Résumé du cours

Analyse Complexe
Contents
1
Dérivabilité complexe
2
2
Applications conformes
2
3 Convergence des suites et des séries de fonctions
2
4 Séries entières
3
5 Fonctions holomorphes usuelles
4
6 Intégrales curvilignes
5
7 Théorème et formule intégrale de Cauchy
6
8 Théorèmes sur les fonctions holomorphes I
8
9 Théorèmes sur les fonctions holomorphes II
8
10 Singularités isolées et séries de Laurent
9
11 Théorie des résidus I
9
12 Théorie des résidus II
11
1
1
Dérivabilité complexe
Fonction C-différentiable en un point.
Equations de Cauchy-Riemann.
Lemme 1.1. Soit T : C → C une application R-linéaire représentée par la matrice
a b
c d
par rapport à la base (1, i). Alors T est C-linéaire ssi a = d et b = −c.
Fonction holomorphe, domaine.
Règles de différentiation.
Proposition 1.2. Une fonction f : U → C est localement constante ssi f est holomorphe et sa dérivée complexe s’annule en tout point de U .
Corollaire 1.3. Une fonction f : D → C définie sur un domaine D est constante ssi
f est holomorphe et sa dérivée complexe s’annule en tout point de D.
2
Applications conformes
Applications R-linéaires conformes (directes et indirectes), applications conformes,
fonctions anti-holomorphes, application biholomorphe, automorphisme holomorphe,
Aut(U ).
Lemme 2.1. T ∈ End(R2 ) est une application conforme si et seulement si ∃λ ∈ R∗+ ,
∃S ∈ O(2, R) tels que T = λS.
Proposition 2.2. Soit T : C → C une application R-linéaire conforme. Alors soit:
T est directe et alors T est C-linéaire,
soit
T est indirecte et alors T est C-anti-linéaire.
Proposition 2.3. Soit f : D → C une application C 1 définie sur un domaine D dans
C. Sont équivalentes:
1. f est conforme sur D.
2. f holomorphe avec f 0 (z) 6= 0, ∀z ∈ D ou f est antiholomorphe avec (f¯)0 (z) 6= 0,
∀z ∈ D.
3
Convergence des suites et des séries de fonctions
Convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence localement uniforme, convergence uniforme sur les compacts, suite de Cauchy.
2
Proposition 3.1. Si la suite de fonctions (fn )n converge localement uniformément
vers f et si les fonctions fn sont continues, alors f est continue.
Proposition 3.2. 1. La convergence localement uniforme implique la convercence
uniforme sur les compacts.
2. La réciproque est vraie si les fonctions sont définies sur un espace X localement
compact.
Proposition 3.3. (Critère de Cauchy) Soit (fn )n une suite de foctions complexes
définies sur un ensemble A. Sont équivalentes:
1. (fn )n est uniformément convergente sur A.
2. (fn )n est une suite de Cauchy sur A.
Critére de Cauchy pour les séries de fonctions.
Critére des majorantes de Weierstrass.
Série normalement convergente, série localement normalement convergente.
P
normalement sur X vers une fonction
Proposition 3.4. Si n fn converge localement
P
f et si τ : N → N est une bijection, alors n∈N fτ (n) converge localement normalement
vers f .
4
Séries entières
Série entière centrée en z0 , série entière convergente.
P
Lemme 4.1. (Lemme d’Abel) Si pour une série entière n an (z − z0 )n il existe des
nombres réels s > 0 et M tels que |an |sn ≤ M , alors la série converge localement
normalement sur le disque ouvert D(z0 , s).
P
Corollaire 4.2. Si la série entière n an z n converge en un point w 6= 0, alors elle
converge localement normalement sur D(0, |w|).
Rayon de convergence R := sup{s ≥ 0 | ∃M ∀n |an |sn ≤ M }.
P
Proposition 4.3. Si R est le rayon de convergence de la série entière n an (z − z0 )n ,
alors la série converge localement normalement sur D(z0 , R) et diverge en tout point
de C \ D(z0 , R).
