Chapitre 8 : LES TRIANGLES SEMBLABLES I

Chapitre 8 : LES TRIANGLES SEMBLABLES
I- Triangles égaux
Définition : Des triangles égaux sont des triangles superposables, c'est à
dire qui ont des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à
deux de même mesure.
Vocabulaire : lorsque deux
triangles sont égaux, deux angles
superposables sont dits
homologues ainsi que leurs
sommets, deux côtés
superposables sont dits côtés
homologues.
II- Cas d'égalité des triangles
Premier cas : Si deux triangles ont un côté
de même longueur et des angles adjacents
à ce côté deux à deux de même mesure,
alors ces triangles sont égaux.
A'B' = AB et
̂
A'B'C'
=
̂
ABC
et
̂
B'A'C'
=
̂
BAC
DONC, d'après le 1er cas d'égalité des triangles, les triangles A'B'C' et ABC sont
égaux.
Deuxième cas : Si deux triangles ont un
angle de même mesure compris entre des
côtés deux à deux de même longueur,
alors ces triangles sont égaux.
̂
HFG
=
̂
BCA
et HF = BC et FG = AC
DONC, d'après le 2ème cas d'égalité des triangles, les triangles FHG et ABC sont
égaux.

Troisième cas : Si deux triangles ont
leurs côtés deux à deux de même
longueur, alors ces triangles sont égaux.
•A'B' = AB
•B'C' = BC
•A'C' = AC
DONC, d'après le 3ème cas d'égalité des triangles, les triangles FHG et ABC sont
égaux.
III- Triangles semblables par les angles
Définition : Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles
deux à deux de même mesure.
Propriété (admise) : Si deux triangles ont deux angles deux à deux de
même mesure, alors ces triangles sont semblables.
Vocabulaire : on peut prolonger les définitions d'angles, sommets et côtés
homologues pour les triangles semblables.

IV- Triangles semblables par les longueurs
Propriété 1 : Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de
leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Ces triangles ABC et DEF sont semblables.
Les longueurs de leurs côtés homologues sont deux
à deux proportionnelles :
AB
ED
=
AC
DF
=
BC
EF
Propriété 2 : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux
proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
Exemples :
7,08
5,9
= 1,2
4,14
3,45
= 1,2
6,24
5,2
= 1,2
Donc les triangles ABC et DEF sont semblables.
Donc
̂
ABC
=
̂
DEF
et
̂
CAB
=
̂
FDE
et
̂
BCA
=
̂
AFD
DEF est un agrandissement de rapport 1,2 du triangle ABC.
V- APPLICATION
ABC est un triangle tel que AB = 4 cm et AC = 5 cm et
̂
BAC
= 110°
D est le point de [BC] tel que CD = 3 cm.
E est le point de [AC] tel que
̂
CDE
=
̂
BAC
.
1) Démontrer que les triangles ABC et CDE sont semblables.
2) Indiquer les sommets et les côtés homologues.
3) Calculer la longueur ED.

Réponse :
1) On sait que
̂
CDE
=
̂
BAC
= 110° et
̂
ECD
=
̂
ABC
(même angle).
Or, Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces
triangles sont semblables.
Donc ABC et CDE sont semblables.
2)
Sommets homologues Côtés homologues
A et D [CB] et [CE]
C et C [AB] et [DE]
B et E [AC] et [DC]
3) Calcul de DE
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues
sont proportionnelles, donc :
CB
CE
=
AB
DE
=
AC
DC
donc
4
DE
=
5
3
donc 5 × DE = 4 × 3
DE =
4×3
5
donc DE = 2,4 cm