Remarque : X prenant des valeurs entières : donc
P (a ≤ X ≤ b ) = P (X ≤ b ) − P (X ≤ a – 1 )
on déduit de la définition que :
P (X ≤ a – 1 ) ≤ 0, 025
– P (X ≤ a – 1 ) ≥ − 0, 025
donc P (a ≤ X ≤ b ) ≥ 0,975 – 0,025
soit P (a ≤ X ≤ b ) ≥ 0,95 = 95 %
III. Prise de décision
Si f
[ a
n ; b
n ] , alors on ne peut pas rejeter l’hypothèse selon laquelle la proportion du caractère est
égale à p.
Si f
[ a
n ; b
n ] , alors on rejette cette hypothèse au risque d’erreur de 5%
(ce qui veut dire que la probabilité de rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie est inférieure à 5%)
Point-méthode 30 : Prendre une décision avec un intervalle de fluctuation
Un candidat à une prochaine élection pense que 54% des électeurs lui apporteront leur voix.
1. Un sondage réalisé auprès de 100 électeurs (le choix des électeurs est assimilé à un tirage au
hasard et avec remise) et on note f la fréquence, dans cet échantillon, des personnes qui
voteront pour le candidat.
On observe que, sur les 100 électeurs interrogés, 45 déclarent voter pour le candidat.
Considère-t-on alors l’affirmation du candidat exacte ou non ?
2. Un autre sondage est réalisé par son concurrent, auprès de 200 électeurs. On observe alors
que, sur les 200 électeurs interrogés, 90 déclarent voter pour le candidat. Considère-t-on alors
l’affirmation du candidat exacte ou non ?
Solution :
1.
- On identifie les différentes valeurs :
- On commence par définir une variable aléatoire, et donner les paramètres de la loi binomiale
qu’elle suit :
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre d’électeur allant voter pour le candidat parmi les 100.
On répète alors 100 fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli (demander son
opinion à un électeur), dont la probabilité de succès (l’électeur vote pour le candidat) est 0,54.
Alors X~b(100 ;0,54)
- On va réaliser à la calculatrice, l’ensemble des calculs de P(X≤ k) pour k allant de 0 à 100.
Dans f ( x ) : Y1 = BinomFRep(n ,p ,X) ici Y1 = BinomFRep(100,0.54,X)
p