Formule de Cauchy (-Hadamard).
Critère de d’Alembert.
Série exponentielle, sin, cos, série logarithmique.
Formules d’Euler: exp(iz) = cos z + i sin z, cos z =
1
(exp(iz) − exp(−iz)).
2i
3
1
(exp(iz)
2
+ exp(−iz)), sin z =
P
n
Proposition 4.4. Si R est le rayon de convergenceP
de la série entière P
n an (z − z0 ) ,
1
n−1
alors il est aussi le rayon de convergence des séries n nan (z − z0 )
et n n+1 an (z −
z0 )n+1 .
P
Théorème 4.5. Si R est le rayon de convergence de la série entière n an (z − z0 )n ,
alors la somme de cette série est indéfiniment C-différentiable et en particulier holomorphe sur D(z0 , R). On a pour z ∈ D(z0 , R)
f
(k)
∞
X
n
(z) =
k!
an (z − z0 )n−k
k
n=k
et en particulier
ak =
Exemple: Sur D
5
f (k) (z0 )
.
k!
∞ X
1
n n−k
z .
=
k+1
k
(1 − z)
n=k
Fonctions holomorphes usuelles
L’exponentielle complexe:
1. exp(z) 6= 0 et exp(−z) = (exp(z))−1 , ∀z ∈ C.
2. Si f ∈ O(C), f 0 = f et f (0) = 1, alors f = exp.
3. exp(w + z) = exp(w) exp(z), ∀w, z ∈ C.
4. cos(w+z) = cos(w) cos(z)−sin(w) sin(z) et sin(w+z) = sin(w) cos(z)+cos(w) sin(z),
∀w, z ∈ C.
5. Le morphisme de groupes exp : (C, +) → (C∗ , ·) est surjectif et il existe un unique
réel positif a tel que Ker(exp) = 2aiZ. Ce nombre a est noté par π.
6. Fonctions périodiques, Périodes, Per(f ).
Per(exp) = 2πiZ.
Les fonctions cos : C → C et sin : C → C:
1. Sont surjectives.
2. sin−1 (0) = πZ et cos−1 (0) =
π
2
+ πZ.
3. Per(sin) = P er(cos) = 2πZ.
4. sin(x) > 0, ∀x ∈]0, π[.
4
5. exp(i π2 ) = i.
6. p : (R, +) → (S 1 , ·), p(φ) = exp(iφ), est un morphisme surjectif de groupes avec
Ker(p) = 2πZ.
7. (Coordonnées polaires) Tout z ∈ C∗ s’écrit de façon unique sous la forme
z = |z| exp(iφ) = |z|(cos φ + i sin φ)
avec φ ∈ [0, 2π[.
8. wz = |w||z| exp(i(φ + ψ), si w = |w| exp(iφ), z = |z| exp(iψ).
9. (Formule de Moivre) ∀φ ∈ R, ∀n ∈ Z
(cos φ + i sin φ)n = (cos nφ + i sin nφ).
10. La longueur de l’arc de S 1 de 1 à exp(iφ) est φ.
11. Pour tout n ∈ N \ {0} il existe exactement n solutions de l’équation
z n = 1.
) et 0 ≤ k < n.
Elles sont de la forme ζk := ζ k , où ζ = exp( 2πi
n
Le logarithme complexe:
Fonction logarithme. C− := C\R− . Détermination principale du logarithme complexe,
Log : C− → C.
6
Intégrales curvilignes
Intégration des fonctions complexes continues sur les intervalles.
Chemins de classe C 1 par morceaux. Support d’une courbe, |γ|. Lacets. Courbes
équivalentes. Longueur d’une courbe, L(γ). Intégrale curviligne.
Estimation standard: ∀f ∈ C(|γ),
Z
| f (z)dz| ≤ L(γ)|f ||γ|,∞ .
γ
Passage à la limite pour les suites uniformément convergentes de fonctions continues.
