ANNALES DE LI. H. P., SECTION B
JEAN BRETAGNOLLE
DIDIERDACUNHA CASTELLE
JEAN-LOUIS KRIVINE
LoisstablesetespacesLp
Annales de l’I. H. P., section B, tome 2, no3 (1966), p. 231-259.
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231
Lois
stables
et
espaces
Lp
Jean
BRETAGNOLLE,
Didier
DACUNHA
CASTELLE
et
Jean-Louis
KRIVINE
Ann.
Inst.
Henri
Poincaré,
Vol.
II,
3,
1966,
p.
-259.
Section
B :
.
Calcul
des
Probabilités
et
Statistique.
I.
-
INTRODUCTION
Dans
cet
article,
nous
nous
proposons
d’étudier
les
fonctions
de
type
positif
(et
négatif)
sur
les
espaces
de
la
forme
Lp(E,
{i),
ainsi
que
certaines
classes
de
fonctions
aléatoires.
Rappelons
d’abord
les
définitions
et
résultats
suivants
dus
à
Schoen-
berg
[1].
T
étant
un
ensemble
quelconque,
une
application
f
de
T
x
T
dans
R
est
dite
de
type
positif
sur
T
si
Une
application C
de
T
X
T
dans
R
est
dite
de
type
négatif
si
~
est
donc
positive.
232
JEAN
BRETAGNOLLE,
DIDIER
DACUNHA
CASTELLE
ET
JEAN-LOUIS
KRIVINE
Les
propriétés
suivantes
sont
équivalentes :
10 1>
est
de
type
négatif;
est
de
type
positif,
VX
>
0,
O(t,
t)
=
0,
Vt
e T;
30
est
une
distance
hilbertienne,
c’est-à-dire
que
(T,
est
un
espace
métrique
isomorphe
à
une
partie
d’un
espace
de
Hilbert.
Enfin,
si
~
est
de
type
négatif,
si (Jo
est
une
mesure
positive
sur
R+,
telle
que ~0
1
n x 1
alors J o
1 x
est
de
type
négatif;
en
particulier
l>0t
est
de
type
négatif
si
0
ex.
1.
Dans
l’article
[1]
Schoenberg
a
caractérisé
les
fonctions
conti-
nues
f :
R+ -
R,
telles
D
soit
de
type
positif
sur
un
espace
de
Hilbert
de
dimension
infinie.
Dans
la
partie
1
nous
étudions
ce
problème
pour
les
espaces
LP(E,
y)
de
dimension
infinie,
0
p
oo
(théorème
I).
Dans
la
partie
II,
nous
montrons
qu’un
espace
normé
Z
est
un
sous-
espace
d’un
espace
LP(E,
y)
si
et
seulement
si
est
de
type
négatif
sur
Z
(avec
1
p
2).
Dans
la
partie
III
nous
étudions
d’abord
la
forme
générale
des
fonctions
aléatoires
stables
sur
un
ensemble
T,
puis
sur
R.
Nous
terminons
par
une
généralisation
du
théorème
de
Paul
Lévy
concer-
nant
le
déterminisme
de
la
fonction
brownienne
sur
l’espace
de
Hilbert
[2].
PREMIÈRE
PARTIE
FONCTIONS
DE
TYPE
POSITIF
SUR
Lp(E,
~)0
THÉORÈME
1.
- Soit
(E,
y)
un
espace
mesuré
tel
que
LP(E,
soit
de
dimen-
sion
infinie
(0
p
oo).
Pour
que
/(11
x - y
soit
de
type
positif
sur
Lp(E,
y),
f
étant
une
fonction
continue :
R+ -~
R
telle
que
/(0)
=
1 ,
il
faut
et
il
suffit
que
f(x)
=
si
p
2,
a
étant
une
probabilité
sur
R+.
0
Pour
que
F(||
x -
y
||p)
soit
de
type
négatif
sur
Lp(E,
),
F
étant
une
233
LOIS
STABLES
ET
ESPACES
LP
fonction
continue :
R+ -~
R+
telle
que
F(0)
=
0,
il
faut
et
il
suffit
que
^
03C4 (du)
si
2
T
étant
une
mesure
>
0
sur
0
0o
telle
( )
o
u
(
)
p 2,03C4 étant une mesure 0 sur
[0, ~
[
que ~0
1
n -
T(du)
oo.
o
Î
u
La
condition
est
suffzsante :
on
suppose
p
2.
