Problème L`unité choisie est le centimètre. ABC Est un triangle

Troisième Révisions du brevet blanc n°2 Correction du devoir n°7
Problème
L'unité choisie est le centimètre.
ABC
Est un triangle rectangle en
A
, tel que
AB=8cm
et
AC =6cm
. Le point
M
est un point du segment
[AC ]
.
On pose
AM =x
.
1. Calculer la longueur
BC
.
Le triangle
ABC
est rectangle en
A
, il vérifie l'égalité de Pythagore :
BC2=BA2+AC 2
BC2=82+62
BC2=64+36
BC2=100
donc
BC=
√
100=10 cm
2. Entre quelles valeurs varie le nombre
x
?
Le point
M
est sur le segment
[AC ]
de longueur
AC =6cm
donc
x
varie entre
0
et
6
.
3. Soit
f
la fonction qui à
x
associe l'aire du triangle
AMB
.
Exprimer
f(x)
en fonction de
x
. Quelle est la nature de la fonction
f
?
AMB
est un triangle rectangle en
A
avec
AB=8cm
et
AM =x
cm
donc
AAMB=AB×AM
2=8x 2=4x
D'où :
f(x)=4x
et
f
est une fonction linéaire.
4. Soit
g
la fonction qui à
x
associe l'aire du triangle
BMC
. Exprimer
g(x)
en fonction de
x
(on pourra
calculer l'aire du triangle
ABC
et lui retrancher celle du triangle
AMB
). Quelle est la nature de la
fonction
g
?
ABC
est un triangle rectangle en
A
donc
AABC =AB×AC
2=8×6 2=24 cm2
On en déduit
ABMC =AABC −AAMC =24−4x
.
D'où :
g(x)=24−4x
et
g
est une fonction affine.

Troisième Révisions du brevet blanc n°2 Correction du devoir n°7
5. Dans un repère orthogonal, en prenant pour unité
1cm
sur l'axe des abscisse et
0,5cm
sur l'axe des
ordonnées, représenter graphiquement les fonctions
f
et
g
.
6. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes (on tracera en pointillés les traits de construction
permettant de répondre aux questions):
a. Si
x=2
, quelle est la valeur de l'aire du triangle
AMB
et celle du triangle
BMC
?
Si
x=2
alors
AAMB=f(2)=8cm2
et
A(BMC)=g(2)=16 cm2
b. Pour quelle valeur de
x
, l'aire du triangle
BMC
est-elle égale à
15 cm2
? Quelle est alors la valeur de
l'aire du triangle
AMB
?
g(x)=15
lorsque
x≈2,25
et à ce moment là, on a
f(2,25)=9
.
c. Pour quelles valeurs de
x
l'aire du triangle
AMB
est-elle supérieure à celle du triangle
BMC
?
La courbe de la fonction
f
est située au dessus de celle de
g
dès que
x>3
.
L'aire du triangle
AMB
est donc supérieure à celle du triangle
BMC
pour
x>3
.
7. Par le calcul, déterminer pour quelle valeur de
x
, les aires des triangles
AMB
et
BMC
sont égales.
Il s'agit de résoudre l'équation
f(x)=g(x)
4x=24−4x
8x=24
x=3
Donc les aires des triangles
AMB
et
BMC
sont égales lorsque
x=3
, c'est à dire lorsque
M
est le mileu
de
[AC ]
.
0 1 2 3 4 5 6
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1