Structure d`anneau - El Amdaoui Prépas

Structure d’anneau
Dernière mise à jour 29 septembre 2015
*** *** *** ***
Plan
I.
Rappels et complément . . . . . . .
1. Anneau et anneau produit . . . . .
2. Règles de calcul dans un anneau. . .
3. Groupes des unités . . . . . . .
4. Sous-anneaux . . . . . . . . .
5. Morphisme d’anneaux . . . . . .
6. Anneau intègre et corps . . . . . .
II. Idéaux d’un anneau commutatif . . .
1. Idéaux . . . . . . . . . . . .
2. Idéal engendré par une partie . . . .
3. Divisibilité . . . . . . . . . .
III. Idéaux de Z, anneau Z/nZ . . . . .
1. Idéaux de Z . . . . . . . . . .
2. L’anneau Z/nZ . . . . . . . . .
3. Indicateur d’Euler . . . . . . . .
IV. Arithmétique de K[X] . . . . . . .
1. Idéaux de K[X] . . . . . . . . .
2. Caractérisation du PGCD et du PPCM
3. Polynômes irréductibles . . . . . .
4. Les polynômes complexes . . . . .
5. Polynômes réels. . . . . . . . .
V. Algèbre . . . . . . . . . . . .
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de
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deux
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polynômes .
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1
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7
8
8
9
9
11
11
11
12
13
14
16
Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
I.
Rappels et complément
1.
Anneau et anneau produit
Définition 1
Soit A muni de deux lois de composition interne notées + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau si,
et seulement, si
1. (A, +) est un groupe abélien, d’élément neutre noté 0A ;
2. la loi × est associative ;
3. La loi × est distributive par rapport à l’addition ;
x × (y + z) =
∀(x, y, z) ∈ A3 :
(y + z) × x =
xy + xz
yx + zx
4. La loi possède un élément neutre 1A .
Cet anneau est dit commutatif quand la loi × est commutative.
Exemple 1. Z, R, Q et C sont des anneaux commutatifs pour l’addition et la multiplication usuelles.
Exemple 2 (L’anneau des fonctions). Soit X un ensemble non vide, K = R ou C.
KX , +, × est un anneau commutatif
— d’élément unité : 1KX : X −→ K, x 7−→ 1
— élément nul : 0KX : X −→ K, x 7−→ 0
Exemple 3 (L’anneau de Gauss). On définit Z[i] := a + ib | (a, b) ∈ Z2 .
(Z[i], +, ×) est un anneau commutatif
Exemple 4 (L’anneau des polynômes). (K[X], +, ×) est un anneau commutatif
Exemple 5 (L’anneau des matrices carrées). (Mn (K) , +, ×) est un anneau non commutatif pour n > 2
Exemple 6 (L’anneau des endomorphismes). Soit E est un K-espace vectoriel de dimension fini.
(L(E), +, ◦) est un anneau non commutatif si n > 2
Définition 2: Produit fini d’anneaux
Soit (A1 , +1 , ×1 ) , · · · , (An , +n , ×n ) des anneaux et A = A1 × · · · × An .
On définit des lois + et × sur A en posant
(x1 , · · · , xn ) + (y1 , · · · , yn ) := (x1 +1 y1 , · · · , xn +n yn )
et
(x1 , · · · , xn ) × (y1 , · · · , yn ) := (x1 ×1 y1 , · · · , xn ×n yn )
Propriété 1
L’ensemble A muni des lois + et × définies ci-dessus est un anneau de neutres
0A = (0A1 , · · · , 0An ) et 1A = (1A1 , · · · , 1An )
De plus,
1. un élément (a1 , · · · , an ) ∈ A est inversible si, et seulement si, les a1 , · · · , an le sont et son inverse
−1
est alors (a−1
1 , · · · , an ).
2. la loi × est commutative si les lois ×1 , · · · , ×n sont commutatives
2.
Règles de calcul dans un anneau
Propriété 2
Soit (A, +, ×) un anneau d’élément neutre 0 et d’unité 1. Alors
1. Pour tout a ∈ A : a × 0 = 0 × a = 0
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1
EL AMDAOUI Mustapha
Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
2. Pour tout a, b ∈ A : (−a) × b = a × (−b) = −(a × b)
Notation (Lesitérés d’un élément). Soit (A, +, ×) un anneau. Soit n ∈ N et a ∈ A. On note
· · + a si n 6= 0
 |a + ·{z
}
— na =
n fois

0
si n = 0
— (−n)a:= n(−a)
· · × a si n 6= 0
 |a × ·{z
}
— an =
n fois

1
si n = 0
Propriété 3: Formule de Binôme
Soit (A, +, ×) un anneau et a, b deux éléments de A tels que ab = ba. Alors pour tout n ∈ N
n
(a + b) =
n
X
Cnk ak bn−k
k=0
Preuve. Par récurrence sur n ∈ N
— Le résultat est vrai pour n = 0 : (a + b)0 = 1 = C00 a0 b0
— Soit n ∈ N. Supposons-le vrai au rang n ; on a alors :
(a + b)n+1
(a + b).(a + b)n = a(a + b)n + b(a + b)n
n
n
X
X
= a
Cnp ap bn−p + b
Cnp ap bn−p
=
p=0
n
X
=
p=0
Cnp ap+1 bn−p +
p=0
n
X
Cnp ap bn−p+1
p=0
En faisant le changement de variable q = p + 1 dans le premier terme, on obtient :
(a + b)n+1
n+1
X
=
Cnq−1 aq bn−q+1 +
n
X
Cnp ap bn−p+1
p=0
q=1
= an+1 + bn+1 +
n
X
Cnq−1 + Cnq aq bn−q+1
q=1
Or on sait que pour tous n, m ∈ N tels que 1 ≤ m ≤ n :
m
Cnm−1 + Cnm = Cn+1
D’o ? :
(a + b)
n+1
=a
n+1
+b
n+1
+
n
X
q
+Cn+1
aq bn−q+1
q=1
=
n+1
X
q
+Cn+1
aq bn−q+1
q=0
Le résultat est donc démontré par récurrence.
