Résumé du cours

Analyse Complexe
Contents
1 Dérivabilité complexe 2
2 Applications conformes 2
3 Convergence des suites et des séries de fonctions 2
4 Séries entières 3
5 Fonctions holomorphes usuelles 4
6 Intégrales curvilignes 5
7 Théorème et formule intégrale de Cauchy 6
8 Théorèmes sur les fonctions holomorphes I 8
9 Théorèmes sur les fonctions holomorphes II 8
10 Singularités isolées et séries de Laurent 9
11 Théorie des résidus I 9
12 Théorie des résidus II 11
1

1 Dérivabilité complexe
Fonction C-différentiable en un point.
Equations de Cauchy-Riemann.
Lemme 1.1. Soit T:C→Cune application R-linéaire représentée par la matrice
a b
c d 
par rapport à la base (1, i). Alors Test C-linéaire ssi a=det b=−c.
Fonction holomorphe, domaine.
Règles de différentiation.
Proposition 1.2. Une fonction f:U→Cest localement constante ssi f est holomor-
phe et sa dérivée complexe s’annule en tout point de U.
Corollaire 1.3. Une fonction f:D→Cdéfinie sur un domaine Dest constante ssi
f est holomorphe et sa dérivée complexe s’annule en tout point de D.
2 Applications conformes
Applications R-linéaires conformes (directes et indirectes), applications conformes,
fonctions anti-holomorphes, application biholomorphe, automorphisme holomorphe,
Aut(U).
Lemme 2.1. T∈End(R2)est une application conforme si et seulement si ∃λ∈R∗
+,
∃S∈O(2,R)tels que T=λS.
Proposition 2.2. Soit T:C→Cune application R-linéaire conforme. Alors soit:
Test directe et alors Test C-linéaire,
soit
Test indirecte et alors Test C-anti-linéaire.
Proposition 2.3. Soit f:D→Cune application C1définie sur un domaine Ddans
C. Sont équivalentes:
1. fest conforme sur D.
2. fholomorphe avec f0(z)6= 0,∀z∈Dou fest antiholomorphe avec (¯ f)0(z)6= 0,
∀z∈D.
3 Convergence des suites et des séries de fonctions
Convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence localement uniforme, con-
vergence uniforme sur les compacts, suite de Cauchy.
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Proposition 3.1. Si la suite de fonctions (fn)nconverge localement uniformément
vers fet si les fonctions fnsont continues, alors fest continue.
Proposition 3.2. 1. La convergence localement uniforme implique la convercence
uniforme sur les compacts.
2. La réciproque est vraie si les fonctions sont définies sur un espace Xlocalement
compact.
Proposition 3.3. (Critère de Cauchy) Soit (fn)nune suite de foctions complexes
définies sur un ensemble A. Sont équivalentes:
1. (fn)nest uniformément convergente sur A.
2. (fn)nest une suite de Cauchy sur A.
Critére de Cauchy pour les séries de fonctions.
Critére des majorantes de Weierstrass.
Série normalement convergente, série localement normalement convergente.
Proposition 3.4. Si Pnfnconverge localement normalement sur Xvers une fonction
fet si τ:N→Nest une bijection, alors Pn∈Nfτ(n)converge localement normalement
vers f.
4 Séries entières
Série entière centrée en z0, série entière convergente.
Lemme 4.1. (Lemme d’Abel) Si pour une série entière Pnan(z−z0)nil existe des
nombres réels s > 0et Mtels que |an|sn≤M, alors la série converge localement
normalement sur le disque ouvert D(z0, s).
Corollaire 4.2. Si la série entière Pnanznconverge en un point w6= 0, alors elle
converge localement normalement sur D(0,|w|).
Rayon de convergence R:= sup{s≥0| ∃M∀n|an|sn≤M}.
Proposition 4.3. Si Rest le rayon de convergence de la série entière Pnan(z−z0)n,
alors la série converge localement normalement sur D(z0, R)et diverge en tout point
de C\D(z0, R).
Formule de Cauchy (-Hadamard).
Critère de d’Alembert.
Série exponentielle, sin,cos, série logarithmique.
Formules d’Euler: exp(iz) = cos z+isin z,cos z=1
2(exp(iz) + exp(−iz)),sin z=
1
2i(exp(iz)−exp(−iz)).
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Proposition 4.4. Si Rest le rayon de convergence de la série entière Pnan(z−z0)n,
alors il est aussi le rayon de convergence des séries Pnnan(z−z0)n−1et Pn
1
n+1 an(z−
z0)n+1.
Théorème 4.5. Si Rest le rayon de convergence de la série entière Pnan(z−z0)n,
alors la somme de cette série est indéfiniment C-différentiable et en particulier holo-
morphe sur D(z0, R). On a pour z∈D(z0, R)
f(k)(z) =
∞
X
n=k
k!n
kan(z−z0)n−k
et en particulier
ak=f(k)(z0)
k!.
Exemple: Sur D
1
(1 −z)k+1 =
∞
X
n=kn
kzn−k.
5 Fonctions holomorphes usuelles
L’exponentielle complexe:
1. exp(z)6= 0 et exp(−z) = (exp(z))−1,∀z∈C.
2. Si f∈ O(C),f0=fet f(0) = 1, alors f= exp.
3. exp(w+z) = exp(w) exp(z),∀w, z ∈C.
4. cos(w+z) = cos(w) cos(z)−sin(w) sin(z)et sin(w+z) = sin(w) cos(z)+cos(w) sin(z),
∀w, z ∈C.
5. Le morphisme de groupes exp : (C,+) →(C∗,·)est surjectif et il existe un unique
réel positif atel que Ker(exp) = 2aiZ. Ce nombre aest noté par π.
6. Fonctions périodiques, Périodes, Per(f).
Per(exp) = 2πiZ.
Les fonctions cos : C→Cet sin : C→C:
1. Sont surjectives.
2. sin−1(0) = πZet cos−1(0) = π
2+πZ.
3. Per(sin) = P er(cos) = 2πZ.
4. sin(x)>0,∀x∈]0, π[.
4

