Mathématiques élémentaires

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7000 Mons Document 7
Belgique
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Cellule de géométrie – Catégorie pédagogique de la HEH
DEMAL Michel DRAMAIX Jérémy
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HIGNY Samuel MALAGUARNERA Angelo
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Avec la collaboration de
Mathématiques élémentaires
Polyèdres euclidiens convexes à
faces régulières isométriques
ADABBO F. - DUJARDIN S. - PILAETE C.
Centre de Recherche de la HAUTE ECOLE
de la Communauté française en HAINAUT

P.E.C.F.R.I.
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
2
Polyèdreseuclidiensconvexesà
facesrégulièresisométriques
1. Introduction
Dansseséléments,Euclideaffirmeetdémontrequ’iln’existequecinqpolyèdreseuclidiens
convexesàfacesrégulièresisométriques;cesontlesfameuxpolyèdresplatoniciens.
Fortdecetteaffirmation,leproblèmedeladéterminationdetouslespolyèdreseuclidiens
convexesàfacesrégulièresisométriquesnesuscitaplus,pendantenviron23siècles,de
regardcritique.
En1930,E.Dijsterhuis,attirel’attentionsurl’homogénéitédesfacesetdessommetspour
lespolyèdresplatoniciensetcitelebitétraèdreàfacesrégulièresisométriquespourréfuter
lathèsed’Euclide.
S’agissait‐ild’uneerreurd’Euclidepasséeinaperçuependant23siècles?
Plusieursauteursrépondentnégativementàcettequestion;ilssuggèrentqu’Euclideavait
implicitementimposélacontraintesupplémentairedessommetsidentiques.
En1947,B.VanderWaerdenetH.Freudenthal,résolventleproblèmedeladétermination
detouslespolyèdreseuclidiensconvexesàfacesrégulièresisométriques,qu’ilssoientou
nonhomogènesenleurssommets.
2. Définition
Lespolyèdreseuclidiensconvexesàfacesrégulièresisométriquessontdespolyèdres
euclidiensconvexesdonttouteslesfacessontdespolygonesréguliersisométriques.
Exemples:
LetétraèdreL’octaèdreL’icosaèdreLecubeLedodécaèdre

P.E.C.F.R.I.
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
3
3. PropriétésassociéesauxP.E.C.F.R.I.
Enunsommetd’unP.E.C.F.R.I.,ilnepeutarriverquedestriangleséquilatéraux,descarrés
oudespentagonesréguliers.
Ladéterminationdesn‐gonesrégulierspourconstruiredesP.E.C.F.R.I.découledela
conditionnécessaire
p
ˆi<360°oùp
INetp 3(1)
i=1
etsurlefaitquel’amplitudedesanglesintérieursdesn‐gonesréguliersestunefonction
strictementcroissanted’unnombredecôtés.
n=180°–360°
noùn
3(2)
Tableauetgraphedelafonctiondiscrète: "180°– 360°
n=n"
n180°–360°
n
360°
490°
5108°
6120°
7128,575714°
8135°
9140°
10144°
… …
50172,8°
100176,4°
… …
360179°
… …
n180°–360°
n
… …
∞
180°

P.E.C.F.R.I.
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
4
Nuagedepointsdelafonctiondiscrète: "180°– 360°
n=n"
4. Visiongéométrique
 Enunsommetd’unP.E.C.F.R.I.,ilpeutarrivertrois,quatre,cinqtriangles
équilatéraux.
Ceciestlaconséquencedufaitquelacondition(1)estvérifiéepour3‐4‐5triangles.En
effet,lasommedesamplitudesdesanglesvautrespectivement3x60°=180°;4x60°=
240°et5x60°=300°.
Apartirdesixtriangles,lasommedesamplitudesdesanglesarrivantausommet
considéréestsupérieureouégaleà6x60°=360°.
Amplitudedesanglesintérieurs

P.E.C.F.R.I.
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
5
 Enunsommetd’unP.E.C.F.R.I.,ilnepeutarriverquetroiscarrés.
Iciaussi,lacondition(1)estvérifiéepourtroiscarrés.Eneffet,lasommedesamplitudes
desanglesvaut3x90°=270°.Apartirdequatrecarrésenunsommet,lasommedes
amplitudesdesanglesestsupérieureouégaleà4x90°=360°.
 Enunsommetd’unP.E.C.F.R.I.,ilnepeutarriverquetroispentagones
réguliers.
Lemêmeraisonnementdonne,pourtroispentagonesréguliers,lasommed’amplitude
desanglesde3x108°=324°.
Apartirdequatrepentagonesréguliers,lasommedesamplitudesdesanglesest
égalementsupérieureouégaleà4x108°=432°.
Pourlesn‐gonesoùn6,lacondition(1)n’estplusvérifiée.Eneffet,deparlaproposition
(2):
ˆn120°;n6.
Deplus,commeilfautauminimumtroispolygonesenunsommet,lasommedesangles
facesencesommetserasupérieureouégaleà3x120°=360°.
D’oùn6:p
ˆi≥3.120°=360°
i=1