Exemple 7. Element nilpotents
Propriété 4: Formule de factorisation
Soit (A, +, ×) un anneau et a, b deux éléments de A tels que ab = ba. Alors pou tout n ∈ N
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
X
ak bn−k
k=0
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2
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Éléments de cours: MP
Preuve. On a (a − b)
n
X
Structure d’anneau
ak bn−k = a
k=0
Par distributivité, on trouve : a
n
X
n
X
ak bn−k − b
k=0
k n−k
a b
=
k=0
n
X
n
X
ak bn−k .
k=0
k+1 n−k
a
b
b
n
X
ak bn−k =
k=0
Il vient
(a − b)
; et par commutativité de a et b
k=0
n
X
n
X
ak bn+1−k
k=0
ak bn−k =
k=0
n
X
ak+1 bn−k −
k=0
n
X
ak bn+1−k
k=0
En faisant le changement de variable p = k + 1 dans le premier terme, on obtient :
(a − b)
n
X
ak bn−k =
ap bn+1−p −
p=1
k=0
3.
n
X
n
X
ak bn+1−k = an+1 − bn+1
k=0
Groupes des unités
Propriété 5
Soit (A, +, ×) un anneau, l’ensemble des inversibles de A est noté U(A), cet ensemble est un groupe
multiplicatif. (U(A), ×) est appelé groupe des unités de A.
Preuve. Soit a et b des éléments inversibles de A, d’inverses a−1 et b−1 , alors a.b est inversible d’inverse b−1 .a−1 .
Donc U(A) est stable pour la multiplication.
L’associativité de la multiplication est garantie par les propriétés de l’anneau et l’existence d’un élément neutre
par le fait que 1A ∈ U(A)
Exemple 8. U (Z) = {−1; 1}
Exemple 9. U (K[X]) = K∗ .
Solution. En effet :
1
= 1.
Les polynômes constants non nuls sont inversibles car C ∈ K tel que C 6= 0 on a C ×
C
Inversement, si P est un polynôme inversible dans K[X] et si Q désigne son inverse, l’égalité P Q = 1 donne
deg P + deg Q = 0 d’o ? deg P = deg Q = 0.
Exemple 10. Soit n ∈ N. Le groupe U (Mn (K)) = GLn (K)
Corollaire 1
Si A est l’anneau produit
n
Y
Ai , alors
i=1
U (A) = U (A1 ) × · · · × U (An )
Exemple 11 (L’anneau produit Z2 ). Z2 , +, × est un anneau commutatif o ?
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) × (c, d) = (ac, bd)
On a
U Z2 = {(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1)}
4.
Sous-anneaux
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3
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Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
Définition 3
Soit (A, +, ×) un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A si, et seulement,
si
— 1A ∈ B
— Pour x, y ∈ B, x − y ∈ B et x × y ∈ B
Propriété 6
Une partie B de A est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si c’est une partie contenant 1A ,
stable par les opérations de A et si, pour les restrictions de ces lois, (B, +, ×) est un anneau
√
√
√
Exemple 12. Considérons Z[ 2] = a + b 2 / a, b ∈ Z et montrons que Z[ 2], +, × est un anneau commutatif.
√ Solution. On a évidemment Z 2 ⊂ R
√
√ — 1=1+0 2∈Z 2
√
√
√ — Pour x, y ∈ Z 2 , on peut écrire x = a + b 2 et y = c + d 2 avec a, b, c, d ∈ Z.
√
√
√ √ On a x − y = (a − c) + (b − d) 2 ∈ Z 2 car a − c, b − d ∈ Z et xy = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ Z 2 .
√ √ Ainsi Z 2 est un sous-anneau de (R, +, ×) et donc Z 2 , +, × est un anneau commutatif.
5.
Morphisme d’anneaux
Définition 4
Soient A,A0 deux anneaux , f : A → A0 une application. On dit que f est un morphisme d’anneaux si
et seulement si ∀(x, y) ∈ A2 :

 f (x + y)=f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)

f (1A ) =
1 A0
Remarque. Un morphisme d’anneaux est un morphisme de groupes
Propriété 7
La composée de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneaux.
Vacabulaire.
— un endomorphisme d’anneaux A est un morphisme de A dans A.
— un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.
