physique année scolaire 2016-2017 ◦ Enoncé du DS commun de physique n 1 - Electricité Document Cédric Ray et Jean-Claude Poizat La physique par les objets quotidiens c Belin - Pour la Science. Document sur la montre à quartz (extrait) Fascinés par l'ordre et la symétrie, les frères Pierre (1859-1906) et Jacques Curie (1856-1941) se passionnent pour la cristallographie . En 1880, ils montrent qu'un cristal de quartz soumis à une pression mécanique présente une diérence de potentiel électrique (autrement dit une tension) entre ses faces : ils viennent de découvrir l'eet piézoélectrique. Le phénomène inverse existe d'ailleurs : si on applique une tension électrique sur les faces d'un tel cristal, ce dernier va se déformer (c'est l'eet piézoélectrique inverse). Avant de voir comment exploiter les propriétés d'un cristal piézoélectrique pour mesurer le temps, revenons sur cette dernière notion. Toutes ces mesures reposent sur la même idée : il s'agit de repérer un phénomène périodique, c'est-à-dire qui se répète à l'identique d'une façon qu'on estime régulière : la rotation de la Terre autour de l'axe polaire, ou le mouvement d'un balancier par exemple. Lorsque ce phénomène périodique se produit, on choisit un événement précis, le coucher du soleil ou l'instant où le balancier redescend vers la gauche. La durée qui sépare deux événements successifs s'appelle la période : c'est l'unité élémentaire de mesure du temps. Il sut alors de compter combien de fois l'événement se produit pour en déduire une mesure du temps qui s'est écoulé. Ainsi, l'unité légale du temps (la seconde) est dénie par la durée d'un phénomène périodique répété un certain nombre de fois. Pour être précis, il s'agit de la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux dits hyperns de l'état fondamental de l'atome de césium 133 au repos ! Pour mesurer le temps, il est donc nécessaire de disposer d'un système qui reproduit un phénomène de manière périodique avec une grande précision si possible. Nous appellerons un tel système un oscillateur : il est la base de tout système de mesure du temps. Coucou en quartz Dans une montre à quartz, l'oscillateur est un cristal de quartz en vibration. En eet, l'excitation d'un cristal de quartz par l'application très brève d'une diérence de potentiel provoque une vibration du cristal (par eet piézoélectrique inverse) pendant une certaine durée, la vibration s'atténuant ensuite progressivement. Pour spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 1 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 comprendre ce phénomène, songez à un diapason qui après avoir été heurté sur un coin de table, vibre pendant une durée signicative à la fréquence de 440 Hz (le la actuel de la gamme musicale). Dans le quartz toutefois, la vibration engendre à son tour, par eet piézoélectrique, une oscillation de la tension entre les faces du cristal. Ces oscillations électriques sont ampliées au moyen d'un circuit intégré, puis réappliquées sur le quartz an d'entretenir l'oscillation mécanique régulière du cristal à sa fréquence naturelle, appelée fréquence propre. L'excitation d'un oscillateur à une fréquence égale à celle de la fréquence propre de l'oscillateur est un phénomène physique important dont vous avez certainement entendu parler : la résonance. Dans la plupart des montres à quartz, le cristal est taillé de manière à ce que la fréquence propre d'oscillation soit de l'ordre de 32 kHz, ce qui signie qu'il se produit 32 000 oscillations par seconde. Cette fréquence varie avec la forme et les dimensions du cristal, donc en fonction des angles de coupe. Le quartz s'est imposé plutôt que d'autres cristaux car sa fréquence propre est dénie avec une très grande précision. Enn, les oscillations électriques aux bornes du cristal sont aussi envoyées dans la partie diviseur du circuit intégré, qui assure la commande de l'achage (i.e. des aiguilles ou de l'écran à cristaux liquides). La gure 8 résume les diérentes étapes de la mesure. Seuls quatre éléments sont indispensables au bon fonctionnement d'une montre à quartz : voyons lesquels. Le cristal de quartz Le cristal de quartz est généralement