Quelques structures de Poisson et équations de Lax associées au

THESE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS
UFR des sciences fondamentales et appliquées
Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers)
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM
Secteur de recherche : Mathématiques et leurs applications
Présentée par :
Caroline Lemarié
Quelques structures de Poisson et équations de Lax
associées au réseau de Toeplitz et au réseau de Schur
Directeur(s) de Thèse :
Pol Vanhaecke
Soutenue le 06 novembre 2012 devant le jury
Jury :
Président Camille Laurent-Gengoux Professeur des Universités - Université de Lorraine, Metz
Rapporteur Marco Pedroni Professore - Università degli studi, Bergamo
Rapporteur Lubomir Gavrilov Professeur - Université Paul Sabatier de Toulouse
Membre Pol Vanhaecke Professeur des Universités - Université de Poitiers
Membre Amine El Gradechi Maître de conférence - Université d'Artois, Lens
Pour citer cette thèse :
Caroline Lemarié. Quelques structures de Poisson et équations de Lax associées au réseau de Toeplitz et au réseau
de Schur [En ligne]. Thèse Mathématiques et leurs applications . Poitiers : Université de Poitiers, 2012. Disponible
sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

THÈSE
pour l’obtention du Grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE POITIERS
(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)
Diplôme National - Arrêté du 7août 2006
École Doctorale : Sciences et Ingénierie pour l’Information, Mathématiques
Secteur de Recherche : Mathématiques et leurs Intéractions
Présentée par :
Caroline Lemarié
Quelques structures de Poisson et équations de Lax associées
au réseau de Toeplitz et au réseau de Schur
Directeur de thèse : Pol VANHAECKE
Soutenue le 6novembre 2012
devant la Commission d’Examen
JURY
L. GAVRILOV Professeur, Université Paul Sabatier Rapporteur
M. PEDRONI Professeur, Università di Bergamo Rapporteur
A. EL GRADECHI Maître de Conférences, Université d’Artois Examinateur
C. LAURENT-GENGOUX Professeur, Université de Lorraine Examinateur
P. VANHAECKE Professeur, Université de Poitiers Directeur

Résumé / Abstract
Titre Quelques structures de Poisson et équations de Lax associées au réseau
de Toeplitz et au réseau de Schur
Résumé Le réseau de Toeplitz est un système hamiltonien dont la structure de
Poisson est connue. Dans cette thèse, nous donnons l’origine de cette structure de
Poisson et nous en déduisons des équations de Lax associées au réseau de Toeplitz.
Nous construisons tout d’abord une sous-variété de Poisson Hnde GLn(C), ce
dernier étant vu comme un groupe de Lie-Poisson réel ou complexe dont la structure
de Poisson provient d’un R-crochet quadratique sur gln(C)pour une R-matrice
fixée. L’existence d’hamiltoniens associés au réseau de Toeplitz pour la structure de
Poisson sur Hnainsi que les propriétés du R-crochet quadratique permettent alors
d’expliciter des équations de Lax du système. On en déduit alors l’intégrabilité
au sens de Liouville du réseau de Toeplitz. Dans le point de vue réel, nous pouvons
ensuite construire une sous-variété de Poisson Hα
ndu groupe Unqui est lui-même une
sous-variété de Poisson-Dirac de GLR
n(C). Nous construisons alors un hamiltonien,
pour la structure de Poisson induite sur Hα
n, correspondant à un autre système
déduit du réseau de Toeplitz : le réseau de Schur modifié. Grâce aux propriétés
des sous-variétés de Poisson-Dirac, nous explicitons une équation de Lax pour ce
nouveau système et nous en déduisons une équation de Lax pour le réseau de Schur.
On en déduit également l’intégrabilité au sens de Liouville du réseau de Schur
modifié.
Mots-clefs Réseau de Toeplitz, Géométrie de Poisson, Algèbre de Lie, Groupe
de Lie, R-matrices, Systèmes Intégrables
Title Some Poisson structures and Lax equations associated with the Toeplitz
lattice and the Schur lattice
Abstract The Toeplitz lattice is a Hamiltonian system whose Poisson structure
is known. In this thesis, we reveil the origins of this Poisson structure and we derive
from it the associated Lax equations for this lattice. We first construct a Poisson
subvariety Hnof GLn(C), which we view as a real or complex Poisson-Lie group
whose Poisson structure comes from a quadratic R-bracket on gln(C)for a fixed
R-matrix. The existence of Hamiltonians, associated to the Toeplitz lattice for the
Poisson structure on Hn, combined with the properties of the quadratic R-bracket
allow us to give explicit formulas for the Lax equation. Then, we derive from it the
integrability in the sense of Liouville of the Toeplitz lattice. When we view the lattice
as being defined over R, we can construct a Poisson subvariety Hα
nof Unwhich is
itself a Poisson-Dirac subvariety of GLR
n(C). We then construct a Hamiltonian for
the Poisson structure induced on Hα
n, corresponding to another system which derives
from the Toeplitz lattice : the modified Schur lattice. Thanks to the properties of
Poisson-Dirac subvarieties, we give an explicit Lax equation for the new system and
derive from it a Lax equation for the Schur lattice. We also deduce the integrability
in the sense of Liouville of the modified Schur lattice.
Keywords Toeplitz lattice, Poisson Geometry, Lie Algebra, Lie Group, R-
matrices, Integrable Systems