sujet 5

Modélisation d’un résonateur à quartz (d’après Mines d’Albi, de Douai, d’Alès et de Nantes, 2004)
A) Modèles mécanique et électrique d’un résonateur
à quartz
Un cristal de quartz est taillé sous une forme de
pastille cylindrique dont la base circulaire a un diamètre
d = 1 cm et l’épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm. Des
électrodes métalliques (généralement en or) sont
déposées sur chacune des faces circulaires du quartz (on
suppose que ces faces sont entièrement métallisées). Ces
« électrodes de connexion » et le quartz constituent un
condensateur plan.
La figure 1 montre le schéma du quartz
alimenté par une tension v(t).
D’un point de vue mécanique, lorsqu’on soumet
le quartz à une tension sinusoïdale v(t) = V cos(ωt) , il
est, dans le cadre d’une approximation linéaire, le siège
d’une vibration mécanique sous l’effet d’une force
extérieure proportionnelle à cette tension. C’est l’effet
piézoélectrique.
Modélisation proposée : Un élément M de masse m du
corps piézoélectrique, placé à une distance x de son point de repos O, est soumis aux forces suivantes, toutes
parallèles à l’axe Ox :
- une force de rappel d’abscisse – k x (avec k > 0) qui est due à la rigidité du matériau,
- des frottements modélisés par une force d’abscisse
dt
dx
h
(avec h > 0),
- la force due à l’effet piézoélectrique, d’abscisse β v(t) (avec β > 0).
Les autres forces (poids...) sont négligées ou normales à Ox.
1) Établir l’équation différentielle vérifiée par x(t) dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
D’un point de vue électrique la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux
origines :
- les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité CP d’où une charge q1(t),
- l’effet piézoélectrique provoque l’apparition d’une charge proportionnelle à x : q2(t) = γ x(t).
2) On montre que la capacité d’un condensateur plan est
eS
C0r
P
. S est l’aire de la surface d’une
électrode, e l’épaisseur du condensateur, ε0 = 8,85.10–12 F.m–1 est la permittivité du vide et εr la permittivité
relative du diélectrique. Pour le quartz εr = 2,3.
Calculer la capacité de connexion CP.
Exprimer la relation entre CP, q1 et la
tension v(t).
3) À partir de l’équation différentielle
vérifiée par x(t), établir celle qui est vérifiée par
la charge q2(t).
4) Montrer que la charge q2(t) est
équivalente à la charge d’un condensateur de
capacité CS dans le dipôle R, L, CS série de la
figure 2, placé sous la tension v(t). On donnera
les expressions de R, L et CS avec m, h, β, γ et k.
A B
q - q
v(t)
Figure 1
A B
q - q
v(t)
A B
q - q
v(t)
Figure 1
R
CS
L
v(t)
q2- q2
Figure 2
R
CS
L
v(t)
q2- q2
R
CS
L
v(t)
R
CS
L
v(t)
q2- q2
Figure 2

B) Étude de l’impédance équivalente du quartz
Dans toute cette partie on néglige la
résistance R du quartz. Le schéma électrique
simplifié du quartz est alors donné sur la figure 3.
Pour les applications numériques, on
prendra L = 500 mH, CS = 0,08 pF et CP = 8 pF.
On se placera toujours en régime sinusoïdal
forcé de fréquence angulaire ω.
1) Exprimer l’impédance complexe ZAB du
quartz avec L, CS, CP, ω et j (tel que j2 = –1).
Montrer que cette impédance complexe peut
s’écrire sous la forme
2
a
2
2
r
2
AB 1
1
j
Z
: On
donnera les expressions de α, ωr et ωa en fonction de L, CS et CP et on montrera que ωa > ωr.
2) Donner les valeurs numériques des fréquences d’antirésonance fa et de résonance fr correspondant
respectivement aux fréquences angulaires ωa et ωr.
3) Préciser le comportement inductif ou capacitif du quartz suivant la valeur de ω par rapport à ωr et ωa.
(On rappelle que le comportement d’un dipôle linéaire est inductif si sa réactance est positive et capacitif
dans le cas contraire).
4) Étudier et représenter l’allure de l’impédance
AB
AB ZZ 
en fonction de la fréquence f.
C) Étude expérimentale du comportement du quartz
On veut tracer expérimentalement la
courbe donnant l’impédance du quartz en fonction
de la fréquence de la tension excitatrice. On
dispose d’un générateur basses fréquences pouvant
délivrer une tension sinusoïdale d’amplitude
réglable. Le G.B.F. a une résistance interne RG.
On dispose aussi d’une résistance RV variable,
d’un quartz et d’un oscilloscope.
Sauf au 3), on néglige encore la résistance
du quartz.
On réalise le montage de la figure 4.
1) Exprimer l’amplification complexe en
tension
E
S
V
V
H
en fonction de RV et ZAB.
2) On choisit pour chaque valeur de la
fréquence la résistance RV telle que
2
1
HH 
. Que vaut alors ZAB en fonction de
RV ?
3) Autour du pic de résonance d’intensité, situé vers 796 kHz, on mesure une bande passante de 50 Hz.
Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité ? Commentez cette valeur. En admettant que le facteur
de qualité soit donné par la relation
R
L
Q0
, ω0 étant la fréquence angulaire de résonance, quelle est la
valeur de la résistance R du quartz ?
CS
L
CP
A B
Figure 3
CS
L
CP
A B
CS
L
CP
A B
Figure 3
RGVEVS
AB
voie A voie B
GBF ~
Figure 4
RGVEVS
AB
voie A voie B
GBF ~RGVEVS
AB
voie A voie B
RGVEVS
AB
voie A voie B
GBF ~
Figure 4

D) Principe d’une montre à quartz
Une horloge est composée d'un oscillateur plus ou moins stable dans le temps et d'un système de
comptage des oscillations. Le quartz utilisé présente une fréquence de résonance de 32768 Hz. Cela signifie
que 32768 fois par seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif
électrique doit compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de 0 et
de 1). Une impulsion électrique correspond à la valeur 1. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.
Un compteur modulo 2 délivre une impulsion de sortie dès qu'il a compté 2 impulsions à son entrée.
1) Si en entrée d’un tel compteur on envoie le signal à 32 768 Hz délivré par le circuit à quartz, quelle
est la fréquence du signal de sortie du compteur modulo 2 ?
2) Combien de compteurs modulo 2 faut-il mettre en cascade pour commander le chiffre des secondes ?