Représentations linéaires des groupes finis.

COURS 6-9
REPR´ ESENTATIONS LIN´ EAIRES DES GROUPES FINIS
COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13
(ANNA CADORET)
Contents
1. Anneaux semisimples 1
1.1. Anneaux semisimples 1
1.2. Th´eor`emes de structure 2
1.2.1. Anneaux semisimples 2
1.2.2. Anneaux simples 3
1.2.3. K-alg`ebres semisimples de dimension finie 4
1.2.4. Modules sur des anneaux semisimples 5
2. Application aux repr´esentations lin´eaires des groupes finis 6
2.1. Nombre et dimensions des repr´esentations simples de K[G] 6
2.2. Th´eorie des caract`eres 7
2.2.1. Caract`eres et K[G]-module r´egulier 7
2.2.2. Orthogonalit´e 9
2.3. Une application `a la th´eorie des groupes finis: le th´eor`eme de Burnside 11
2.3.1. Propri´et´es d’int´egralit´e des caract`eres 11
2.3.2. Preuve du th´eor`eme de Burnside 13
3. Repr´esentations induites 13
3.1. Foncteurs de restriction et d’induction 13
3.2. Restriction des repr´esentations induites 14
3.3. Caract`ere d’une repr´esentation induite et crit`ere d’irr´eductibilit´e de Mackey 15
3.4. Repr´esentations lin´eaires irr´eductibles de GL2(Fq) (2 6 |q) 17
3.4.1. Classes de conjugaison 17
3.4.2. Repr´esentations de dimension 1 17
3.4.3. S´erie principale 18
3.4.4. S´erie compl´ementaire 18
References 19
1. Anneaux semisimples
Soit Aun anneau associatif unitaire.
1.1. Anneaux semisimples. On rappelle que le A-module r´egulier est le groupe ab´elien Amuni de la structure
de A-module induite par la multiplication `a gauche
L:A→EndZ(A)
a→b→ab
Lemme 1.1. Les conditions suivantes sont ´equivalentes.
(1) Tout A-module est semisimple;
(2) Le A-module r´egulier (A, L)est semisimple.
On dit qu’un anneau Av´erifiant les conditions ´equivalentes du lemme 1.1 est semisimple.
Preuve du lemme 1.1. L’implication (1) ⇒(2) est imm´ediate. Pour (2) ⇒(1), il suffit d’observer que tout
A-module est quotient d’une somme directe de copies du A-module r´egulier et d’invoquer que tout quotient
d’un A-module semisimple est semisimple [Cours 1-3, Lemme 3.13]. 
1

2 COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13 (ANNA CADORET)
Exemple 1.2. (’Th´eor`eme’ de Maschke) Rappelons que si Gest un groupe fini et Kun corps de caract´eristique
p≥0 alors la K-alg`ebre K[G] est semisimple si et seulement si p6 ||G|[Cours 1-3, Exercice 3.14 (3)].
Corollaire 1.3. Soit Kun corps, Vun K-espace vectoriel de dimension finie sur Ket Aune sous-K-alg`ebre
de EndK(V). Alors Aest semisimple si et seulement si Vest un A-module semisimple .
Preuve. La condition n´ecessaire r´esulte du lemme 1.1. Pour la condition suffisante, fixons un syst`eme de
g´en´erateurs v1, . . . , vrde Vcomme EndA(V)-module et consid´erons le morphisme de A-modules
φ:A→V⊕r
a→(avi)1≤i≤r
Ce morphisme est injectif. En effet, comme
V=X
1≤i≤r
EndA(V)vi
pour tout v∈Vil existe cv,1, . . . , cv,r ∈EndA(M) tel que v=PA≤i≤rcv,ivi. Mais alors, pour tout a∈ker(φ)
on a
a(v) = X
A≤i≤r
acv,ivi=X
A≤i≤r
cv,iavi= 0
donc a= 0. La conclusion r´esulte alors du fait que tout sous-A-module d’un A-module semisimple est semisim-
ple [ours 1-3, Lemme 3.13]. 
1.2. Th´eor`emes de structure.
1.2.1. Anneaux semisimples. Par d´efinition du A-module r´egulier (A, L), les sous-A-modules de (A, L) sont les
id´eaux `a gauche de A.
Proposition 1.4. Supposons que Aest semisimple et soit Ii,i∈Iun syst`eme de repr´esentants des classes
d’isomorphismes des id´eaux `a gauche de A, simples comme sous-A-modules de (A, L). Alors,
(1) Iest fini;
(2) Pour chaque i∈I, l’id´eal `a gauche Aiengendr´e par tous les id´eaux `a gauche de Aisomorphes `a Ii
(comme A-modules) est un id´eal bilat`ere et
A=M
i∈I
Ai
comme A-modules.