Primitives.
Proposition 6.1. Une fonction F : U → C est une primitive de f ∈ C(U ) si et
seulement si pour toute courbe γ dans U on a
Z
f (z)dz = F (zA (γ)) − F (zD (γ)),
γ
où zD (γ) est le point de départ et zA (γ) le point d’arrivée de γ.
5
Proposition 6.2. Une fonction f ∈ C(U ) admet une primitive sur U si et seulement
si pour toute courbe γ fermées dans U on a
Z
f (z)dz = 0.
γ
Sous cette condition en fixant z0 ∈ U on trouve une primitive sur la composante connexe
de U de z0 en posant
Z
F (z) :=
f (ζ)dζ,
γ
où γ est une courbe quelconque qui relie z0 à z.
Domaine étoilé par rapport a z0 .
Proposition 6.3. Soit D un domaine étoilé par rapport à z0 ∈ D. Une fonction
f ∈ C(D) admet une primitive sur D si et seulement si pour tout triangle ∆ contenu
dans D et ayant z0 pour sommet, on a
Z
f (z)dz = 0.
∂∆
7
Théorème et formule intégrale de Cauchy
Lemme de Goursat.
Théorème de Cauchy pour les domaines étoilés.
Lemme 7.1. Soient c ∈ U , D(c, R) ⊂ U , z ∈ D(c, R), D(z, r) ⊂ D(c, R) et f ∈
O(U \ {z}. Alors
Z
Z
f (ζ)dζ =
f (ζ)dζ.
∂D(c,R)
Corollaire 7.2.
Z
∂D(c,R)
∂D(z,r)
1
dζ = 2πi, ∀z ∈ D(c, R).
ζ −z
Corollaire 7.3. Si dans la situation du Lemme la fonction f est en plus bornée sur
D(c, R), alors
Z
f (ζ)dζ = 0.
∂D(c,R)
Théorème 7.4. (Formule intégrale de Cauchy pour les disques) Soient f ∈ O(U ) et
D(c, R) ⊂ U . Alors
Z
1
f (ζ)
f (z) =
dζ
2πi ∂D(c,R) ζ − z
pour tout z ∈ D(c, R).
6
Lemme 7.5. Soient γ une courbe dans C, f ∈ C(|γ|), z0 ∈ C \ |γ|,
Z
1
f (ζ)
an :=
dζ
2πi γ (ζ − z0 )n+1
et
Z
f (ζ)
1
dζ
F (z) :=
2πi γ ζ − z
P
pour z ∈ C \ |γ|. Alors la série entière n an (z − z0 )n converge vers la fonction F sur
tout disque centré en z0 , qui ne rencontre pas |γ|.
Théorème 7.6. Soient z0 ∈ U et D(z0 , R) le plus grand disque centré en z0 et inclus
dans U .PAlors toute fonction holomorphe f ∈ O(U ) admet un développement en série
entière n an (z − z0 )n convergeant localement normalement vers f sur D(z0 , R). Les
coefficients de cette série sont donnés par
Z
f (n) (z0 )
f (ζ)
1
an =
=
dζ
n!
2πi ∂D(z0 ,r) (ζ − z0 )n+1
avec r ∈]0, R[ arbitraire. En particulier f est indéfiniment C-différentiable.
Formule intégrale de Cauchy d’ordre supérieur pour les disques.
Corollaire 7.7. Soit f ∈ C(U ) les assertions suivantes sont équivalentes:
1. f ∈ O(U ).
R
2. ∂∆ f (z)dz = 0 pour tout triangle ∆ ⊂ U .
3. f admet des primitives au voisinage de chaque point de U .
4. Pour tout z0 ∈ U , pour tout disque D centré en z0 et tel que D̄ soit contenu dans
U , et pour tout z ∈ D on a
Z
f (ζ)
1
dζ.
f (z) =
2πi ∂D ζ − z
5. f est C-analytique en chaque point de U .