Comme
(x -
y)2
est
de
type
négatif
sur
R
(c’est
le
carré
d’une
distance
hilbertienne)|
x -
y|
p
l’est
aussi.
On
en
déduit
que
~[
x -
y
~)
p
est
de
type
négatif
sur
L p(E,
~.) :
si
avec
on
a
Donc
2014201420142014201420142014
est
aussi
de
type
négatif
sur
)
et
est
de
type
positif
pour
chaque
M ~
0
donc
aussi
La
condition
est
nécessaire :
comme
Lp(E,
y)
est
de dimension
infinie
il
contient
un
sous-espace
V
qui
est
isomorphe
à
lP
=
Lp(N)
en
tant
qu’espace
normé :
on
peut
en
effet
choisir
une
suite
An
(n
=
1, 2,
... )
de
sous-ensem-
bles
disjoints
non
négligeables
de
E,
et
on
définit
une
isométrie
J
de
/~
dans
LP(E,
y)
en
posant
00
,
00
.
pour
toute
suite
~i,
...,
~
...
de
nombres
réels
telle
que
"~ )
~ ~
oo
f=i
(1~.
désigne
la
fonction
caractéristique
de
l’ensemble
A~).
On
voit
donc
qu’il
suffit
de
démontrer
le
théorème
pour
!!p)
ANN.
INST.
POINCARÉ,
B-!-3
16
234
JEAN
BRETAGNOLLE,
DIDIER
DACUNHA
CASTELLE
ET
JEAN-LOUIS
KRIVINE
(resp.
IIp))
est
de
type
positif
(resp.
négatif)
sur
LP(E,
{i),
elle
est
de
type
positif
(resp.
négatif)
sur
V
donc
sur
lp.
On
suppose
donc
dans
la
suite
que
E
=
{
1,
2,
...,
n,
...
}, (Jo
étant
la
masse
unité
sur
chaque
entier.
Soit f une
fonction
continue
de
R+
dans
R
telle
soit
de
type
positif
sur
lp,
avec/(0)
=
1.
On
pose
1
1
B
Alors
On
est
une
fonction
de
type
positif
sur
Rn
telle
que
0,
...,
0)
=
1
donc
c’est
la
transformée
de
Fourier
d’une
probabilité
Pn
sur
Rn;
comme
...,
~n,
0) =
...,
~),
les
Pn
sont
compatibles
et
il
existe
d’après
le
théorème
de
Kolmogoroff,
une
suite
Xi,
...,
Xn,
...
de
variables
aléatoires
réelles,
sur
un
espace
de
probabilité
(0,
A,
P)
telle
que
D’après
sa
définition
est
une
fonction
symétrique
des
varia-
bles
~1,
...,
En.
L’égalité
ci-dessus
montre
donc
que
la
suite
(Xl)
est
en
dépen-
dance
symétrique.
Il
existe
donc
(cf.
[4],
p.
136)
une
03C3-algèbre B ~ A
par
rapport
à
laquelle
les
Xi
soient
conditionnellement
indépendantes
et
équi-
distribuées
(c’est
la
a-algèbre
des
événements
dépendant
«
symétrique-
ment »
des
XJ.
Désignons
par
P(co,
dx)
une
probabilité
conditionnelle
régulière
pour
Xi
par
rapport
à B
(sur
l’existence
d’une
telle
probabilité
voir
[9],
p.
361).
On
a
alors :
pour
chaque
entier r
>
0
(la
première
égalité
exprime
le
fait
que
Xr
et
Xi
sont
conditionnellement
équidistribuées
par
rapport
à
93) ;
est
donc
presque
sûrement
une
fonction
caractéristique.
Comme
Xi,
...,
Xn
sont
condition-
nellement
indépendantes
par
rapport
à
93,
on
a :
En
prenant
l’espérance
des
deux
membres
on
trouve :
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