(3) D´ecomposons 1Asous la forme 1A=Pi∈Ieiavec ei∈Ai,i∈I. On a e2
i=ei,eiej=δi,j eiet
eia=aei,a∈A,i, j ∈I. De plus, pour chaque i∈I,Ai=Aei, la structure d’anneau sur Ainduit
une structure d’anneau sur l’id´eal bilat`ere Aid’unit´e eiet
A=Y
i∈I
Ai
comme anneaux.
Preuve. Observons d’abord que IiIj= 0 si i6=j. En effet, puisque Ijest un id´eal `a gauche, tout ´el´ement
aj∈ Ijinduit par multiplication `a droite un morphisme de A-modules Raj:Ii→ Ij, qui est nul, par le lemme
de Schur.
On en d´eduit que AiAj= 0 si i6=j. Par ailleurs, puisque Aest semisimple, on a
A=X
i∈I
Ai.
Donc en particulier
AiA=AiAi⊂Ai,
ce qui montre que les Ai,i∈Isont aussi des id´eaux `a droite. Ecrivons maintenant
1A=X
i∈I
ei.
Le sous-ensemble I0⊂Ides i∈Itels que ei6= 0 est fini. On v´erifie imm´ediatement que le morphisme
A→Li∈I0Ai
a→Pi∈I0aei

COURS 6-9 REPR´ ESENTATIONS LIN´ EAIRES DES GROUPES FINIS 3
est un isomorphisme de A-modules et, en particulier, que I=I0est fini. D’o`u (1) et (2). Des ´egalit´es
12
A= 1A;
a1A=a= 1Aa,a∈A,
on d´eduit que les ei,i∈I0v´erifient eiej=δi,j eiet eia=aei,a∈A. On v´erifie ´egalement que Aimuni des
lois + et ×h´erit´ees de Aest un anneaux d’unit´e ei,i∈Iet qu’avec ces structures d’anneaux sur les Ai, le
morphisme ci-dessus est ´egalement un morphisme d’anneaux. 
1.2.2. Anneaux simples. On dit que Aest simple si Aest semisimple et si Ane contient qu’une classe d’isomorphisme
(comme A-module) d’id´eaux `a gauche simples.
Lemme 1.5. Aest simple si et seulement si Ane contient pas d’autres id´eaux bilat`eres que 0et A.
Preuve. Rappelons que d’apr`es [Cours 1-3; Lemme 3.12, preuve de (3) ⇒(1)], tout A-module non-nul contient
un sous A-module simple.
Supposons d’abord que Aest simple. Comme Aest semisimple, As’´ecrit comme somme directe d’id´eaux `a
gauche simples
A=M
i∈IIi
et, en ´ecrivant 1A=Pi∈Iei,ei∈Ion voit, comme dans la preuve de la proposition 1.4, que Iest fini. Comme
tout id´eal bilat`ere contient un id´eal `a gauche simple, il suffit de montrer quesi Iun id´eal `a gauche simple de A
alors IA=A.
(1) Pour tout I0id´eal `a gauche simple de A, il existe a∈Atel que Ia=I0.
En effet, comme Aest semisimple on peut ´ecrire A=I ⊕ J pour un certain id´eal `a gauche Jde A.
Notons p:A→ I la projection de Asur Iparall`element `a J. Par construction p:A→ I est un
morphisme de A-modules. Fixons un isomorphisme de A-modules σ:I˜→I0. Alors la compos´ee
Ap → I σ ˜→ I0→A
est un endomorphisme du A-module A. Mais on a un isomorphisme canonique Aop ˜→EndA(A), a→Ra
(d’inverse EndA(A) ˜→Aop,α→α(1)). Il existe donc a∈Atel que σ◦p=Ra. En particulier, pour tout
x∈ I on a xa =σ◦p(x) = σ(x)∈ I0; on en d´eduit que Ra:A→Ainduit un morphisme non nul de
A-modules Ra:I → I0, qui est n´ecessairement un isomorphisme par le lemme de Schur. En particulier,
on a I0=Iacomme annonc´e.
(2) D’apr`es (1), pour tout i∈Iil existe ai∈Atel que Ii=Iai. Comme A=M
i∈IIi, il existe αi∈ I tel
que 1A=Pi∈Iαiai∈ IA. D’o`u IA=A.
Supposons maintenant que Ane contient pas d’autres id´eaux bilat`eres que 0 et A. Notons Sla somme des
id´eaux `a gauche simples de A. Comme Acontient un id´eal `a gauche simple, Sest un id´eal `a gauche non nul de
A. Par ailleurs, pour tout a∈Aet pour tout Iid´eal `a gauche simple de A,Iaest encore un id´eal `a gauche de A.
Comme Iest simple, le morphisme surjectif Ra:IIaest soit nul, auquel cas Ia= 0, soit un isomorphisme,
auquel cas Iaest un id´eal `a gauche simple de A. Dans tous les cas Sa ⊂S, ce qui montre que Sest aussi un
id´eal `a droite de A. Donc A=Set, en particulier, Aest semisimple comme somme de A-modules simples.
