Chapitre 1 - Nombres relatifs - g

Chapitre 1 - Nombres relatifs
12 septembre 2009
1 Dénition et premières propriétés.
1.1
Introduction.
L'année dernière, vous avez fait la connaissance d'une nouvelle sorte de nombres : les nombres
relatifs. Il s'agit en gros des nombres naturels (5 ; 9 ; 52 ; 321 ...) auquel on a rajouté ces mêmes
nombres mais avec un signe - devant.
Ces nombres apparaissent souvent dans la vie courante, comme lors de la lecture d'une température.
En eet, en France il est rare de voir des températures négatives mais dans certains pays, le
thermomètre peut acher jusqu'à -20° C.
1.2
Vocabulaire et repérage.
Un nombre relatif positif s'écrit avec un signe + ou sans signe.
Un nombre relatif négatif s'écrit avec un signe -.
0 est le seul nombre à la fois positif et négatif.
Deux nombres relatifs qui ne dièrent que par leur signes sont opposés.
Exemple : 3 est un nombre positif, -3 est un nombre négatif. Et ces deux nombres sont opposés.
Tout point d'une droite graduée est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.
On appelle généralement O l'origine.
Rappel :
Si un point se situe à gauche de l'origine, son abscisse sera donc négative.
Si un point se situe à droite de l'origine, son abscisse sera donc positive.
Exercice : Tracer une droite graduée d'origine 0, une unité valant 2 cm. Placer les points A, B, C
et D d'abscisses respectives +3, -1.5, +2.5 et -3. Que pouvez-vous dire des points A et D ?
Dans un plan muni d'un repère, tout point est repéré par un couple de nombres
relatifs appelés ses coordonnées : la première est l'abscisse et la seconde est l'ordonnée.
1
C\penalty \@M :/Users/Henri/Desktop/re
Exercice : Lire les coordonnées des points A, B, C, D, E et F.
2 Opérations des nombres relatifs.
2.1
Addition et soustraction de nombres relatifs.
La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre sans son signe. Sur une droite
graduée, cela correspond à la distance entre l'origine et le point qui a pour abscisse
ce nombre.
La distance à zéro du nombre -2.7 est 2.7
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances
à zéro et on garde le signe commun.
Exemples : Eectue les additions suivantes :
A = (-2) + (-3) −→On veut additionner deux nombres négatifs.
A = - ( 2 + 3 ) −→On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun, -.
A = - 5 −→On calcule.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leurs distances à zéro et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
B = (-5) + (+7) −→On veut additionner deux nombres de signes diérents.
B = + ( 7 - 5 ) −→On soustrait leurs distances à zéro et on écrit le signe du nombre qui a la plus
grande distance à zéro.
B = + 2 −→On calcule.
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
C= (-2) - (-3) −→On veut soustraire le nombre -3.
C = (-2) + (+3) −→On additionne l'opposé de -3.
C = + ( 3 - 2 ) −→On additionne deux nombres de signes diérents donc on soustrait leurs distances à zéros et on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
C = +1−→On calcule.
Pour calculer la distance entre deux points sur une droite graduée, on eectue la
diérence entre la plus grande abscisse et la plus petite.
Exemple : Calculer le distance entre le point A d'abscisse +4 et le point B d'abscisse -7
+4 > -7 −→ On compare les abscisses pour trouver la plus grande.
2
AB = (+4) - (-7) −→Pour calculer la distance entre A et B, on eectue la diérence entre la plus
grande abscisse et la plus petite.
AB = (+4) + (+7) −→On transforme la soustraction en addition.
AB = +11 −→On calcule
Dans une suite d'additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d'additions et les parenthèses autour d'un nombre.
Un nombre positif écrit en début de calcul peut s'écrire sans son signe.
D
D
D
D
=
=
=
=
(+4) + (-11) - (+3)
(+4) + (-11) + (-3)−→On transforme les soustractions en additions des opposés.
+4 - 11 - 3 −→On supprime les signes d'addition et les parenthèses autour des nombres.
4 - 11 - 3 −→On supprime le signe + en début de calcul. Puis eectuer facilement.
Problème :
Traduire par une expression le programme de calcul suivant :
"A la somme de -5 et -14, on soustrait la somme de -10, -17 et 5".
Calculer cette expression.
A = (-5 + (-14)) - (-10 + (-17) + 5) = -19 - (-27+5) = -19 - (-22) = -19 + 22 = 3
EXERCICES n°2p15 / n°5p15
3 Multiplication de deux nombres relatifs.
Après avoir additionné ou soustrait des nombres relatifs, on va s'intéresser à leur multiplication.