— un automorphisme d’un anneaux A est un endomorphisme d’anneaux A.
Propriété 8
Soit f : A −→ A0 un morphisme d’anneaux
1. f (0) = 0
2. ∀a ∈ A,
f (−a) = −f (a)
3. ∀a ∈ A, ∀n ∈ Z,
f (na) = nf (a)
4. ∀a ∈ A, ∀n ∈ N,
f (an ) = f (a)
n
5. ∀a ∈ U (A), on a f (a) ∈ U (A) et f (a)
−1
= f a−1
Définition 5
Soit f : A −→ A0 un morphisme d’anneaux.
On appelle image et noyau du morphisme f les ensembles
Im (f ) = f (A)
Ker (f ) = f −1 ({0A0 })
et
Remarque. Ce sont en fait les images et noyaux de f en tant que morphisme de groupes additifs.
Propriété 9
f : A −→ A0 un morphisme d’anneaux. Alors
1. f est injective si, et seulement si, Kerf = {0A }.
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Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
2. f est surjective si, et seulement si, Imf = A0 .
Preuve. Car f est en particulier un morphisme de groupes additifs.
Définition 6: Isomorphisme d’anneaux
On dit qu’une application f : A −→ A0 est un isomorphisme d’anneaux si
1. f est un morphisme d’anneaux ;
2. f est bijective.
Propriété 10
1. La composée de deux isomorphismes d’anneaux est un isomorphisme d’anneaux.
2. L’application réciproque d’un isomorphisme d’anneaux et un isomorphisme d’anneaux.
Définition 7
On dit que deux anneaux A et A0 sont isomorphes s’il existe un isomorphisme d’anneaux de l’un vers
l’autre.
6.
Anneau intègre et corps
Définition 8: Anneau intègre
Un anneau (A, +, ×) est dit intègre quand il est commutatif et
∀a, b ∈ A,
ab = 0 ⇒ a = 0
ou
b=0
Remarque.
— l’anneau A est intègre si, et seulement, si ∀a, b ∈ A, a × b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
— Par contraposée un anneau A est non intègre si, et seulement, si il existe a 6= 0 et b 6= 0 de A tels que
ab = 0
Définition 9: Corps
un ensemble K muni de deux lois + et × est appelé corps si et seulement si :
— (K, +, ×) est un anneau commutatif
— 0K 6= 1K
— U (K) = K∗ = K \ {0}
Remarque.
— un corps est un anneau intègre
— Les règles de calculs dans un corps sont les mêmes que dans un anneau.
Exemple 13. Q, R, C sont des corps commutatifs.
Propriété 11
Tout corps est un anneau intègre
Définition 10: Sous-corps
Soient (K, +, ×) un corps et L une partie de K. On dit que L est un sous-corps de K si et seulement si :
— L est un sous-anneau de K
— ∀x ∈ L \ {0}, x−1 ∈ L
Définition 11: Morphisme de corps
Soit (K, +, ×) et (K0 , +, ×) deux corps.
1. On appelle morphisme (de corps ) de K dans K0 toute application f : K → K0 telle que :
∀x, y ∈ K,
f (x + y) = f (x) + f (y) et f (xy) = f (x)f (y)
Si de plus f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme de corps
2. Un endomorphisme de est un morphisme d’un corps dans lui même
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Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
3. Un automorphisme de corps est un endomorphisme bijectif
Propriété 12
Soit f : K → K0 un morphisme de corps
— Imf est sous-corps de (K0 , +, ×)
— un morphisme de corps est toujours injectif
II.
Idéaux d’un anneau commutatif
Dans cette section A désigne un anneau commutatif d’unité 1A
1.
Idéaux
Définition 12
On appelle idéal d’un anneau commutatif A tout sous-groupe additif de A vérifiant la propriété suivante,
dite propriété d’absorption :
∀(a, b) ∈ A × I, ab ∈ I
Exemple 14. Soit n ∈ Z. Montrons que nZ est un idéal de Z
Remarque. Les sous-ensembles {0} et A sont des idéaux de A. Un idéal vaut A si, et seulement si, il contient 1
ou, plus généralement, un élément inversible.
Propriété 13
Une partie I de A est un idéal si, et seulement si, elle est non vide et vérifie :
∀(u, v) ∈ A2 ; ∀(a, b) ∈ I 2 , au + bv ∈ I
Propriété 14
A, B deux anneaux commutatifs et f : A → B un morphisme d’anneaux.
1. Si J est un idéal de B alors f −1 (J) est un idéal de A . En particulier, le noyau de f est un idéal de
A.
2. Si f est surjective, alors l’image directe d’un idéal de A et un idéal de B .
Preuve.
1. J un idéal de B, et x, y ∈ f −1 (J), a ∈ A. J est non vide donc f −1 (J) est également non vide.
f est un morphisme d’anneaux, donc f (x − y) = f (x) − f (y). J étant un idéal, f (x) − f (y) ∈ J, donc
x − y ∈ f −1 (J). Également, f (ax) = f (a)f (x), et J étant un idéal, f (a)f (x) ∈ J, donc ax ∈ f −1 (J).
2.
