Les nombres complexes - Olivier Castéra

LES NOMBRES COMPLEXES
OLIVIER CAST´ ERA
R´ esum´ e. Le corps des nombres complexes forme une extension
quadratique du corps des nombres r´eels . Les nombres complexes
de la forme (x, 0)forment un sous-corps de qui est isomorphe
au corps , par l’application qui `a (x, 0)fait correspondre x.
Table des mati` eres
1. Groupe 1
1.1. Produit direct de groupes 2
1.2. Morphisme de groupes 4
2. Anneau 4
2.1. Anneau int`egre 5
2.2. Sous-anneau 5
2.3. Morphisme d’anneaux 5
3. Corps 6
3.1. Sous-corps 6
4. Racines Carr´ees 7
5. L’anneau L9
6. El´ements inversibles d’une extension quadratique 12
7. Le corps des nombres r´eels 14
1. Groupe
Un groupe est une structure alg´ebrique relativement simple puis-
qu’elle ne contient qu’une seule op´eration. Elle est utilis´ee dans beau-
coup d’autres structures alg´ebrique.
D´efinition 1.1. Un ensemble non vide Gmuni de l’op´eration ◻, est
un groupe, not´e (G, ◻), ssi
(1) l’op´eration binaire ◻est une loi de composition interne : `a
chaque paire d’´el´ements de G, elle associe un ´el´ement de G
∀(a, b) ∈ G2, a ◻b∈G
(2) l’op´eration ◻est associative
∀(a, b, c) ∈ G3, a ◻ (b◻c) = (a◻b) ◻ c
Date: 4 mai 2015.
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(3) Il existe un ´el´ement neutre (ou identit´e) edans G, pour l’op´e-
ration ◻
∃e∈G/ ∀a∈G, e ◻a=a◻e=a
(4) Tout ´el´ement ade Gposs`ede un sym´etrique bdans G
∀a∈G, ∃b∈G/a◻b=b◻a=e
Pour un groupe multiplicatif, la loi de composition est not´ee par une
juxtaposition des ´el´ements. L’´el´ement neutre est l’unit´e. Le sym´etrique
de aest appel´e inverse de a, et not´e a−1.
Pour un groupe additif, la loi de composition est not´ee par +. L’´el´ement
neutre est l’´el´ement nul ou z´ero. Le sym´etrique de aest appel´e l’oppos´e
de a, et not´e −a.
Th´eor`eme 1.1. Quel que soit le groupe (G, ◻), l’´el´ement neutre est
unique.
D´emonstration. Supposons que eet e′soient les ´el´ements neutres du
groupe (G, ◻)
∀x∈G, x ◻e=e◻x=x
(x=e′) ⇒ (e′◻e=e◻e′=e′)
∀x∈G, x ◻e′=e′◻x=x
(x=e) ⇒ (e◻e′=e′◻e=e)
(e′◻e=e′et e′◻e=e) ⇒ (e′=e)
D´efinition 1.2. Un groupe (G, ◻) est dit ab´elien ssi l’op´eration ◻est
commutative
∀(a, b) ∈ G2, a ◻b=b◻a
Exemples. Les ensembles des entiers naturels , des rationnels , et
des r´eels , sont des groupes ab´eliens pour l’addition +. Les ensembles
des rationnels priv´es de z´ero (z´ero n’a pas d’inverse), ∗, et des r´eels
priv´es de z´ero, ∗, sont des groupes ab´eliens pour la multiplication ×.
1.1. Produit direct de groupes.
D´efinition 1.3. Soient (G, ⋆) et (H, ⋆) deux groupes munis de la
mˆeme loi de composition interne ⋆. Consid´erons le produit cart´esien
G×Hdes ensembles Get H, c’est `a dire l’ensemble des paires or-
donn´ees {g∈G, h ∈H, (g, h)}. On munit le produit cart´esien G×Hde
l’op´eration ⍟
∀(g1, g2) ∈ G2,∀(h1, h2) ∈ H2,
(g1, h1) ⍟ (g2, h2) = (g1⋆g2, h1⋆h2)

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(G×H, ⍟) est appel´e produit direct de Get H.
Th´eor`eme 1.2. Le produit direct (G×H, ⍟) forme un groupe.
D´emonstration.
(1) l’op´eration ⍟est une loi de composition interne
(G, ⋆) est un groupe ∶ ∀(g1, g2) ∈ G2,(g1⋆g2) ∈ G
(H, ⋆) est un groupe ∶ ∀(h1, h2) ∈ H2,(h1⋆h2) ∈ H
∀(g1, h1) ∈ (G×H),∀(g2, h2) ∈ (G×H),
(g1⋆g2, h1⋆h2) ∈ (G×H)
(g1, h1) ⍟ (g2, h2) ∈ (G×H)
(2) l’op´eration ⍟est associative
∀(g1, h1),(g2, h2),(g3, h3) ∈ (G×H)3,
(g1, h1) ⍟ [(g2, h2)⍟(g3, h3)] =(g1, h1)⍟[(g2⋆g3, h2⋆h3)
=[g1⋆(g2⋆g3), h1⋆(h2⋆h3)]
et,
[(g1, h1)⍟(g2, h2)]⍟(g3, h3)=(g1⋆g2, h1⋆h2)]⍟(g3, h3)
=[(g1⋆g2)⋆g3,(h1⋆h2)⋆h3]
=[g1⋆(g2⋆g3), h1⋆(h2⋆h3)]
o`u l’on a utilis´e l’associativit´e de la loi ⋆dans Get dans H.
Par cons´equent,
(g1, h1)⍟[(g2, h2)⍟(g3, h3)] =[(g1, h1)⍟(g2, h2)]⍟(g3, h3)
(3) l’op´eration ⍟admet un ´el´ement neutre dans G×H.
Soit el’´el´ement neutre du groupe G, et soit e′l’´el´ement neutre
du groupe H
∀(g, h)∈(G×H),(e, e′)⍟(g, h)=(e⋆g, e′⋆h)
=(g, h)
(g, h)⍟(e, e′)=(g⋆e, h ⋆e′)
=(g, h)
Th´eor`eme 1.3. Si (G, ⋆)et (H, ⋆)sont des groupes ab´eliens, alors le
produit direct (G×H, ⍟)forme un groupe ab´elien.

