énoncé

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT
PROBLÈME I
DE LA TERRE A LA LUNE
Une odyssée problématique de l’espace
Certaines affirmations des œuvres de JULES VERNE traduisent de façon romanesque des
données scientifiques, ou des hypothèses d’une grande modernité. Dans cette épreuve, on
s’intéresse à quelques-unes des péripéties du roman De la Terre à la Lune où, à l’initiative de son
président BARBICANE, se forge et se réalise au sein du Gun Club de Baltimore le projet d’envoyer
un objet sur la Lune, à l’aide d’un canon. L’épreuve comprend plusieurs parties indépendantes les
unes des autres, et que l’on pourra traiter dans l’ordre de son choix.
Dans tout le problème, on néglige la rotation propre de la Terre et celle de la Lune. La Lune
est supposée suivre une orbite circulaire autour du centre de la Terre.
Principales notations et valeurs numériques (voir d’autres valeurs en fin d’énoncé)
Rayon de l’orbite de la Lune autour du centre de la Terre d = 384000 km.
Intensité du champ de pesanteur terrestre
g = 9,81m⋅s–2.
Constante de gravitation
G = 6,67×10-11 N⋅m2⋅.kg–2.
Masse de la Terre
MT = 5,97×1024 kg.
Masse de la Lune
Rayon de la Terre
Rayon de la Lune

m
1
m = 0,0735×1024 kg  on adoptera la valeur
= ε2 =  .
81 
MT

RT = 6378 km.
r = 1736,6 km.
Dans la suite du problème, on pourra introduire les périodes de révolution TT ( ℓ ) dans le
champ gravitationnel de la Terre, à la distance ℓ du centre de la Terre et TL ( z ) période de révolution dans le champ gravitationnel de la Lune, à la distance z du centre de la Lune.
A. Préliminaires
I-1-a) Exprimer g en fonction de G, MT et RT.
b) Exprimer TT ( d ) , période du mouvement lunaire autour de la Terre en fonction de
G, MT et d puis en fonction de g, RT et RT/d. Calculer TT ( d ) .
B. En négligeant la gravitation lunaire
Dans cette partie, on néglige l’attraction lunaire. Un boulet de masse µ est envoyé de la surdx ( t )
face terrestre vers l’espace. On note x ( t ) sa distance au centre de la Terre et v ( t ) =
sa vidt
tesse. Le boulet est lancé à la verticale ; on suppose la trajectoire rectiligne et le boulet soumis uniquement à l’attraction terrestre.
I-2) Exprimer l’énergie mécanique totale du boulet en fonction de g, x et RT.
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I-3) Exprimer et calculer en fonction de g et de RT la vitesse de libération V∞, vitesse initiale
minimale nécessaire pour atteindre l’infini.
I-4) Exprimer et calculer en fonction de g, RT et D la vitesse initiale minimale V ( D ) nécessaire pour atteindre un point D situé à la distance D du centre de la Terre. Vérifier le résultat pour
D = RT et pour D infini.
I-5-a) Exprimer la conservation de l’énergie mécanique du boulet avec la condition initiale
v ( 0 ) = V ( D ) sous la forme d’une équation différentielle en x ( t ) .
b) Poser dans cette équation x ( t ) = D sin 2 ψ ( t )  et en déduire la durée dt nécessaire pour que ψ varie de dψ, en fonction de TT ( D ) et sin 2 ψ ( t )  .
c) Exprimer la valeur initiale ψ 0 = ψ ( 0 ) en fonction de RT et de D.
d)
Dans
la
suite,
on
utilisera
la
fonction
1
χ ( ψ ) = ψ − sin ( 2ψ )
2
TT ( D )
2 3