Attention. L’image directe d’un idéal par un morphisme d’anneaux n’est pas forcément un idéal. En effet,
f: Z → R
est un morphisme d’anneaux, Z est un idéal de Z mais Im (f ) = Z n’est pas un idéal de R.
n 7→ n
Propriété 15
Soit I1 , · · · ; In des idéaux de A, alors
n
X
(
Ik :=
k=1
n
X
)
xk | ∀i ∈ [[1, n]] , xk ∈ Ik
k=1
est un idéal de A
2.
Idéal engendré par une partie
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Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
Lemme
L’intersection d’une famille d’idéaux est un idéal de A.
T
Preuve. Soit (Ji )i∈I une famille d’idéaux de A indexée par un ensemble non vide I. Posons J = i∈I Ji . Tous
les Ji contiennent 0, donc J contient 0, et est donc non vide. Soient x, y ∈ J, a ∈ A. Pour tout i de I, x et y
sont dans Ji , qui est un idéal, donc x − y ∈ Ji et ax ∈ Ji , donc x − y ∈ J et ax ∈ J.
Définition 13
Soit S une partie d’un anneau A. On appelle idéal engendré par S l’intersection de tous les idéaux de
A contenant S : c’est donc le plus petit idéal (au sens de l’inclusion) de A contenant S.
Notation. Un tel idéal se note I (S)
Propriété 16
Soit S une partie non vide d’un anneau, alors l’idéal engendré par S est
IS = {a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn
| n ∈ N∗ , (a1 , · · · , an ) ∈ An , (s1 , · · · , sn ) ∈ S}
(1)
Preuve.
Propriété 17
Lorsque S = {a}. L’idéal qui engendré par S est
aA = {ab | b ∈ A}
Dans un tel cas cet idéal est dit principal
Exemple 15. nZ est l’idéal principal engendré par n
3.
Divisibilité
On suppose dans cette section que A est intègre.
Définition 14
Soit a, b ∈ A. On dit que a divise b, ce que l’on note a | b, s’il existe c ∈ A tel que b = ac.
Vacabulaire. Lorsque a divise b, on dit que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a.
Propriété 18
Soit a, b, c ∈ A. Si c divise a et b, alors c divise l’expression au + bv pour tout u, v ∈ A
Propriété 19
La relation de divisibilité x|y est réflexive et transitive.
Preuve.
Propriété 20
Soit a, b ∈ A, alors
a | b ⇐⇒ bA ⊂ aA
Preuve. L’idéal principal aA est l’ensemble des multiples de a. Supposons a | b.
Soit x ∈ bA, on a b|x, soit par transitivité a | x, par conséquent x ∈ aA.
Réciproquement, bA ⊂ aA, entraÓne b ∈ aA, soit a | b.
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Éléments de cours: MP
Structure d’anneau
Propriété 21
Soit a, b ∈ A, alors
(
x|y
y|x
(
∃ε ∈ U(A)
⇐⇒ xA = yA ⇐⇒
y = εx
On dit alors que x et y sont associés, ce que l’on note x ∼ y
Exemple 16. Traiter le cas de Z
III.
1.
Idéaux de Z, anneau Z/nZ
Idéaux de Z
Propriété 22
Soit I un idéal de Z, alors il existe un unique n ∈ N tel que I = nZ
Preuve.
Propriété 23: ppcm et pgcd
Soit a, b ∈ Z
— Le PGCD a ∧ b de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aZ + bZ.
— Le PPCM a ∨ b de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aZ ∩ bZ.
Preuve.
— Soit d le générateur positif ou nul de l’idéal aZ + bZ. Les inclusions :
aZ ⊂ dZ
et
bZ ⊂ dZ
montrent que d est un diviseur commun de a et b. Comme d appartient à aZ ⊂ dZ, il existe un couple
(u, v) ∈ Z2 tel que : d = ua + bv.
Tout diviseur commun de a et b est alors un diviseur de d. Cet élément est donc le PGCD de a et b que
(a, b) soit égal à (0, 0) ou non.
— Soit m le générateur positif ou nul de l’idéal aZ ∩ bZ. Un entier c est un multiple commun de a et b si,
et seulement si, cZ ⊂ aZ et cZ ⊂ bZ, c’est-à-dire cZ ⊂ aZ ∩ bZ ; cela équivaut à m | c. L’entier naturel
m est donc le PPCM de (a, b) que ce couple soit égal à (0, 0) ou non.
Corollaire 2
Soit a, b ∈ Z, alors il existe (u, v) ∈ Z2 tel que au + bv = a ∧ b
Corollaire 3: Théorème de Bezout
Soit a, b ∈ Z. Alors
a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃u, v ∈ Z;
au + bv = 1
u, v sont appelés les coefficients de Bezout
Preuve.
⇒) Déjà fait
⇐) Supposons l’existence de deux entiers u, v ∈ Z tels que au + bv = 1. Soit alors d un diviseur commun
de a et b. Alors d|(au + bv) = 1, donc d = 1 et finalement a et b sont premiers entre eux comme voulu
Corollaire 4: Lemme de Gauss
Soient a, b, c ∈ Z.
a|bc
⇒ a|c.
a∧b=1
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Structure d’anneau
Preuve. Soit k ∈ Z tel que bc = ka, et soit (u, v) ∈ Z2 tel que au + bv = 1. Multipliant les deux membres de
cette égalité par c, on obtient c = cau + cbv, puis remplaçant bc par ka, il vient
c = cau + kav = acu + akv = a(cu + kv)
cu + kv ∈ Z, donc a|c
Propriété 24: L’équation ax + by = c
L’équation ax + by = c admet une solution si, et seulement, si a ∧ b | c.
