Structure d`anneau - El Amdaoui Prépas

Structure d’anneau
Dernière mise à jour 29 septembre 2015
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Plan
I. Rappels et complément ............................. 1
1. Anneau et anneau produit ........................... 1
2. Règles de calcul dans un anneau......................... 1
3. Groupes des unités ............................. 3
4. Sous-anneaux ............................... 3
5. Morphisme d’anneaux ............................ 4
6. Anneau intègre et corps ............................ 5
II. Idéaux d’un anneau commutatif ......................... 6
1. Idéaux .................................. 6
2. Idéal engendré par une partie.......................... 6
3. Divisibilité ................................ 7
III. Idéaux de Z, anneau Z/nZ........................... 8
1. Idéaux de Z................................ 8
2. L’anneau Z/nZ............................... 9
3. Indicateur d’Euler .............................. 9
IV. Arithmétique de K[X].............................11
1. Idéaux de K[X]...............................11
2. Caractérisation du PGCD et du PPCM de deux polynômes ...............11
3. Polynômes irréductibles ............................12
4. Les polynômes complexes ...........................13
5. Polynômes réels...............................14
V. Algèbre ..................................16

Éléments de cours: MP Structure d’anneau
I. Rappels et complément
1. Anneau et anneau produit
Définition 1
Soit Amuni de deux lois de composition interne notées +et ×. On dit que (A, +,×)est un anneau si,
et seulement, si
1. (A, +) est un groupe abélien, d’élément neutre noté 0A;
2. la loi ×est associative ;
3. La loi ×est distributive par rapport à l’addition ;
∀(x, y, z)∈A3:x×(y+z) = xy +xz
(y+z)×x=yx +zx
4. La loi possède un élément neutre 1A.
Cet anneau est dit commutatif quand la loi ×est commutative.
Exemple 1. Z,R,Qet Csont des anneaux commutatifs pour l’addition et la multiplication usuelles.
Exemple 2 (L’anneau des fonctions).Soit Xun ensemble non vide, K=Rou C.
KX,+,×est un anneau commutatif
— d’élément unité : 1KX:X−→ K,x7−→ 1
— élément nul : 0KX:X−→ K,x7−→ 0
Exemple 3 (L’anneau de Gauss).On définit Z[i] := a+ib |(a, b)∈Z2.
(Z[i],+,×)est un anneau commutatif
Exemple 4 (L’anneau des polynômes).(K[X],+,×)est un anneau commutatif
Exemple 5 (L’anneau des matrices carrées).(Mn(K),+,×)est un anneau non commutatif pour n>2
Exemple 6 (L’anneau des endomorphismes).Soit Eest un K-espace vectoriel de dimension fini.
(L(E),+,◦)est un anneau non commutatif si n>2
Définition 2: Produit fini d’anneaux
Soit (A1,+1,×1),··· ,(An,+n,×n)des anneaux et A=A1× ··· × An.
On définit des lois +et ×sur Aen posant
(x1,··· , xn)+(y1,··· , yn) := (x1+1y1,··· , xn+nyn)
et
(x1,··· , xn)×(y1,··· , yn) := (x1×1y1,··· , xn×nyn)
Propriété 1
L’ensemble Amuni des lois +et ×définies ci-dessus est un anneau de neutres
0A= (0A1,··· ,0An)et 1A= (1A1,··· ,1An)
De plus,
1. un élément (a1,··· , an)∈Aest inversible si, et seulement si, les a1,··· , anle sont et son inverse
est alors (a−1
1,··· , a−1
n).
2. la loi ×est commutative si les lois ×1,··· ,×nsont commutatives
2. Règles de calcul dans un anneau
Propriété 2
Soit (A, +,×)un anneau d’élément neutre 0et d’unité 1. Alors
1. Pour tout a∈A:a×0 = 0 ×a= 0
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Éléments de cours: MP Structure d’anneau
2. Pour tout a, b ∈A:(−a)×b=a×(−b) = −(a×b)
Notation (Les itérés d’un élément).Soit (A, +,×)un anneau. Soit n∈Net a∈A. On note
—na =
a+··· +a
| {z }
nfois
si n6= 0
0si n= 0
—(−n)a:= n(−a)
—an=
a× ··· × a
| {z }
nfois
si n6= 0
1si n= 0
Propriété 3: Formule de Binôme
Soit (A, +,×)un anneau et a, b deux éléments de Atels que ab =ba. Alors pour tout n∈N
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k
Preuve. Par récurrence sur n∈N
— Le résultat est vrai pour n= 0 :(a+b)0=1=C0
0a0b0
— Soit n∈N. Supposons-le vrai au rang n; on a alors :
(a+b)n+1 = (a+b).(a+b)n=a(a+b)n+b(a+b)n
=a
n
X
p=0
Cp
napbn−p+b
n
X
p=0
Cp
napbn−p
=
n
X
p=0
Cp
nap+1bn−p+
n
X
p=0
Cp
napbn−p+1
En faisant le changement de variable q=p+ 1 dans le premier terme, on obtient :
(a+b)n+1 =
n+1
X
q=1
Cq−1
naqbn−q+1 +
n
X
p=0
Cp
napbn−p+1
=an+1 +bn+1 +
n
X
q=1 Cq−1
n+Cq naqbn−q+1
Or on sait que pour tous n, m ∈Ntels que 1≤m≤n:
Cm−1
n+Cm n=Cm n+1
D’o ? :
(a+b)n+1 =an+1 +bn+1 +
n
X
q=1
+Cq
n+1aqbn−q+1 =
n+1
X
q=0
+Cq
n+1aqbn−q+1
Le résultat est donc démontré par récurrence.