χ ( ψ ) − χ ( ψ 0 )  .
 telle que χ ( ψ ) ≈ ψ pour ψ ≪ π  . Montrer que t =
3
2π 2


e) Exprimer, en fonction de ψ0 et de TT ( D ) le temps τ ( D ) mis pour atteindre le
point D.
I-7) La destination du boulet a beau être la surface lunaire, on lance ce dernier avec la vitesse initiale V ( d ) comme si on voulait lui faire atteindre le centre de la Lune avec une vitesse
nulle.
a) En utilisant la méthode précédente, on peut établir alors l’expression approchée
1/ 2
3/ 2
TT ( d )  4  r 
4  RT  
suivante de la durée τ1 du trajet : τ1 =
1 −   −    . Calculer τ1 en jours.
3π  d  
4 2  π  d 
b) Donner une expression approchée en fonction de r/d de la vitesse du boulet au
point d’impact sur la Lune et calculer sa valeur.
I-8) Il n’est évidemment pas question de pointer le canon vers la Lune ! En s’appuyant sur la
question 7, exprimer et calculer l’angle θ1 que doit faire, au moment du tir, l’axe Terre-Lune avec la
ligne de tir, supposée verticale. JULES VERNE donne θ1 = 64°.
C. Avec la gravitation lunaire
RT
P
OT
E
r
m
x
MT
OL
ξ
d
fig. 1 : notations pour le système Terre-Lune
I-9) Exprimer et calculer en fonction de d, MT et de la masse m de la Lune, la position du
point d’équigravité E situé sur l’axe Terre-Lune (fig. 1). On note ξ sa distance au centre de la Terre.
Montrer que, si le boulet atteint ce point, il atteint la Lune. BARBICANE considère que ce point est un
point d’équilibre du système Terre-Lune ; est-ce vrai, du point de vue dynamique ?
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I-10) On veut une expression de la vitesse V ( ξ ) , tenant compte de l’attraction lunaire, et
donc plus précise que celle que l’on obtiendrait, à la question 4, pour D = ξ. BARBICANE affirme :
Avant une demi-heure, je veux avoir trouvé la formule demandée…
a) Effectivement, il propose peu après la formule suivante, donnant la vitesse v à la
distance x du centre de la Terre, pour une vitesse initiale v0 :