Si a ∧ b | c et (x0 , y0 ) ∈ Z2 une de ses solutions, alors l’ensemble des solutions de cette équation est :
kb
ka
S=
x0 −
, y0 +
|k∈Z
a∧b
a∧b
Preuve. Avec les notations précédentes. L’équation s’écrit a0 x + b0 y = c0 et a0 (x − x0 ) = b0 (y0 − y) (2).
En conséquence b0 | a0 (x − x0 ) Et comme a0 ∧ b0 = 1, on a, d’après le théorème de Gauss : b0 | (x − x0 ). Soit
k ∈ Z tel que x − x0 = kb0 . La relation (2) donne y0 − y = ka0 . Toute solution est de la forme (x0 + kb0 , y0 − ka0 )
o ? k ∈ Z.
Réciproquement, on vérifie que, pour tout k ∈ Z, le couple (x0 + kb0 , y0 − ka0 ) est bien solution de l’équation
diophantienne considérée
2.
L’anneau Z/nZ
Propriété 25
(Z/nZ, +, ×) est un anneau commutatif.
Preuve. Découle directement du fait que Z soit un anneau commutatif.
.
Propriété 26: Les unités de Z
nZ
. U Z
= {x, x ∈ [[0, n − 1]] et x ∧ n = 1}
nZ
Preuve. Soit x ∈ [[0, n − 1]], alors
x ∈ U (Z/nZ) ⇐⇒
∃u ∈ Z, x.u = 1
⇐⇒
∃u ∈ Z, x.u ≡ 1
⇐⇒
∃u, v ∈ Z/nZ, xu + vn = 1
⇐⇒
x∧n=1
[n]
Propriété 27
Soit n ∈ N∗ . Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. n est premier,
2. l’anneau Z/nZ est un corps,
3. l’anneau Z/nZ est intègre
Preuve.
3.
Indicateur d’Euler
Définition 15
.
Soit n ∈ N∗ , le nombre des éléments inversibles dans l’anneau Z
se note ϕ(n).
nZ
L’application ϕ est appelée l’indicateur d’Euler
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Structure d’anneau
Conséquence 1
Soit p un nombre premier et k ∈ N∗ , alors
ϕ(pk ) = pk − pk−1
.
Preuve. Soit n ∈ 0, pk − 1 . Alors n n’est pas inversible dans Z k si, et seulement si p divise n. Il y a donc
p Z
pk−1 éléments non inversibles dans cet anneau.
On obtient donc :
ϕ(pk ) = pk − pk−1
Lemme : de Chinois
Soient m, n ∈ N∗ premiers entre eux, alors
1. L’application ψ est un isomorphisme d’anneaux :
ψ : Z/mnZ −→ Z/mZ × Z/nZ
[x]mn 7−→ ([x]m , [x]n )
2. il existe une solution k1 ∈ [[0, mn − 1]] au système de congruences :
(
k ≡ a [n]
k ≡ b [m]
3. un entier k ∈ Z vérifie le système précédent si, et seulement si : k ≡ k1
[mn]
Conséquence 2
Si m ∧ n = 1, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
Preuve. Supposons que n et m soient premiers entre eux. L’isomorphisme du lemme chinois montre que Z/mnZ
et Z/mZ × Z/nZ ont même nombre d’éléments inversibles. De plus, un couple (r, s) ∈ Z/mZ × Z/nZ est
inversible si, et seulement si, r et s le sont respectivement dans Z/mZ et Z/nZ. On obtient donc :
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
Conséquence 3
Soit n =
r
Y
pki i est la décomposition en facteurs premiers de l’entier n. Alors
i=1
ϕ(n) =
r Y
i=1
r Y
1
pki i − pki i −1 = n
1−
pi
i=1
Théorème 1: d’Euler
Soit n un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors aϕ(n) ≡ 1 (mod n).
Preuve.
Conséquence 4: Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier. Alors
1. αp−1 ≡ 1 [p] pour tout α ∧ p = 1
2. αp ≡ α
[p] pour tout α ∈ Z
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Structure d’anneau
∗
Preuve.
1. Le groupe multiplicatif (Z/pZ) , formé des éléments non nuls de Z/pZ est d’ordre p − 1. Tout
∗
élément α ∈ (Z/pZ) vérifie αp−1 = 1
2. L’égalité αp ≡ α [p] est vraie lorsque α et premier avec p et est évidente lorsque p divise α
8
Exemple 17. Trouvons le reste de la division euclidienne de a = 10(9 ) par 7
Solution. D’après le théorème de Fermat 106 ≡ 1
3 [6], on obtient 98 ≡ 3 [6].
8
Finalement : 10(9 ) ≡ 6 [7]
IV.
