Université Bordeaux 1 Algèbre 4 - Institut de Mathématiques de

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2013–2014
FEUILLE D’EXERCICES no9
Extensions de corps, constructibilité à la règle et au compas
Exercice 1 – [Théorème de Wantzel]
On identifie Cet R2. Si a, b ∈C,a6=b, et si r∈R,r > 0, on note (a, b)
la droite passant par aet bet C(a, r)le cercle de centre aet de rayon r. On
considère un ensemble S⊂Qcontenant 0et 1. On dit que zest élémentairement
constructible à partir de Ssi zpeut être obtenu de l’une des façons suivantes :
•zest l’intersection de deux droites (a, b),(c, d)où a, b, c, d ∈S;
•zest l’intersection d’une droite (a, b)et d’un cercle C(e, r)où r=|c−d|
et où a, b, e, c, d ∈S;
•zest l’intersection de deux cercles C(e, r),C(e0, r0)où r=|a−b|,r0=
|a0−b0|et où e, e0, a, b, a0, b0∈S.
On dit que zest constructible à partir de S, s’il existe n>1et z1, z2, . . . , zn=z∈
Ctels que z1soit élémentairement constructible à partir de Set tels que pour tout
26i6n,zisoit élémentairement constructible à partir de S∪ {z1, . . . , zi−1}.
Enfin, on dit que zest constructible s’il est constructible à partir de {0,1}. On
note Cl’ensemble des complexes constructibles.
1) Montrer que si z∈C, alors : z∈C⇐⇒ Re(z)et Im(z)∈C.
2) Montrer que Z[i]⊂Cet que Q(i)⊂C.
3) Montrer que si a, b ∈C, alors a+bet a−b∈C.
4) On suppose a, b ∈R. Montrer à l’aide du théorème de Thalès que ab ∈Cet
que si b6= 0,a/b ∈C.
5) Prouver que ce résultat subsiste si a, b ∈Cet que Cest un corps.
6) On suppose a∈R+∩C. Montrer que √a∈C.
7) En déduire que les racines carrées d’un complexe constructible sont construc-
tibles.
8) Soit z∈C. Il existe donc z1, z2, . . . , zn=ztels que z1soit élémentairement
constructible à partir de {0,1}et tels que pour tout 26j6n,zjsoit élémen-
tairement constructible à partir de {0,1, . . . , zj−1}. On pose K0=Q(i), et pour
j>1,Kj=Kj−1(Re(zj),Im(zj)). Montrer que pour tout 06j6n−1, on a
[Kj+1 :Kj]=1ou 2. On pourra à cet effet observer que si a, b ∈Kjet r=|c−d|
avec c, d ∈Kj, les coefficients des équations de (a, b)et C(a, r)sont aussi dans
Kj.
9) En déduire que si z∈C,
(1) Q(z)/Qest une extension finie de degré une puissance de 2 ;

(2) il existe k>0et une suite d’extensions quadratiques L1/L0,. . . Lk/Lk−1
où L0=Qet z∈Lk.
10) Réciproquement, supposons la condition (2) vérifiée par z. Montrer qu’alors
z∈C. On pourra montrer par récurrence que Lj⊂Cpour tout j. On a ainsi
établi le théorème de Wantzel (1837).
Théorème. Un nombre complexe zest constructible si et seulement s’il existe
des sous-corps de C,L0=Q,L1, . . . , Lk(k>0) tels que pour tout 06j6k−1,
Lj+1/Ljsoit une extension quadratique et tels que z∈Lk.
11) Trisection de l’angle.
12) Duplication du cube.
13) Quadrature du cercle.
Exercice 2 – [Théorème de Gauss-Wantzel]
On note ζnune racine n-ième primitive de l’unité, par exemple ζn=e2iπ/n.
1) Montrer que pour tout k>0,ζ2kest constructible.
2) Soient m, n >1deux entiers premiers entre eux. Montrer que ζmn est construc-
tible si et seulement si ζmet ζnle sont.
3) Soit pun premier impair. Montrer que pour tout k>2,ζpkn’est pas construc-
tible.
4) Soit pun premier impair tel que ζpsoit constructible. Montrer que pest un
nombre premier de Fermat, i.e. de la forme p= 22m+ 1 (m>0).
5) Le but de cette question est de montrer que si pest un premier de Fermat ζp
est constructible. Soit donc pun premier de Fermat.
a) Soit n > 0un entier premier avec p. Montrer qu’il existe un unique auto-
morphisme du corps Q(ζp)noté snvérifiant sn(ζp) = ζn
pet que snne dépend que
de la classe de nmodulo p.
b) Montrer que {x∈Q(ζp); sn(x) = x}est un sous-corps de Q(ζp).
c) Soit k > 0un entier dont la classe modulo pengendre (Z/pZ)×. Pour tout
entier naturel mon note tml’automorphisme sk2met on pose
Lm={x∈Q(ζp); tm(x) = x}
qui est un sous-corps de Q(ζp)par ce qui précède. À l’aide d’une base de Q(ζp)
sur Qadaptée, montrer que L0=Q.
d) Montrer que pour tout m,tm+1 =tm◦tmet que Lm+1 est une extension de
degré au plus 2 de Lm.
e) En déduire que ζpest constructible.
6) Déduire des questions précédentes le théorème de Gauss-Wantzel :
Théorème. Les polygones réguliers à ncôtés sont constructibles à la règle et au
compas si et seulement si n= 2kp1p2···pmoù k>0,m>0et où les pisont des
nombres premiers de Fermat distincts.