Enfin, d’apr`es la proposition 1.4, Ane poss`ede qu’une classe d’isomorphisme d’id´eaux `a gauche simples donc
est simple. 
Lemme 1.6. Supposons que Aest simple et soit Iun id´eal `a gauche non nul. Notons A0:= EndA(I)et
A00 := EndA0(I). Alors le morphisme canonique induit par la multiplication `a gauche L:A˜→A00 est un
isomorphisme d’anneaux.
Preuve. Commen¸cons par observer que Lest bien d´efini i.e. que pour tout a∈Aon a bien La|I∈A00. En ef-
fet, pour tout φ∈A0et pour tout b∈ I, comme ab ∈ I on a φ◦La(b) = φ((ab)1A) = abφ(1A) = aφ(b) = La◦φ(b).

4 COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13 (ANNA CADORET)
En outre, par construction ker(L) est un id´eal bilat`ere de Adonc L:A →A00 est un morphisme injectif. Par
ailleurs, comme IAest un id´eal bilat`ere non nul de A, on a A=IAdonc L(A) = L(I)◦L(A). Supposons avoir
montrer que L(I) est un id´eal `a gauche de A00. On aura alors
A00 =A00 ◦L(A) = A00 ◦L(I)◦L(A) = L(I)◦L(A) = L(A).
Reste donc `a voir que L(I) est un id´eal `a gauche de A00. Soit donc a∈ I et φ∈A00. On doit montrer que
φ◦La∈L(I). Or, pour tout b∈ I, on a Rb∈A0donc
φ◦La(b) = φ(ab) = φ◦Rb(a) = Rb◦φ(a) = φ(a)b=Lφ(a)(b),
ce qui montre que φ◦La=Lφ(a)∈L(I). 
Exemple 1.7. Avec les notations de la proposition 1.4, les anneaux Aisont simples, i∈I. En particulier, on
a un isomorphisme d’anneaux
A˜→Y
i∈I
EndA0
i(Ii),
o`u A0
i:= EndA(Ii), i∈I.
1.2.3. K-alg`ebres semisimples de dimension finie. Soit Kun corps et Aune K-alg`ebre de K-dimension finie
semisimple. Avec les notations de la proposition 1.4, As’´ecrit comme un produit fini de K-alg`ebres simples
A˜→Y
i∈I
Ai,
o`u Iest l’ensemble des classes d’isomorphismes d’id´eaux `a gauche simples de Aet si Ii,i∈Iest un syst`eme de
repr´esentants des classes d’isomorphismes d’id´eaux `a gauche simples de A,Aiest une K-alg`ebre simple ayant
pour seul classe d’id´eaux `a gauche simple Ii. Comme chaque Aiest de K-dimension finie, il existe un entier
di≥1 tel que Aiest isomorphe - comme A-module - `a I⊕di
iet, d’apr`es le lemme 1.6, - comme K-alg`ebre - `a
A00
i:= EndA0
i(Ii)
Mais, d’apr`es le lemme de Schur,
A0
i= EndAi(Ii)
est une K-alg`ebre `a division donc, en notant ni:= dimA0
i(Ii), on a
Ai˜→A00
i= EndA0
i(Ii) ˜→Mni(A0
i).
Notons qu’on a alors
dimK(Ai) = didimK(Ii) = dinidimK(A0
i)
=n2
idimK(A0 i).
Donc ni=di.
Rappelons aussi que, toujours par le lemme de Schur, lorsque Kest alg´ebriquement clos, on a A0
i=K.
On a donc montr´e que toute K-alg`ebre simple Ade K-dimension finie est de la forme Mn(D) pour une K-alg`ebre
`a division Det que toute K-alg`ebre semisimple Ade K-dimension finie est de la forme
Y
1≤i≤r
Mni(Di)
pour des K-alg`ebre `a division Di,i= 1, . . . , r.