[7]. Il suffit alors d’étudier 98 modulo 6. En utilisant 9 ≡
Arithmétique de K[X]
Dans ce paragraphe et le suivant, K est un sous-corps de C.
1.
Idéaux de K[X]
Définition 16
Un polynôme est dit normalisé s’il est nul ou s’il est unitaire
Propriété 28
Deux polynômes P et Q de K[X] sont associés si, et seulement si, il existe λ ∈ K∗ tel que Q = λP .
Tout polynôme est associé à un unique polynôme normalisé.
Propriété 29
Tout idéal I de K[X] peut s’écrire de façon unique sous la forme : P K[X] avec P ∈ K[X] normalisé.
Le polynôme P s’appelle le générateur normalisé de I.
Preuve.
— Existence:Si I est réduit à {0}, il s’écrit 0K[X].
Sinon, considérons P ∈ I \ {0} de degré minimal. Quitte à le multiplier par une constante non nulle, on
peut supposer que P est unitaire. On a évidemment P K[X] ⊂ I.
Inversement. Soit S ∈ I, on effectue la division euclidienne de S par P il existe Q, R ∈ K[X] tel que
S = P Q + R,
deg R < deg P
Le polynôme R, égal à S − P Q, appartient à I. Son degré étant strictement inférieur à deg P , minimum
des degrés des polynômes non nuls de I, R est nul et S = P Q. Finalement I = P K[X].
— Unicité:Deux polynômes P et Q vérifiant I = P K[X] = QK[X] sont associés et, par la proposition
précédente, égaux s’ils sont normalisés.
2.
Caractérisation du PGCD et du PPCM de deux polynômes
Nous en déduirons, dans ce paragraphe, ses propriétés arithmétiques comme dans le cas de Z ou tout idéal
est principal.
Propriété 30
Soit P, Q ∈ K[X]
— Le PGCD D de P et Q est le générateur unitaire de l’idéal P K[X] + QK[X].
— Le PPCM M de P et Qb est le générateur unitaire de l’idéal P K[X] ∩ QK[X].
Preuve.
— Soit D le générateur unitaire de l’idéal P K[X] + QK[X]. Les inclusions :
P K[X] ⊂ DK[X]
et
QK[X] ⊂ DK[X]
montrent que D est un diviseur commun de P et Q. Comme D appartient à P K[X] ⊂ DK[X], il existe
un couple (U, V ) ∈ K[X]2 tel que : D = U P + V Q.
Tout diviseur commun de P et Q est alors un diviseur de D. Cet élément est donc le PGCD de P et Q
que (P, Q) soit égal à (0, 0) ou non.
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Structure d’anneau
— Soit M le générateur unitaire de l’idéal P K[X] ∩ QK[X]. Un polynôme C est un multiple commun de
P et Q si, et seulement si, CK[X] ⊂ P K[X] et CK[X] ⊂ QK[X], c’est-à-dire CK[X] ⊂ P K[X] ∩ QK[X] ;
cela équivaut à M | C. L’entier naturel M est donc le PPCM de (P, Q) que ce couple soit égal à (0, 0)
ou non.
Corollaire 5
Soit P, Q ∈ K[X]. Si D est le PGCD de P et Q, alors il existe (U, V ) ∈ K[X]2 tel que P U + QV = D
Cette relation s’appelle une relation de Bézout entre P et Q
Corollaire 6: Théorème de Bezout
Soit P, Q ∈ K[X]. Alors
P ∧ Q = 1 ⇐⇒ ∃U, V ∈ K[X];
UP + V Q = 1
U, V sont appelés les coefficients de Bezout
Preuve.
⇒) Déjà fait
⇐) Supposons l’existence de deux entiers U, V ∈ K[X] tels que P U + QV = 1. Soit alors D un diviseur
commun de P et Q. Alors D|(U P + V Q) = 1, donc D = 1 et finalement P et Q sont premiers entre eux
comme voulu
Corollaire 7: Lemme de Gauss
Soient P, Q, R ∈ K[X].
P |QR
⇒ P |R.
P ∧Q=1
Preuve. Soit S ∈ K[X] tel que QR = SP , et soit (U, V ) ∈ K[X]2 tel que P U + QV = 1. Multipliant les deux
membres de cette égalité par R, on obtient R = RP U + RQV , puis remplaçant QR par SP , il vient
R = RP U + SP V = P (RU + SV )
RU + SV ∈ K[X], donc P |R
3.
Polynômes irréductibles
Définition 17
Soit P ∈ K[X] un polynôme non constant.
On dit que P est irréductible dans K[X] ssi ses seuls diviseurs sont les constantes et les polynômes qui lui
sont associés.
P est dit composé ou réductible s’il n’est pas irréductible (dans K[X]).