taillé en forme de diapason ou en lamelle, selon une orientation cristalline bien précise. En eet, l'angle de coupe dans le cristal permet d'ajuster la fréquence de vibration du quartz. Le cristal (gure 10) est recouvert d'une ne couche de métal (de l'or par exemple) an de pouvoir appliquer et mesurer les diérences de potentiel entre les faces. L'ensemble, protégé par une enveloppe en aluminium, est relié au circuit intégré. La pile La pile est la source d'énergie de la montre, pour le circuit intégré qui déclenche et entretient la vibration du quartz, et pour l'achage qui consomme la majeure partie de l'énergie fournie. Ces piles sont le plus souvent de petites piles bouton qui donnent à la montre une autonomie de plusieurs années. Elles fournissent de l'électricité grâce à des réactions chimiques, dites d'oxydoréduction, qui libèrent des électrons d'un côté de la pile et en captent de l'autre. Le circuit intégré Le circuit intégré compte les oscillations électriques en provenance du quartz. Il divise ce nombre de signaux pour renvoyer une fréquence adaptée au système d'achage (par exemple 1 Hz pour le mouvement de l'aiguille des secondes). C'est aussi lui qui assure l'entretien des oscillations du cristal en simpliant la tension présente sur les faces de ce dernier et en la réappliquant aux bornes du cristal. Un processeur eectue dans ce but la plupart des opérations complexes : il se trouve en général au centre du circuit intégré. L'achage Il y a deux types d'acheur : l'écran à cristaux liquides ou le système d'aiguilles. Dans le premier, le circuit intégré contrôle la tension nécessaire à l'achage des chires. On a souvent tendance à considérer que l'achage à cristaux liquides signale une montre à quartz, tandis que celui à aiguilles serait réservé aux montres à ressort. Si l'achage numérique a longtemps symbolisé la montre à quartz (la révolution des cristaux liquides et la mise au point des premières montres à quartz ayant eu lieu quasi au même moment), aujourd'hui pratiquement toutes les montres du commerce sont des montres à quartz. Dans un système d'aiguilles, l'impulsion électrique délivrée par le circuit intégré est convertie en un mouvement mécanique qui fait tourner l'aiguille des secondes. Un ensemble complexe de roues dentées et autres engrenages, hérité de l'horlogerie traditionnelle, entraîne ensuite le mouvement de l'aiguille des minutes et de celle des heures. Cette conversion de l'électricité en mouvement est dévolue à un micromoteur pas à pas contenant une petite bobine, visible si l'on ouvre la montre (gure 11). spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 2 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 Données sur l'amplicateur opérationnel On admettra que i− = i+ = 0. Trois régimes de fonctionnement de l'amplicateur opérationnel sont possibles : - soit le fonctionnement est linéaire, ce qui implique V+ = V− i+ et suppose −Vsat < Vs < Vsat , - soit l'amplicateur opérationnel est en saturation positive, ce qui implique i− V+ Vs = Vsat V− + ∞ − Vs et suppose V+ > V− , - soit il est en saturation négative, ce qui implique Vs = −Vsat et suppose V+ < V− . spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 3 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 énoncé I- Principe de l'oscillateur électrique I.A - Analogie entre oscillateurs mécanique et électrique Oscillateur mécanique On s'intéresse à un système masse-ressort qui coulisse sans frottements solides sur une tige horizontale. La position de la masse (m) supposée ponctuelle est repérée sur l'axe de la tige par l'abscisse x comptée à partir de la position d'équilibre du système. 1) Figure 1 Oscillateur mécanique La masse est soumise à : • son poids m ~g ; ~ de la tige ; • la réaction (verticale) N • la force de rappel du ressort (de constante de raideur k ) : −k x ~ux ; • la force exercée par l'opérateur fx ~ux ; • la force de frottement uide exercée par l'air −λ ẋ ~ux , où λ > 0. 1.