5. exp(iπ
2) = i.
6. p: (R,+) →(S1,·),p(φ) = exp(iφ), est un morphisme surjectif de groupes avec
Ker(p)=2πZ.
7. (Coordonnées polaires) Tout z∈C∗s’écrit de façon unique sous la forme
z=|z|exp(iφ) = |z|(cos φ+isin φ)
avec φ∈[0,2π[.
8. wz =|w||z|exp(i(φ+ψ), si w=|w|exp(iφ), z =|z|exp(iψ).
9. (Formule de Moivre) ∀φ∈R,∀n∈Z
(cos φ+isin φ)n= (cos nφ +isin nφ).
10. La longueur de l’arc de S1de 1àexp(iφ)est φ.
11. Pour tout n∈N\ {0}il existe exactement nsolutions de l’équation
zn= 1.
Elles sont de la forme ζk:= ζk, où ζ= exp(2πi
n)et 0≤k < n.
Le logarithme complexe:
Fonction logarithme. C−:= C\R−. Détermination principale du logarithme complexe,
Log :C−→C.
6 Intégrales curvilignes
Intégration des fonctions complexes continues sur les intervalles.
Chemins de classe C1par morceaux. Support d’une courbe, |γ|. Lacets. Courbes
équivalentes. Longueur d’une courbe, L(γ). Intégrale curviligne.
Estimation standard: ∀f∈C(|γ),
|Zγ f(z)dz| ≤ L(γ)|f||γ|,∞.
Passage à la limite pour les suites uniformément convergentes de fonctions continues.
Primitives.
Proposition 6.1. Une fonction F:U→Cest une primitive de f∈C(U)si et
seulement si pour toute courbe γdans Uon a
Zγ
f(z)dz=F(zA(γ)) −F(zD(γ)),
où zD(γ)est le point de départ et zA(γ)le point d’arrivée de γ.
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