5. Comparaisons Statistiques

5. Comparaisons Statistiques
Test d'hypothèse (Neyman et Pearson)
état réalisé
ℋ0 est réalisée
ℋ1 est réalisée
ℋ0 est vraie
jugement correct (1-α)
jugement faux (β, erreur de 2e espèce )
jugement porté
ℋ1 est vraie jugement faux (α, erreur de 1ère espèce )
jugement correct (1-β)
La région d'acceptation de l'hypothèse ℋ0 est l'intervalle tel que pour α donné, β soit minimal.
1 - β est appelé la puissance du test.
Dans le présent document on présente les tests de conformité à un standard (sur une moyenne ou une variance) et les
tests de comparaisons (de moyennes ou variances). Les valeurs testées sont calculées à partir d’un échantillon.
Comparaison de la moyenne d'une population normale (de variance connue) à une valeur donnée
M - μ0
ℋ0 : μ = μ0 ⟹
m-μ0
On calcule u =
. La région d’acceptation est l’intervalle [-uα/2 , uα/2 ] formé des quantiles
n
σ
~ -(0, 1) .
n
σ
α
2
et 1- 2 de la loi normale
α
centrée réduite pour le risque α choisi. Si u ∉ [-uα/2 , uα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la
rejeter.
Comparaison de la variance d'une population normale à une valeur donnée
n S2
σ0 2
ℋ0 : σ = σ0 2 ⟹
s2
n
σ0 2
On calcule
~ χ2 (n - 1).
∑∞
i=1 (Xi -M)
σ0 2
=
. La région d’acceptation est l’intervalle  χ21 , χ22  formé des quantiles
degrés de liberté pour le risque α choisi. Si
rejeter.
n s2
σ0 2
α
2
et 1- 2 de la loi du χ2 à (n - 1)
α
∉  χ21 , χ22 , on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la
Comparaison de la moyenne d'une population normale (de variance inconnue) à une valeur donnée
M - μ0
ℋ0 : μ = μ0 ⟹
On calcule t =
S
m-μ0
s
~ 7(n - 1) .
n-1
n-1
. La région d’acceptation est l’intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles
α
2
et 1- 2 de la loi de Student
α
de degré (n - 1) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la
rejeter.
Test des appariements (comparaison des moyennes de deux populations appariées)
D
Soit D = Y - X, H0 : 8(D) = 0 ⟹
On calcule t =
d
sD 
sD 
n-1
~ 7(n - 1).
. La région d’acceptation est l'intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles
n-1
α
2
et 1- 2 de la loi de
α
Student de degré (n - 1) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne
peut pas la rejeter.
Comparaison sur échantillons des variances de 2 populations normales
ℋ0 : σ1 2 = σ2 2 = σ2 ⟹
On calcule f =
n1 S1 2  (n1 - 1)
n2 S2 2  (n2 - 1)
n1 s1 2  (n1 - 1)
n2 s2 2  (n2 - 1)
~ ℱ(n1 - 1, n2 - 1).
. La région d’acceptation est l’intervalle [f1 , f2 ] formé des quantiles de la loi de Snedecor à n1 - 1
et n2 - 1 degrés de liberté pour le risque α choisi. Si f ∉ [-f1 , f2 ] on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut
pas rejeter l'hypothèse d'égalité des variances. Dans ce dernier cas, on retient une variance commune égale à
n S 2 +n S 2
2
σ* = 1 n 1+ n -2 2 2 .
1
2
Comparaison sur échantillons des moyennes de 2 populations normales (le test d'égalité des variances étant déjà
réalisé)
M1 - M2
ℋ0 : μ1 = μ2 = μ ⟹
2
n1 S1 + n2 S2 2
n1 + n2 - 2
m1 - m2
On calcule t =
σ*
1
n1
+

~ 7(n1 + n2 - 2).
1
n1
+
1
n2

. La région d’acceptation est l’intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles
1
α
2
et 1- 2 de la loi de
α
n2
Student de degré (n1 + n2 - 2) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on
ne peut pas.
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