R
RT
RT
1 2
m
−
v − v0 2 ) = gRT  T − 1 +
(


2
M T  d − x d − RT  
 x


ε2
Le résultat de BARBICANE est-il correct ? L’ingénieur NICHOLL l’identifie comme
« l’intégrale de l’équation des forces vives ». Donner une interprétation plus moderne, indiquant
l’ordre de grandeur de chacun des termes.
b) Exprimer et calculer V ( ξ ) nécessaire pour atteindre le point d’équigravité.
D. Résistance de l’air
Un modèle fruste
I-11) On néglige la pesanteur terrestre. On note Y (Y = 20 km) l’épaisseur de l’atmosphère, µ
(µ = 104 kg) la masse du boulet, v0 sa vitesse initiale, VY sa vitesse au sommet de l’atmosphère et
R = − k v v (k = 0,1 kg⋅m–1) la force de résistance de l’air. Cette force est opposée à la vitesse et sa
norme est R = kv2. Exprimer et calculer le rapport VY/v0. Comparer votre résultat à celui de
BARBICANE, VY/v0 =2/3. Était-il cohérent de négliger la pesanteur ?
Un modèle moins fruste
La résistance de l’air dépend de la densité de ce dernier et par suite de l’altitude y au-dessus
de la surface terrestre. Selon un modèle standard d’atmosphère, la masse volumique de l’air suit la
loi ϖ ( y ) = ϖ ( y ) exp ( − qy ) .
Nous adopterons l’expression R = Av 2 exp ( − qy ) , avec A = 0,6 kg⋅m–1 (correspondant à la
masse volumique au sol ϖ ( 0 ) = 1,255 kg⋅m–3) et q = 1,4×10–4 m–1. Pour le calcul de VY, on continue de négliger la pesanteur.
I-12) Exprimer la vitesse du boulet en fonction de y. Quelle doit être la vitesse à la sortie du
canon pour que le boulet atteigne la vitesse de libération V∞ (cf. question 3) à la sortie de
l’atmosphère terrestre ?
PROBLÈME II
CHUTE D’UN POINT MATERIEL DANS UN FLUIDE
Ce problème étudie le mouvement d’un point matériel se déplaçant dans un fluide.
Soit R un premier référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct d’axes
Ox, Oy, Oz. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés e x , e y et e z . Ce repère lié à la
Terre est considéré comme fixe. L’axe Oz est vertical ascendant, l’accélération due à la pesanteur
sera notée g = − g e z . Soit R’ un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct
d’axes Ox’, Oy’, Oz’. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés e x ' , e y ' et e z ' . Ce second référentiel effectue un mouvement de rotation uniforme relativement à R. Les axes Oz et Oz’
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coïncident et l’on posera e x , e x ' = ωt où ω, la vitesse de rotation, est supposée constante (voir
(
)
figures 3a et b). Un récipient lié à R’, figuré en pointillés, renferme un volume fluide supposé au
repos relativement à R’, la masse volumique du fluide étant notée ρ.
Une particule pesante, de masse m et de masse volumique ρS se déplace au sein du fluide
y’
z
y
O
g
P
p
y’
O
y
x’
p
ωt
x
x
x’
Figure 3a : vue dans l’espace
Figure 3b : projection dans le plan horizontal
sous l’action de son poids ainsi que d’une force F (et par la suite d’une force supplémentaire). On
ρ
ρ
suppose que la force F s’écrit sous la forme F = − kOp + mg e z , avec k = mω2 une constante
ρS
ρS
positive et p la projection du point P sur le plan horizontal (cette force est la résultante des forces de
ρ
pression s’exerçant sur la particule. Par la suite, seul le cas
> 1 sera considérée. On repère la
ρS
position de P par ses coordonnées x, y, z (relativement à R) ou x’, y’, z’ (relativement à R’).
II-1) Établir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un observateur de R,
c’est-à-dire pour les variables x, y et z, fonctions du temps (équations I, II et III). Donner la solution
générale des équations différentielles I et II et préciser la nature de la trajectoire du point p, trajectoire vue dans R.
II-2) Étude de quelques cas particuliers
a) Dans le cas des conditions initiales suivantes :
x ( 0 ) = x0 ,
dx
dy
k
= 0 , y ( 0) = 0 ,
= x0
,
dt t =0
dt t = 0
m
préciser la nature de la trajectoire du point p (trajectoire dans R) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette courbe. Indiquer la nature de cette même trajectoire vue de R’ ainsi que
la vitesse angulaire de parcours.
b) Pour les conditions initiales suivantes :
x ( 0 ) = x0 ,
dx
dy
= u0 , y ( 0 ) = 0 ,
= 0,
dt t =0
dt t =0
établir les solutions de I et II ; préciser la nature de la trajectoire vue de R.
II-3) À partir de maintenant, on va tenir compte d’une force supplémentaire F V , trouvant
son origine dans la viscosité du fluide. Cette force s’écrit F V = − µv R ' où µ désigne une constante
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positive et v R ' la vitesse de P par rapport à R’. On va maintenant déterminer les équations différentielles du mouvement pour un observateur de R’, c’est-à-dire pour les variables x’, y’ et z’, fonctions du temps.
a) Exprimer, suivant e x ' , e y ' et e z ' , les vecteurs a R ' , a C , a E , respectivement accélération dans R’, de Coriolis et d’entraînement du point P.
b) Établir les équations différentielles du mouvement pour x’ et y’ (équations IV et
V).
c) Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en supposant l’accélération de Coriolis négligeable devant l’accélération d’entraînement. Établir les exk
pressions de x’ et y’ en fonction du temps. Pour simplifier l’écriture, on pourra poser Ω =
− ω2
m
µ
et
= λ , cette dernière quantité étant supposée inférieure à Ω.
2m
d) Pour t→+∞, quelle est la position de p ?
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