Théorème 2
Soit A ∈ K[X]. et P et Q deux polynômes irréductibles de K[X]. Alors
1. P |A ou A ∧ P = 1
2. P et Q sont associés ou P ∧ Q = 1
Théorème 3: Lemme d’Euclide
Soit A, B ∈ K[X]. et P un polynôme irréductible de K[X]. Alors
P |AB ⇒ P |A ou P |B
Corollaire 8
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Structure d’anneau
Soient A1 , · · · , An sont des polynômes et P un polynôme irréductible. Alors
P |
n
Y
Ai ⇒ ∃i ∈ [[1, n]] ,
P |Ai
k=1
Théorème 4
Soit A un polynôme non constant de K[X]. ∃λ ∈ K∗ , ∃n ∈ N∗ , ∃P1 , · · · , Pn polynômes irréductibles de
K[X] unitaires et deux à deux distincts et ∃α1 , · · · , αn ∈ N∗ . tels que :
A=λ
n
Y
Piαi
k=1
De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs, on l’appelle décomposition primaire de
A.
Preuve. On prouve d’abord l’existence puis l’unicité à l’ordre des facteurs près.
— Existence:Elle se fait par récurrence sur le degré de A.
— Si deg A = 1 alors P est irréductible. On pose k = 1, α1 = 1 et l’on prend pour P1 le polynôme
unitaire associé à P . Il est de degré 1 donc irréductible.
— Soit n ∈ N∗ . Supposons maintenant que le théorème de décomposition soit valable pour tout polynôme
de degré compris entre 1 et n. Soit A un polynôme de degré n + 1 et A0 le polynôme unitaire associé
à A. Le polynôme est unitaire et de degré n + 1. S’il est irréductible, alors A = λA0 , o ? λ est le
coefficient dominant de A, constitue une décomposition de A en facteurs premiers. Sinon,il existe
un polynôme unitaire A1 de degré compris entre 1 et n tel que A1 | A0 . Soit B1 ∈ K[X] tel que
A0 = A1 B1 . B1 est aussi unitaire de degré compris entre 1 et n. D’après l’hypothèse de récurrence
A1 et B1 admettent chacun une décomposition en facteurs premiers :
A=
r
Y
Piαi et B1 =
i=1
Qβi i
i=1
Donc
r
Y
A=λ
`
Y
!
Piαi
i=1
`
Y
!
Qβi i
i=1
Il ne reste plus qu’à renuméroter les facteurs de la décomposition pour obtenir le résultat voulu.
— Unicité:Supposons que A admette deux décompositions en facteurs irréductibles :
A=λ
r
Y
Piαi = µ
i=1
`
Y
i
Qα
i
i=1
Comme tous les facteurs irréductibles sont unitaires, λ et µ sont égaux au coefficient du terme dominant
de A . Donc λ = µ. De ce fait, on a
r
`
Y
Y
i
Piαi =
Qα
i
i=1
i=1
Par ailleurs, P1 divise le produit de droite, on déduit que P1 divise au moins un des Qj : il existe j1
tel que Qj1 et P1 ne soient pas premiers entre eux. Comme par ailleurs Qj1 et P1 sont irréductibles et
unitaires, cela signifie que P1 = Qj1 . En vertu du caractère intègre de K[X], on peut donc simplifier par
P1 .
Y β0
On itère ce procédé et en α1 + · · · αk étapes, on parvient à une expression du type 1 =
Qj j avec
j=1
βj0 = βj − αj . Cela permet de conclure que tous les βj sont nuls. Donc les deux décompositions sont
identiques à ordre près des facteurs.
4.
Les polynômes complexes
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Théorème 5: d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de C[X] possède au moins une racine.
Remarque. Ce résultat est faux dans R[X], exemple du polynôme X 2 + 1 à l’appui.
Propriété 31
Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de degré 1.
Preuve. Soit P un polynôme irréductible de C[X]. Par le théorème de d’Alembert-Gauss, P possède au moins
une racine α donc X − α divise P . Puisque P est irréductible et X − α est non constant, alors P et X − α sont
associés.
Propriété 32
Tout polynôme de C[X] est scindé sur C.
Preuve. Sa décomposition en facteurs irréductibles est une décomposition en produit de facteurs du premier
degré.
Définition 18
Soit P =
n
X
ai X i ∈ C[X].
i=0
On appelle polynôme conjugué de P le polynôme P =
n
X
ai X i
i=0
Propriété 33
Soit P, Q ∈ C[X].
P = P,
P + Q = P + Q,
P Q = P .Q
Preuve. C’est immédiat en décrivant les polynômes par leurs coefficients.
Propriété 34
Soit P, Q ∈ C[X]
P | Q ⇐⇒ P | Q
Preuve. Si P |Q alors on peut écrire Q = P U avec U ∈ C[X]. On alors Q = P U = P .U donc P |Q.
Si P |Q alors, d’près l’implication directe, P = P divise Q = Q.
Propriété 35
Soit P ∈ C[X], a ∈ C et m ∈ N. Alors
a est une racine de P de multiplicité m si, et seulement, si a est une racine de P de multiplicité m
m
Preuve. Si a est une racine de P de multiplicité m, alors il existe Q ∈ C[X] tel que P = (X − a) Q avec
Q(a) 6= 0. Par conjugaison l’égalité devient P = (X − a) Q, avec Q(a) = Q(a) 6= 0
5.
Polynômes réels
Définition 19
Soit P ∈ R[X] . On appelle racine complexe de P toute racine de P vu comme polynôme complexe.
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Propriété 36
Tout polynôme réel de degré n admet exactement n racines complexes comptées avec multiplicité.