Théorème 7.8. (de prolongement de Riemann) Soient z0 ∈ U et f ∈ O(U \ {z0 }).
Les assertions suivantes sont équivalentes:
1. f possède un prolongement holomorphe à U .
2. f possède un prolongement continu à U .
3. f est bornée dans un voisinage épointé de z0 .
4. limz→z0 (z − z0 )f (z) = 0.
P
Proposition 7.9. Si f est la limite d’une série entière n an (z−z0 )n convergente
dans
P
n
D(z0 , R) et z1 ∈ D(z0 , R), alors f (z) est la somme
n bn (z − z1 )
P∞ de jla série entière
j−n
qui converge dans D(z1 , R − |z1 − z0 |), où bn = j=n n aj (z1 − z0 )
pour n ∈ N.
7
8
Théorèmes sur les fonctions holomorphes I
Partie localement finie d’un ouvert U .
Théorème 8.1. Soit f ∈ O(D). Les assertions suivantes sont équivalentes:
1. f est identiquement nulle sur D.
2. f −1 (0) n’est pas localement fini.
3. ∃z0 ∈ D, ∀n ∈ N, f (n) (z0 ) = 0.
Principe des zéros isolés.
Principe du prolongement analytique.
Inégalités de Cauchy.
Fonctions entières, fonctions à croissance polynômiale.
Théorème 8.2. Soient m ∈ N et f une fonction entière à croissance polynômiale
d’ordre au plus m à l’infini. Alors f est une fonction polynômiale de degré au plus m.
Théorème de Liouville.
Théorème de d’Alembert-Gauss.
Théorème de l’application ouverte.
Principe du maximum.
Principe du minimum.
9
Théorèmes sur les fonctions holomorphes II
Théorème d’inversion locale.
Forme normale locale d’une fonction holomorphe.
Indice d’un lacet par rapport à un point, Ind(γ, z0 ), intérieur et extérieur d’un lacet,
Int(γ), Ext(γ).
Proposition 9.1. Soit γ un lacet dans C. Alors:
1. Ind(γ, z0 ) ∈ Z, ∀z0 ∈ C \ |γ|.
2. La fonction z 7→ Ind(γ, z) est localement constante sur C \ |γ|.
3. Pour tout lacet γ̃ ayant le même point de départ que γ et pour tout z0 ∈ C\|γ + γ̃|,
Ind(γ + γ̃, z0 ) = Ind(γ, z0 ) + Ind(γ̃, z0 ). En particulier Ind(γ, z0 ) = Ind(−γ, z0 ).
8
4. Les ensembles Int(γ) et Ext(γ) sont ouverts et disjoints et leurs bords sont contenus dans |γ|.
5. Si |γ| ⊂ D(0, R), alors Int(γ) ⊂ D(0, R) et Ext(γ) ⊃ C \ D(0, R).En particulier
Int(γ) est borné et Ext(γ) est non borné.
Théorème 9.2. Soit γ un lacet dans U . Les assertions suivantes sont équivalentes :
1.
Z
f (z)dz = 0,
γ
∀f ∈ O(U ).
2.
1
Ind(γ, z)f (z) =
2iπ
Z
γ
f (ζ)
,
ζ −z
∀f ∈ O(U ), ∀z ∈ U \ |γ|.
3. Int(γ) ⊂ U .
10
Singularités isolées et séries de Laurent
Singularité isolée d’une fonction holomorphe, singularité effaçable, pôle, singularité
essentielle, ordre d’un pôle.
Théorème de caractérisation des singularités isolées en termes de limites.
Théorème de Casorati et Weierstrass.
Couronne circulaire C, C + , C − .
Théorème de Cauchy pour les couronnes.
Formule intégrale de Cauchy pour les couronnes.
Théorème de représentation de Laurent d’une fonction f ∈ O(C) comme f = f + + f −
avec f + ∈ O(C + ), f − ∈ O(C − ) et limz→∞ f − (z) = 0.
Série de Laurent, partie principale, partie régulière.
