Les parallelogrammes
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LES PARALLÉLOGRAMMES I] PROPRIÉTÉS DU PARALLELOGRAMME 1)Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Exemple: Construire le parallélogramme ABCD 2) Propriétés du parallélogramme Sur le dessin précédent, construire les deux diagonales. Que peut-on dire sur le point d’intersection de ces diagonales? Dans un parallélogramme, il y a un centre de symétrie: le point d’intersection de ses diagonales. En déduire toutes les propriétés du parallélogramme. Comme E est le centre de symétrie alors les segments [AB] et [CD] sont symétriques et donc de même longueur. De même AD=BC D’où la propriété Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont égaux. Comme E est le centre de symétrie alors le point A est le symétrique du point C et E est le milieu de [AC] De même le point E est le milieu de [BD] D’où la propriété Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les diagonales se coupent en leur milieu. Comme E est le centre de symétrie alors les angles DAB et BCD sont symétriques et donc de même mesure. De même ADC=ABC D’où la propriété Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont égaux. L’angle ABC et l’angle BCD sont supplémentaires D’où la propriété Si un quadrilatère est un parallélogramme alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. II]Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme 1) Les propriétés Prop1: Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Prop2: Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Prop3: Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 2) Comment faire une démonstration de géométrie. Exemple: Tracer un triangle GAR. Construire la droite (d) parallèle à la droite (GA) passant par le point R. Placer sur la droite (d), le point E tel que RE=GA et tel que le quadrilatère GARE soit non croisé. Démontrer que le quadrilatère GARE est un parallélogramme. (d) (d) 4 étapes: 1° étape: (Les hypothèses. On les trouve dans le texte ou sur le dessin (codages).) Les hypothèses: GAR triangle GARE est un quadrilatère (d) Parallèle à (GA) passant par R E appartient à (d) et RE=GA 2 ° étape: (Sélectionner les données utiles. Pour cela on va choisir la propriété que l’on va utiliser. Ici la prop3) Données utiles: GARE quadrilatère, (RE) parallèle à (GA) et RE=GA 3° étape: (On cite la propriété utilisée.) Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 4° étape: Conclusion: GARE est un parallélogramme.