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D´emonstration.
(G, ⋆)est un groupe ab´elien ∶g1⋆g2=g2⋆g1
(H, ⋆)est un groupe ab´elien ∶h1⋆h2=h2⋆h1
∀(g1, h1),(g2, h2)∈(G×H)2,(g1, h1)⍟(g2, h2)=(g1⋆g2, h1⋆h2)
=(g2⋆g1, h2⋆h1)
=(g2, h2)⍟(g1, h1)
1.2. Morphisme de groupes.
D´efinition 1.4. Soient deux groupes (G, ∗)et (G′,⋆). L’application
fde (G, ∗)dans (G′,⋆)est un morphisme de groupes ssi
f∶G→G′
∀(x, y)∈G2, f (x∗y)=f(x)⋆f(y)
fest un isomorphisme de groupes ssi fest un morphisme bijectif. Dans
ce cas, f−1est aussi un morphisme de groupes.
2. Anneau
D´efinition 2.1. Un ensemble Amuni de deux op´erations, not´ees ⊕et
⊙, est un anneau, not´e (A, ⊕,⊙), ssi
(1) (A, ⊕)est un groupe ab´elien
(2) l’op´eration ⊙est une loi de composition interne
∀(a, b)∈A2, a ⊙b∈A
(3) l’op´eration ⊙est associative
∀(a, b, c)∈A3, a ⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c
(4) l’op´eration ⊙admet un ´el´ement neutre e′dans A
∃e′∈A/∀a∈A, e′⊙a=a⊙e′=a
(5) l’op´eration ⊙est distributive `a gauche et `a droite par rapport
`a l’op´eration ⊕
∀x, y, z ∈A3, a ⊙(b⊕c)=(a⊙b)⊕(a⊙c)
∀x, y, z ∈A3,(b⊕c)⊙a=(b⊙a)⊕(c⊙a)
D´efinition 2.2. Un anneau (A, ⊕,⊙)est dit commutatif ssi l’op´eration
⊙est commutative
∀(a, b)∈A2, a ⊙b=b⊙a

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R`egles de calcul. Quel que soit l’anneau (A, ⊕,⊙)
Soit e l′´el´ement neutre de la loi ⊕ ∶ ∀x∈A, e ⊙x=x⊙e=e
Soit ⊖y le sym´etrique de y pour la loi ⊕ ∶
∀(x, y)∈A2, x ⊙(⊖y)= ⊖(x⊙y)
∀(x, y, z)∈A3, x ⊙(y⊖z)=(x⊙y)⊖(x⊙z)
Si (A, ⊕,⊙)est un anneau commutatif, binˆome de Newton ∶
∀n∈,∀(x, y)∈A2,(x⊕y)n=
n
∑
k=0
Ck
nxk⊙yn⊖k
2.1. Anneau int`egre.
D´efinition 2.3. Un ´el´ement non nul ad’un anneau (A, ⊕,⊙)est un
diviseur de z´ero `a gauche, ssi
∃b≠e∈A/a⊙b=e
D´efinition 2.4. Un ´el´ement non nul ad’un anneau (A, ⊕,⊙)est un
diviseur de z´ero `a droite, ssi
∃b≠e∈A/b⊙a=e
D´efinition 2.5. Un anneau (A, ⊕,⊙)est int`egre s’il est diff´erent de
l’´el´ement nul {e}, commutatif, et sans diviseur de z´ero.
Th´eor`eme 2.1. Pour tout anneau (A, ⊕,⊙)int`egre
∀(a, b)∈A2,(a⊙b=e)⇒(a=eou b=e)
2.2. Sous-anneau.
D´efinition 2.6. Toute partie A′de l’ensemble Aest un sous-anneau
de l’anneau (A, ⊕,⊙)ssi
(1) (A′,⊕,⊙)est un anneau
(2) A′est stable pour la loi ⊕
∀(a, b)∈A′2, a ⊕b∈A′
(3) A′est stable pour la loi ⊙
∀(a, b)∈A′2, a ⊙b∈A′
2.3. Morphisme d’anneaux.
D´efinition 2.7. Soient deux anneaux (A1,⊕,⊙)et (A2,⊞,⊡), et soient
e1l’´el´ement neutre de ⊙dans A1, et e2l’´el´ement neutre de ⊡dans
A2. L’application fde (A1,⊕,⊙)dans (A2,⊞,⊡)est un morphisme
d’anneaux ssi
(1) ∀(x, y)∈A2
1, f(x⊕y)=f(x)⊞f(y)
(2) ∀(x, y)∈A2
1, f(x⊙y)=f(x)⊡f(y)