Angle inscrit, angle au centre, polygones réguliers

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Angle inscrit, angle au centre
Polygones réguliers
Chapitre G4 du livre
I. Angle inscrit et angle au centre
1.) Définitions
a. Un angle inscrit
Un angle inscrit est un angle qui à pour sommet un point d’un cercle et dont les deux côtés
coupent le cercle en deux points
 est un angle inscrit du cercle C
On dit que l’angle inscrit 
 intercepte l’arc de cercle et qu’il est inscrit dans le cercle C.
b. Un angle au centre
Un angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre d’un cercle et ses deux côtés
coupent le cercle en deux points.
 est un angle au centre du cercle C
On dit que l’angle au centre 
 intercepte l’arc de cercle .

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2.) Propriétés
a. Propriété 1
Si un angle inscrit intercepte le même arc de cercle qu’un angle au centre alors la mesure de
l’angle au centre est le double de celui de l’angle inscrit.
b. Propriété 2
Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils ont même mesure.

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II. Polygones réguliers
1.) Définition
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous
les angles ont la même mesure.
a. Exemple général : le pentagone
C'est un polygone à 5 côtés.
Pentagone quelconque (convexe)
Pentagone quelconque (concave)
Pentagone à côtés égaux
Pentagone à angles égaux
Pentagone croisé
Pentagone régulier (côtés et angles égaux)

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b. Exemples particuliers :
1. Polygone régulier à trois côtés :
Un triangle équilatéral a ses trois côtés
de même mesure et ses trois angles égaux
à 60 °.
2. Polygone régulier à quatre côtés :
Un carré a ses quatre côtés de même
longueur et ses quatre angles droits
(90 °).
3. Polygone régulier à six côtés :
Un hexagone régulier a ses six côtés de
même longueur et ses six angles égaux à
120 °

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2.) Propriétés
a. Propriété 1
Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à un même cercle, on dit alors qu’il est
inscrit dans un cercle dont le centre est appelé le centre du polygone régulier.
Exemple : l'hexagone régulier
L'hexagone ABCDEF a tous ces sommets sur
le cercle de centre O, il est inscrit dans ce
cercle et O est son centre
b. Propriété 2
Si un polygone est inscrit dans un cercle et qu’il a tous ses côtés de même longueur alors ce
polygone est régulier.
Exemples
Un triangle équilatéral est inscrit dans un
cercle et a trois côtés de même longueur,
donc le triangle équilatéral est un polygone
régulier.
Un carré est inscrit dans un cercle et a
quatre côtés de même longueur, donc le
carré est un polygone régulier.
c. Propriété 3
Si A et B sont deux sommets consécutifs d’un polygone régulier à « n » côtés de centre O alors
l’angle 
 est appelé angle au centre du polygone et sa mesure est égale à 
.
« n » est un nombre entier positif.
Polygone
Triangle
Carré
Pentagone
Hexagone
 (°)
120
90
72
60