Théorème de développement en série de Laurent.
Théorème de caractérisation des singularités isolées en termes de séries de Laurent.
11
Théorie des résidus I
Résidu d’une fonction holomorphe en une singularité isolée.
9
Proposition 11.1. Le résidu d’une fonction holomorphe f en une singularité isolée z0
est l’unique nombre complexe a tel que la fonction z 7→ f (z) − a(z − z0 )−1 admette une
primitive dans un voisinage épointé de z0 .
Règles et méthodes de calcul
1. Pour f, g ∈ O(U \ {z0 }) et a, b ∈ C on a
Res(af + bg, z0 ) = aRes(f, z0 ) + bRes(g, z0 ).
2. Si z0 est un pôle simple de f , alors
Res(f, z0 ) = lim (z − z0 )f (z).
z→z0
3. Si z0 est un zéro simple de hO(U ) et si g(z0 ) 6= 0, où g ∈ O(U ), alors
g(z0 )
g
.
Res( , z0 ) = 0
h
h (z0 )
4. Si f a un pôle d’ordre au plus m en z0 et si g désigne la fonction holomorphe
donnée par g(z) = (z − z0 )m f (z) (prolongée holomorphiquement en z0 ), alors
g (m−1) (z0 )
g (m−1) (z)
= lim
.
Res(f, z0 ) =
z→z0 (m − 1)!
(m − 1)!
Proposition 11.2. Soient g : U → V une fonction holomorphe, z0 ∈ U , w0 = g(z0 ),
g 0 (z0 ) 6= 0 et f ∈ O(V \ {w0 }). Alors
Res(f, w0 ) = Res((f ◦ g)g 0 , z0 ).
Lacet homologue à zéro dans U , lacet simple.
Théorème 11.3. (Théorème des résidus) Soient γ un lacet homologue à zéro dans U ,
A un sous-ensemble de U \ |γ| localement fini dans U et f ∈ O(U \ A). Alors
Z
X
f (ζ)dζ = 2iπ
Ind(γ, z)Res(f, z).
γ
z∈A
Si en plus γ est un lacet simple, alors
Z
f (ζ)dζ = 2iπ
γ
X
z∈A∩Int(γ)
10
Res(f, z).
12
Théorie des résidus II
Fonctions méromorphes, ensemble polaire, P (f ), ensemble des zéros, Z(f ), M(U ).
Opérations sur M(U ), éléments inversibles pour la multiplication.
Théorème 12.1. Soient D un domaine dans C, f ∈ M(D) non nulle et γ un lacet
dans D \ (P (f ) ∪ Z(f ) homologue à zéro dans D. Alors ∀F ∈ O(D)
Z
X
X
1
f 0 (ζ)
dζ =
Ind(γ, z)o(f, z)F (z) −
Ind(γ, z)o∞ (f, z)F (z),
F (ζ)
2iπ γ
f (ζ
z∈Z(f )
z∈P (f )
où o(f, z) et o∞ (f, w) désignent l’ordre du zéro z, respectivement du pôle w de f
Corollaire 12.2. (Principe de l’argument.) Soient D un domaine dans C, f ∈ M(D)
non nulle et γ un lacet simple dans D \ (P (f ) ∪ Z(f ) et homologue à zéro dans D.
Soient a et p le nombre de zéros et respectivement de pôles de f dans Int(γ) comptés
avec leurs multiplicités. Alors
Z 0
f (ζ)
1
dζ.
a−p=
2iπ γ f (ζ
Théorème 12.3. (Théorème de Rouché.) Soient f, g ∈ O(U ) et γ un lacet simple et
homologue à zéro dans U tels que
|f (z) − g(z)| < |g(z)| ∀z ∈ |γ|.
Alors les fonctions f et g ont le même nombre de zéros dans Int(γ) comptés avec leurs
multiplicités.
Calcul d’intégrales: intégrales trigonométriques, intégrales impropres des fonctions rationnelles.
11