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation diérentielle suivie par x. 1.b) Déterminer les expressions de l'énergie cinétique Ec de la masse, de l'énergie potentielle Ep dont dérive la force exercée par le ressort et de la puissance des actions non conservatives Pnc dues à l'air. 1.c) Montrer que, en appliquant un théorème énergétique, on peut retrouver l'équation diérentielle suivie par x. 2) Oscillateur électrique On réalise un circuit RLC composé d'un résistor de résistance R, d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C . On note q la charge portée par une des armatures du condensateur (cf. gure 2) et i l'intensité qui parcourt le circuit. q C i L R us ue Figure 2 Oscillateur RLC Montrer que la charge q suit l'équation diérentielle d'un oscillateur : q̈ + ωQ0 q̇ + ω02 .q = f (t). Déterminer en particulier les expressions de la pulsation propre ω0 et du facteur de qualité Q en fonction de R, L et C . 2.b) Rappeler les expressions de l'énergie du condensateur, de celle de la bobine et de la puissance dissipée par le résistor. 2.a) spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 4 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 Analogie Déduire de ce qui précède une analogie entre les grandeurs mécaniques et les grandeurs électriques. On remplira le tableau suivant : 3) 3.a) mécanique électricité Ec Ep Pnc x ẋ m λ k 3.b) Si le système masse-ressort est un bon modèle mécanique d'un cristal, qu'est-ce qui, dans le document introductif permet, pour un cristal de quartz piézoélectrique, de conclure que le circuit RLC est alors un bon modèle électrique ? I.B - Réalisation d'oscillations non amorties Relaxation pseudo périodique du quartz On suppose que le quartz modélisé par le dipôle de la gure 2 est branché aux bornes d'un interrupteur qu'on ferme à t = 0, de sorte que ue = 0 si t > 0, le condensateur étant initialement chargé : q(t = 0− ) = q0 et i(t = 0− ) = 0. 4.a) Etablir une condition sur Q pour que des oscillations existent, bien qu'elles soient amorties. 4.b) Déterminer la forme de la relaxation q (t) dans le cas d'oscillations amorties. On exprimera uniquement la pulsation Ω de ces oscillations et le temps caractéristique d'amortissement τ en fonction de ω0 et Q. 4.c) Tracer l'allure de q (t). 5) Oscillations innies du quartz 5.a) Déterminer la condition électrique pour que les oscillations perdurent sans être amorties. 5.b) Montrer que le montage de la gure 3) permet de réaliser une "résistance négative" −R0 . On suppose que l'amplicateur opérationnel fonctionne en régime linéaire. 4) Figure 3 Réalisation d'une résistance négative ment. 5.c) Proposer une utilisation de la précédente "résistance négative" pour que le quartz oscille indéni- I.C - Précision de l'oscillateur Etude de la résonance en intensité du quartz Pour étudier la fréquence propre du quartz, on suppose que celui-ci est maintenant excité sinusoïdalement : on le branche à un générateur basse fréquence de pulsation ω = 2π f , de telle sorte que dans le schéma de la gure 2, ue = U cos (ω t). ũs en fonction de Q, ω0 et ω . 6.a) Déterminer la fonction de transfert H̃ = ũ e 6.b) Tracer l'allure de l'évolution du gain G = |H̃| avec ω . Où se trouve la résonance dont parle le document ? ) √ 0 et ∆ω = |ω1 − ω2 | la bande On appelle ω1 et ω2 les deux pulsations telles que G (ω1 ) = G (ω2 ) = G(ω 2 passante. 6.c) Montrer que ∆ω = ωQ0 . En déduire un condition pour que la précision de la fréquence de résonance soit la plus grande possible. 6) spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 5 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 II- Réalisation pratique d'un oscillateur à quartz II.A - Caractéristique électrique d'un diapason à quartz En fait, on ne dispose pas de cristal de quartz seul mais plutôt d'un diapason dans lequel un cristal de quartz est encapsulé. De ce fait, il est nécessaire d'adapter le raisonnement de la première partie. 7) Modélisation d'un dipôle linéaire Le diapazon à quartz est un dipôle linéaire (appelé par la suite D). On s'intéresse au régime sinusoïdal forcé de pulsation ω . ũ et ĩ sont les complexes associés respectivement à la tension aux bornes de D et à l'intensité qui le parcourt (dans les conventions récepteur, cf. gure 4). Z̃ est l'impédance complexe de D et Ỹ son admittance complexe. 