Preuve. Tout polynôme complexe est scindé
Propriété 37
Les racines complexes d’un polynôme réel sont deux à deux conjuguées et deux racines conjuguées ont
même multiplicité.
Preuve. Si a est racine complexe de multiplicité m de P alors a est aussi racine complexe de multiplicité m de
P = P.
Propriété 38
Les polynômes irréductibles de R[X] sont :
1. les polynômes de degré 1 ,
2. les polynômes de degré 2 de discriminant <0 (i.e. sans racines réelles).
Preuve.
• On sait déjà que les polynômes de degré 1 sont irréductibles.
• Considérons maintenant un polynôme P de degré 2 sans racines réelles et soit D un diviseur de P . On
a deg D > 2 et D 6= 0.
— Si deg D = 0 ou 2 alors D est un diviseur trivial de P.
— Si deg D = 1 alors D possède une racine réelle qui sera racine de P . C’est exclu.
Ainsi P est irréductible.
• Inversement : Soit P un polynôme irréductible dans R[X]. P est non constant donc P possède une racine
complexe a.
— Si a ∈ R alors X − a | P et donc P est associé à X − a puis c’est un polynôme de degré 1.
— Si a ∈ C \ R alors a,a sont racines distinctes de P puis A = (X − a)(X − a) divise P dans le
cadre des polynômes complexes. Ainsi il existe B ∈ C[X] tel que P = AB. Or P ∈ R[X] et A =
X 2 − 2<(a)X + |a|2 ∈ R[X] donc P = A.B donne P = A.B. On en déduit B = B d’o ? B ∈ R[X].
Ainsi A divise P dans le cadre des polynômes réels. Or P est irréductible, il est donc associé à A et
apparaÓt comme étant un polynôme de degré 2 sans racines réelles.
Théorème 6
Tout polynôme P ∈ R[X] possède une unique décomposition, à l’ordre près, de la forme :
P =A
r
Y
(X − λi )αi ×
i=1
s
Y
(X 2 + bj X + cj )βj
j=1
dans laquelle :
— A est le coefficient dominant de P ;
— λ1 , · · · , λr est la suite des racines réelles distinctes de P et α1 , · · · , αr la suite des multiplicités
associées
— les polynômes X 2 + bj X + cj sont deux à deux distincts et irréductibles dans R[X] pour tout
j ∈ [|1, s|].
Exemple 18. Factorisons dans R[X] le polynôme X 5 − 1
Solution. Les racines complexe de X 5 − 1 sont ω0 , ω1 , · · · , ω4 avec ωk = ei
ω0 = 1 est réel, ω4 = ω1 et ω3 = ω2 . Par suite
2kπ
5
.
X 5 − 1 = (X − 1) [(X − ω1 )(X − ω1 )] . [(X − ω2 )(X − ω2 )]
ce qui donne
2π
X − 1 = (X − 1) X − 2 cos
X +1
5
5
2
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4π
2
X − 2 cos
X +1 .
5
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Structure d’anneau
Exemple 19. La décomposition de X 4 + 16 en produit de polynômes irréductibles dans C[X] est :
3π
3π
π
π
X − 2ei 4
X 4 + 16 = X − 2e−i 4 X − 2ei 4 X − 2e−i 4
√
√
Pour la décomposition dans R[X] : X 4 + 16 = X 2 − 2 2X + 4 X 2 − 2 2X + 4
V.
Algèbre
Définition 20
Soit un corps commutatif K et un ensemble A muni de deux lois de composition interne +, × et d’une
loi de composition externe ".". On dit que (A, +, ×, .) est une algèbre sur K si et seulement si :
1. (A, +, .) est un K-espace vectoriel ;
2. (A, +, ×) est un anneau ;
3. ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ K,
α.(x × y) = (α.x) × y = x × (α.y)
Exemple 20.
— (C, +, ×, .) est une R-algèbre
— (Mn (R), +, ×, .) est une R-algèbre
— (F(X, K), +, ×, .) est une K-algèbre. En particulier (RN , +, ×, .) est une R-algèbre
— (L(E), +, o, .) est une K-algèbre, où E est un K-espace vectoriel
— Kn est une algèbre si l’on définit la multiplication par :
(x1 , · · · , xn ) × (y1 , · · · , yn ) = (x1 y1 , · · · , xn yn )
Définition 21: Sous-algèbre
Soit (A, +, ×, .) une K-algèbre et B ⊂ A. On dit B est une sous-algèbre de A si, et seulement, si
1. 1A ∈ B
2. ∀x, y ∈ B, ∀α, β ∈ K αx + βy ∈ B
3. ∀x, y ∈ B,
x×y ∈B
Alors munie des lois restreintes, B est une K-algèbre.
Exemple 21.
— C n (R, R) est une algèbre.
— Mn (K) est une K-algèbre
Définition 22
Soient (A, +, ×, .) et (A0 , +, ×, .) deux K-algèbres. On dit f : A → A0 est un morphisme d’algèbres si
et seulement si :
1. f (1A ) = 1A0
2. ∀x, y ∈ A, ∀α, β ∈ K f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
3. ∀x, y ∈ A,
f (x × y) = f (x) × f (y)
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