Exemple 7. Element nilpotents
Propriété 4: Formule de factorisation
Soit (A, +,×)un anneau et a, b deux éléments de Atels que ab =ba. Alors pou tout n∈N
an+1 −bn+1 = (a−b)
n
X
k=0
akbn−k
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Preuve. On a (a−b)
n
X
k=0
akbn−k=a
n
X
k=0
akbn−k−b
n
X
k=0
akbn−k.
Par distributivité, on trouve : a
n
X
k=0
akbn−k=
n
X
k=0
ak+1bn−k; et par commutativité de aet b
b
n
X
k=0
akbn−k=
n
X
k=0
akbn+1−k
Il vient
(a−b)
n
X
k=0
akbn−k=
n
X
k=0
ak+1bn−k−
n
X
k=0
akbn+1−k
En faisant le changement de variable p=k+ 1 dans le premier terme, on obtient :
(a−b)
n
X
k=0
akbn−k=
n
X
p=1
apbn+1−p−
n
X
k=0
akbn+1−k=an+1 −bn+1
3. Groupes des unités
Propriété 5
Soit (A, +,×)un anneau, l’ensemble des inversibles de Aest noté U(A), cet ensemble est un groupe
multiplicatif. (U(A),×)est appelé groupe des unités de A.
Preuve. Soit aet bdes éléments inversibles de A, d’inverses a−1et b−1, alors a.b est inversible d’inverse b−1.a−1.
Donc U(A)est stable pour la multiplication.
L’associativité de la multiplication est garantie par les propriétés de l’anneau et l’existence d’un élément neutre
par le fait que 1A∈U(A)
Exemple 8. U(Z) = {−1; 1}
Exemple 9. U(K[X]) = K∗.
Solution. En effet :
Les polynômes constants non nuls sont inversibles car C∈Ktel que C6= 0 on a C×1
C= 1.
Inversement, si Pest un polynôme inversible dans K[X]et si Qdésigne son inverse, l’égalité P Q = 1 donne
deg P+ deg Q= 0 d’o ? deg P= deg Q= 0.
Exemple 10. Soit n∈N. Le groupe U(Mn(K)) = GLn(K)
Corollaire 1
Si Aest l’anneau produit
n
Y
i=1
Ai, alors
U(A) = U(A1)× ··· × U(An)
Exemple 11 (L’anneau produit Z2).Z2,+,×est un anneau commutatif o ?
(a, b)+(c, d)=(a+c, b +d)et (a, b)×(c, d)=(ac, bd)
On a
UZ2={(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)}
4. Sous-anneaux
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Définition 3
Soit (A, +,×)un anneau et Bune partie de A. On dit que Best un sous-anneau de Asi, et seulement,
si
—1A∈B
— Pour x, y ∈B,x−y∈Bet x×y∈B
Propriété 6
Une partie Bde Aest un sous-anneau de (A, +,×)si et seulement si c’est une partie contenant 1A,
stable par les opérations de Aet si, pour les restrictions de ces lois, (B, +,×)est un anneau
Exemple 12. Considérons Z[√2] = a+b√2/ a, b ∈Zet montrons que Z[√2],+,×est un anneau com-
mutatif.
Solution. On a évidemment Z√2⊂R
—1 = 1 + 0√2∈Z√2
— Pour x, y ∈Z√2, on peut écrire x=a+b√2et y=c+d√2avec a, b, c, d ∈Z.
On a x−y= (a−c)+(b−d)√2∈Z√2car a−c, b −d∈Zet xy = (ac + 2bd)+(ad +bc)√2∈Z√2.
Ainsi Z√2est un sous-anneau de (R, +,×)et donc Z√2,+,×est un anneau commutatif.
5. Morphisme d’anneaux
Définition 4
Soient A,A0deux anneaux , f:A→A0une application. On dit que fest un morphisme d’anneaux si
et seulement si ∀(x, y)∈A2:
f(x+y)=f(x) + f(y)
f(xy) = f(x)f(y)
f(1A) = 1A0
Remarque. Un morphisme d’anneaux est un morphisme de groupes
Propriété 7
La composée de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneaux.
Vacabulaire. — un endomorphisme d’anneaux Aest un morphisme de Adans A.
— un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.
— un automorphisme d’un anneaux Aest un endomorphisme d’anneaux A.
Propriété 8
Soit f:A−→ A0un morphisme d’anneaux
1. f(0) = 0
2. ∀a∈A, f(−a) = −f(a)
3. ∀a∈A, ∀n∈Z, f (na) = nf (a)
4. ∀a∈A, ∀n∈N, f (an) = f(a)n
5. ∀a∈U(A), on a f(a)∈U(A)et f(a)−1=fa−1
Définition 5
Soit f:A−→ A0un morphisme d’anneaux.
On appelle image et noyau du morphisme fles ensembles
Im (f) = f(A)et Ker (f) = f−1({0A0})
Remarque. Ce sont en fait les images et noyaux de fen tant que morphisme de groupes additifs.
Propriété 9
f:A−→ A0un morphisme d’anneaux. Alors
1. fest injective si, et seulement si, Kerf={0A}.
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