7.a) Perd-on en généralité en s'intéressant au régime sinusoïdal forcé de pulsation ω ? Pourquoi peut-on utiliser les complexes associés aux grandeurs physiques réelles ? 7.b) Rappeler la relation qui lie ũ, ĩ et Z̃ ainsi que celle qui lie ũ, ĩ et Ỹ . 8) Pertinence physique de la modélisation On propose de modéliser par la suite le dipôle D suivant le schéma électrique de la gure 4. 8.a) En s'appuyant sur le document introductif, justier une telle modélisation. Figure 4 Modélisation du dipôle "D" Le module Y de l'admittance Ỹ du dipôle "D" en fonction de la fréquence est représenté sur la gure 5 (l'échelle est logarithmique). Les points expérimentaux ont été obtenus par V.G., élève de PC en 2015-2016 au lycée Janson de Sailly dans le cadre de son TIPE. Le trait continu est la courbe relative à la modélisation proposée. Figure 5 Evolution du module de l'admittance du dipôle D avec la fréquence. spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 6 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 Discuter de la pertinence de la modélisation proposée au vu de la gure 5. Etude mathématique de la modélisation 2 02 0 On pose la fonction Q(ω) = ωω2−ω . −ω02 0 9.a) Montrer que Ỹ (ω) = j C ω Q(ω), avec ω0 = √ 1 , la pulsation propre du quartz seul. Que vaut ω00 LC en fonction de ω0 , C et C 0 ? En fait C 0 C . C .ω0 . 9.b) Montrer que ω00 ≈ 1 + 2.C 0 9.c) Tracer l'allure de Q(ω). 9.d) Peut-on repérer facilement sur la gure 5 la position correspondant à ω ≈ ω0 ≈ ω00 ? 8.b) 9) II.B - Oscillateur à quartz Quadripôle F On réalise le quadripôle F dans lequel est inclus le dipôle D (cf. gure 6). Soit H̃(ω) = transfert complexe de F . 10) ũB ũA , la fonction de quadripôle F dipôle D R C2 C1 uA uB Figure 6 Quadripôle "F " 1 Exprimer l'inverse de la fonction de transfert de F , H̃(ω) , en fonction de ω , R, C1 , C2 et Z̃ , l'impédance de "D". A(ω) et B(ω) sont les parties réelle et imaginaire de l'inverse de la fonction de transfert de F : 10.a) 1 = A(ω) + j.B(ω) H̃(ω) C2 . 10.b) Montrer que B(ω) = R ω C1 + C2 + CC0 1Q(ω) 11) Montage amplicateur inverseur 11.a) Montrer, en supposant que l'amplicateur opérationnel fonctionne en mode linéaire, que le montage amplicateur inverseur de la gure 7 délivre une tension proportionnelle à la tension d'entrée, et de signe opposé : uA = −γ uB . 11.b) Montrer que le rapport γ est positif et peut être plus grand ou plus petit que 1. 12) Oscillateur On crée une rétroaction du quadripôle F sur lui même grâce à l'amplicateur inverseur. Ainsi l'entrée de F (uA ) est la sortie de l'amplicateur et réciproquement : la sortie de F (uB ) est l'entrée de l'amplicateur. 12.a) Pourquoi faut-il que la fonction de transfert H̃ de F soit réelle pour qu'il y ait apparition d'un signal ? Quel est alors le signal obtenu ? 1 C2 12.b) En déduire que la condition d'oscillation est Q(ω) = − (C1C+C 0. 2) C 12.c) Dans quel domaine de fréquence l'oscillation a-t-elle lieu ? En déduire que la pulsation de l'oscillateur est bien xée. spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 7 Janson de Sailly physique année scolaire 2016-2017 R2 R1 − uB ∞ uA + Figure 7 Amplicateur inverseur II.C - Obtention d'une horloge qui bat la seconde 13) Comparateur Pour mettre en forme le signal uB (t) délivré par l'oscillateur, on dispose d'un comparateur (cf. gure 8). L'amplicateur opérationnel est alors en régime saturé. + uB ∞ − u0 Figure 8 Comparateur 13.a) Sur un même chronogramme, tracer les allures de uB (t) et u0 (t). 13.b) Qualier les signaux uB (t) et u0 (t). 14) Diviseur de fréquence 14.a) Déterminer grâce au document donné en introduction la fréquence de uB (t) et u0 (t). On dispose de diviseurs de fréquence (cf. gure 9) : si la fréquence de un (t) est f , alors la fréquence de un+1 (t) est f2 . f 2 un un+1 Figure 9 Diviseur de fréquence 14.b) Combien de diviseurs de fréquence comme ceux de la gure 9 faut-il mettre en cascade pour obtenir un signal uN (t) de fréquence 1 Hz ? 15) Conclusion : faire un schéma de l'oscillateur à quartz avec des blocs "amplicateur", "quadripôle F ", "comparateur", "diviseur de fréquence". On reliera ces blocs entre eux comme il convient. spé P C , P C1∗ et P C2∗ page n◦ 8 Janson de Sailly