1
1
0
3
3
3
8
4
0
4
→13×8
→13×10
b) Propriété :
On peut modifier l’ordre des facteurs d’une multiplication,
sans que cela change leur produit.
Exemple : Calcul astucieux, B = 25 × 32 × 4 = ( 25 × 4) × 32 = 100 × 32 = 3 200 .
On peut ainsi calculer mentalement.
4) Division euclidienne :
a) Exemples :
Avec 420 fleurs on confectionne 24 bouquets identiques.
Combien y a t’il de fleurs dans chaque bouquet ?
420 est le « dividende »
24 est le « diviseur »
17 est le « quotient entier »
12 est le « reste ».
4
- 2
1
- 1
2
4
8
6
1
0
2 4
0
8
2
1 7
On a donc 420 = 17 × 24 + 12 . Il y a 17 fleurs dans chaque bouquet et il reste 12 fleurs.
Avec 380 élèves combien de groupes de 15 élèves peut-on faire ?
380 est le « dividende »
15 est le « diviseur »
25 est le « quotient entier »
5 est le « reste ».
3 8 0
- 3 0
8 0
- 7 5
5
1 5
2 5
On a donc 380 = 25 × 15 + 5 . On peut faire 25 groupes de 15 élèves et il reste 5élèves.
b) Propriété : (admise)
Dividende Diviseur
Dividende = Quotient entier × Diviseur + Reste
Quotient entier
Reste
Remarque :
Le reste est toujours inférieur au diviseur.
5) Divisibilité :
a) Comprendre la définition à l’aide d’ exemples :
Exemples :
On a 72 = 8 × 9 .
Le reste de la division euclidienne de 72 par 9 est égal à zéro.
72 est donc un multiple de 9.
On dit aussi que 72 est divisible par 9 ou que 9 est un diviseur de 72.
On parle de divisibilité pour les entiers.
Il faut que le quotient soit entier et le reste égal à zéro.
120 = 12 × 10 donc 120 est divisible par 10.
11 = 5 × 2 + 1 donc 11 n’est pas divisible par 2 car le reste est 1.
b) Critères de divisibilité : (propriétés admises)
Divisibilité par 2 et par 5 :
Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8, alors il est divisible par 2.
Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5.
Remarques :
Les nombres entiers divisibles par 2 sont appelés « nombres pairs ».
Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés « nombres impairs ».
Exemples :
4 236 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6.
125 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
120 est divisible par 2 et par 5 car son chiffre des unités est 0.
Divisibilité par 3 et par 9 :
Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3,
alors ce nombre est divisible par 3.
Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9,
alors ce nombre est divisible par 9.
Exemples :
4 + 2 + 3 + 6 = 15 et comme 15 est divisible par 3,
on peut affirmer que 4 236 est divisible par 3. En effet, 4 236 = 1 412 × 3 .
5 + 4 + 6 + 3 = 18 et comme 18 est divisible par 9,
on peut affirmer que 5 463 est divisible par 9. En effet, 5 463 = 607 × 9 .
Remarques :
Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3.
Par contre, un nombre divisible par 3 n’est pas toujours divisible par 9.
4 236 est divisible par 3 mais n’est pas divisible par 9.
Divisibilité par 4 :
Pour savoir si un nombre entier est divisible par 4,
on examine le nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4,
alors le nombre initial est aussi divisible par 4.
Exemple :
4 236 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4. En effet, 36 = 9 × 4 .
Et on a, 4 236 = 4 × 1 059
Remarques :
Un nombre divisible par 4 est toujours divisible par 2.
Par contre, un nombre divisible par 2 n’est pas toujours divisible par 4.
18 est divisible par 2 mais n’est pas divisible par 4.
6) Durée :
La durée est la mesure du temps entre deux instants.
L’unité légale de durée est la seconde : s
Exemple :
Le champion a gagné la course en 10 s.
Autres unités de durée :
La minute (min) : 1 min = 60 s .
L’heure (h) : 1 h = 60 min = 3 600 s .
Le jour : 1 jour = 24 h .
Exemple :
La récréation commence à 9 h 45 min et finit à 10 h. Elle dure 15 min.
9 h 45 min et 10 h sont deux instants.
15 minutes est la durée entre ces deux instants.