Inversement, si Dest un anneau `a division, l’anneau Mn(D) est simple. En effet, pour le voir, il suffi d’observer
que pour tout M= (mi,j )1≤i,j≤n∈Mn(D), M6= 0, l’id´eal bilat`ere S:= Mn(D)MMn(D) est Mn(D) tout
entier (choisir 1 ≤i, j ≤ntels que mi,j 6= 0 puis observer que Ei,j =m−1
i,j Ei,iM Ej,j ∈Set conclure que
Ek,l ∈Spour tout 1 ≤k, l ≤nen multipliant par des matrices de permutations). on a donc
Corollaire 1.8. Soit Aune K-alg`ebre de K-dimension finie. Alors
(1) Aest simple si et seulement si Aest isomorphe comme K-alg`ebre `a Mn(D), pour une K-alg`ebre `a
division D. Si, de plus, Kest alg´ebriquement clos, alors Aest simple si et seulement si Aest isomorphe
comme K-alg`ebre `a Mn(K);

COURS 6-9 REPR´ ESENTATIONS LIN´ EAIRES DES GROUPES FINIS 5
(2) Aest semisimple si et seulement si Aest isomorphe comme K-alg`ebre `a
Y
1≤i≤r
Mni(Di)
pour des K-alg`ebre `a division Di,i= 1, . . . , r. Si, de plus, Kest alg´ebriquement clos, alors Aest
semisimple si et seulement si Aest isomorphe comme K-alg`ebre `a
Y
1≤i≤r
Mni(K).
Exercice 1.9. (Radical de Jacobson) Soit Kun corps et Aune K-alg`ebre de K-dimension finie. On appelle
radical de Jacobson de Al’intersection JAde tous les id´eaux `a gauche maximaux de A.
(1) Montrer que JAest l’intersection des ker(θ), o`u (V, θ)d´ecrit l’ensemble des A-moules simples. En
d´eduire que JAest un id´eal bilat`ere.
(2) Montrer que JAcontient tout id´eal nilpotent bilat`ere de A. Montrer que JAest nilpotent. En d´eduire
que JA/JA= 0.
(3) Montrer que Aadmet un plus petit id´eal `a gauche I0tel que A/I0est semisimple. Montrer que JA=I0.
En d´eduire que Aest semisimple si et seulement si JA= 0. En d´eduire que si Aest commutative alors
Aest semisimple si et seulement si Ane contient pas d’´el´ements nilpotents (non nuls) et que, dans ce
cas, c’est un produit fini d’extensions de corps finies de K;
(4) Supposons que Aest semisimple. Montrer que pour toute extension de corps L/K s´eparable finie L⊗KA
est encore semisimple. Donner un contre-exemple lorsque L/K n’est plus suppos´ee s´eparable.
1.2.4. Modules sur des anneaux semisimples. Notons b Al’ensemble des classes d’isomorphismes de A-modules
simples.
Proposition 1.10. Supposons que Aest semisimple. Alors, avec les notations de la proposition 1.4, on a
(1) Les Ii,i∈Iforme un syst`eme de repr´esentants des classes d’isomorphismes de A-modules simples. En
particulier |b A|=|I|;
(2) Pour tout A-module Mon a
M=M
i∈I
AiM=M
i∈I
eiM.
En outre, pour chaque i∈I, le sous-A-module AiM=eiMest le sous-A-module de Mengendr´e par
les sous-A-modules simples de Misomorphes `a Ii; il est donc isomorphe `a une somme directe de copies
de Ii.
(3) Si, en outre, Kest un corps et Aest une K-alg`ebre de K-dimension fini alors tout A-module Mde
K-dimension finie se d´ecompose de fa¸con unique sous la forme
M=M
i∈II⊕ni
i
et le uplet des multiplicit´es ni,i∈Id´etermine la classe d’isomorphisme de Mcomme A-module.
Preuve. Soit Mun A-module simple. Tout 0 6=m∈M, d´efinit alors un morphisme surjectif de A-modules
λm:AM,a→am. Comme Aest semisimple, il existe un id´eal `a gauche Ide Atel que A= ker(λm)⊕ I
et , par construction, le morphisme λm:A→Minduit un isomorphisme λm|I:I˜→M. Ce qui montre que I
est un id´eal `a gauche simple de A. D’o`u (1).
Soit maintenant Mun A-module quelconque. On a M=AM donc, d’apr`es la proposition 1.4,
M=X
i∈I
AiM=X
i∈I
eiAM =X
i∈I
eiM
et cette somme est directe puisque pour tout mi∈M,i∈Ila relation
X
i∈I
eimi= 0
implique, en multipliant `a gauche par ei, que mi= 1Ami=eimi= 0, i∈I. Enfin, notons Mile sous-A-
module de Mengendr´e par les sous-A-modules simples de Misomorphes `a Ii. Comme ei∈Ai, il existe un
id´eal simple I0
iisomorphe `a Iitel que ei∈ I0 iet, pour tout m∈M,eim∈ I0 im˜→I0 ipar le lemme de Schur.
Donc on a eiM=AiM⊂Mi. Inversement, toujours par le lemme de Schur, on a AjMi= 0 pour i6=jdonc
Mi=AMi=AiMi⊂AiM.
L’assertion (3) r´esulte encore du lemme de Schur. 