Nous allons donner une signication à des produits tels que 3 x (-2), 2.5 x (-1.4), (-3) x (-1),..., de
façon à conserver à la multiplication ses propriétés usuelles.
A la calculatrice, eectuer 3 x (-2) ; (-6) x 5 ; 1.5 x (-2.6)
Que semble être le signe du résultat ?
eectuer (-3) x (-8) ; (-5) x (-2)
Que semble être le signe du résultat ?
Nous allons généraliser ces conjectures :
Propriété : (Règle des signes)
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signe contraire est négatif.
Exemples :
(+2) x (+6) = +12
(-8) x (-5) = +40
(-2) x (+4) = -8
3
Propriété :
Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif s'il comporte un nombre pair
de facteurs négatifs.
Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif s'il comporte un nombre
impair de facteurs négatifs.
Exemples : Quel est le signe du produit A= -6 x 7 x (-8) x (-9) ?
facteurs négatifs. Or 3 est impair donc A est négatif.
Le produit comporte trois
Calculer le produit B = 2 x (-4) x (-5) x (-2.5) x (-0.8)
Le produit comporte quatre facteurs négatifs. Or 4 est pair donc B est positif.
B = 2 x 4 x 5 x 2.5 x 0.8
B = (2 x 5) x (4 x 2.5) x 0.8
B = 10 x 10 x 0.8
B = 80
EXERCICES n°9p15 / n°11p15 / n°13p16 / n°19p16 / n°21p16.
4 Propriétés de la multiplication des nombres relatifs.
Propriétés :
Quel que soit le nombre relatif x, 1 x x = x et x x 1 = x ; 0 x x = 0 et x x 0 = 0.
Multiplier un nonbre relatif par -1 c'est changer en son opposé. Ainsi quel que soit le
nombre relatif x, (-1) x x = -x et x x (-1) = -x.
Remarque :
-x désigne l'opposé de x ; ce nombre n'est pas toujours négatif ! En eet, l'opposé
de -7 est 7, donc pour x = -7, on a -x = 7 et -x est positif.
Propriétés :
Quel que soit les nombres relatifs x et y, on a :
(-x) x y = x x (-y) = - x x y
(-x) x (-y) = x x y
En particulier, l'opposé du produit x x y peut s'écrire -x x y ou (-x) x y ou x x (-y). Ainsi la
multiplication est prioritaire sur le passage à l'opposé. Par exemple : -5² = - 5 x 5 = -25 alors
que (-5)² = (-5) x (-5) = 25.
Ecritures simpliées :
(-3) x 4 peut s'écrire simplement - 3 x 4.
On peut ne pas écrire le signe x dans un produit dont les facteurs sont deux lettres ou une lettre
ou un nombre. Par exemple :
x x y s'écrit xy ; 3 x x s'écrit 3x ; (-5) x (-x) s'écrit -5(-x) ; (-3) x (x + 2) s'écrit -3(x+2).
EXERCICES n°27p17 / n°28p17 / n°29p17
4
5 Divisions de nombres relatifs.
Dénition : a et b désignent des nombres relatifs avec b6= 0.
Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a.
On le note ab ou a : b.
Remarque :
5.1
a
b
×b=a
Inverse d'un nombre relatif non nul.
Dénition : Soit a un nombre relatif non nul.
On appelle inverse de a le nombre a1 .
Remarques :
0 n'a pas d'inverse.
a × a1 = a
Exemple : L'inverse de 3 est
On peut écrire le quotient
c'est à dire ab = a × 1b .
5.2
1
3
et l'inverse de -4 est
1
.
−4
a
b
où b est non nul comme multiplication de a par l'inverse de b,
Division
Propriété :
Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs, on applique la même règle des
signes que pour la multiplication et on divise les distances à zéro.
Preuve : La justication vient du fait que l'on a transformé la division en multiplication donc
on se sert des mêmes propriétés que pour multiplier des nombres relatifs.
Exemple : nombres de même signe :
=7
21
3
−25
−2 = 12.5
nombres de signes contraires :
= −1.7
−3.4
2
1 ∼
−3 = −0.33333
Quel que soit le nombre relatif x,
= −x ; si x est diérent de zéro, x0 = 0 et xx = 1.
Quotients particuliers :
x
1
= x;
x
−1
EXERCICES n°36p17 / n°41p18 / n°42p178/ n°43p178.
5