Exercices d`Electronique Général_Série 1 R. Kifouche, Avril 2012

Exercices d'Electronique Général_Série 1
R. Kifouche, Avril 2012
Exercice 1 : Calculer la résistance équivalente des circuits suivants :
R1
R1
R2
R2
R3
E
R3
R4
R4
R5
Figure 2
Figure 1
Solution 1:
1. Pour la figure 1 :
On appelle Req1 la résistance équivalente des résistances R1, R2 et R5 montées en série, elle est
donc donnée par :
𝑅𝑒𝑞1 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅5
On appelle Req2 la résistance équivalente des résistances R3 et R4 montées en parallèle, elle est
donc donnée par :
1
𝑅𝑒𝑞2
=
1
1
𝑅3 + 𝑅4
+
=
𝑅3 𝑅4
𝑅3 . 𝑅4
⇒ 𝑅𝑒𝑞2 =
𝑅3 . 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
Req1 et Req2 sont montées en série donc :
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅𝑒𝑞1 + 𝑅𝑒𝑞2 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅5 +
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅3 . 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
(𝑅3 + 𝑅4 ). (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅5 ) + 𝑅3 . 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
1. Pour la figure 2 :
Req1 est la résistance équivalente des résistances R1 et R2 qui sont montées en série, Req1 est,
donc, donnée par :
𝑅𝑒𝑞1 = 𝑅1 + 𝑅2
1
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Req2 est la résistance équivalente des résistances R3 et Req1 qui sont montées en parallèle, Req2
est, donc, donnée par :
1
𝑅𝑒𝑞2
=
𝑅3 + 𝑅𝑒𝑞1
1
1
+
=
𝑅3 𝑅𝑒𝑞1
𝑅3 . 𝑅𝑒𝑞1
⇒ 𝑅𝑒𝑞2 =
𝑅3 . 𝑅𝑒𝑞1
𝑅3 + 𝑅𝑒𝑞1
R4 et Req2 sont montées en série donc :
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅4 + 𝑅𝑒𝑞2 = 𝑅4 +
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅3 . 𝑅𝑒𝑞1
𝑅3 + 𝑅𝑒𝑞1
𝑅4 (𝑅3 + 𝑅𝑒𝑞1 ) + 𝑅3 . 𝑅𝑒𝑞1
𝑅3 + 𝑅𝑒𝑞1
Exercice 2 : La figure suivante représente un pont diviseur de tension :
R1
I
A
R2
1. Donner l'expression de "U", la
tension aux bornes de la résistance R2.
2. Pourquoi appelle-t on cette
représentation Pont Diviseur de tension?
3. Si R1 est considérée comme la
résistance interne de la source E, Comment
doit-on choisir R2 pour que la puissance
transmise par la source E soit maximale.
4. Qu'elle est la valeur maximale de la
puissance que la source E peut transmettre?
U
E
B
Figure représentant un pont diviseur de tension
Solution 2:
1. Détermination de l'expression U :
𝑈 = 𝑅2 . 𝐼 … … … . . (1)
𝐸 = 𝑈𝑅1 + 𝑈𝑅2 = 𝑅1 . 𝐼 + 𝑅2 . 𝐼
⇒ 𝐸 = (𝑅1 + 𝑅2 ). 𝐼 ⇒ 𝐼 =
𝐸
… … … … (2)
(𝑅1 + 𝑅2 )
Donc : de (1) et (2) on a :
𝑈=
𝑅2
.𝐸
(𝑅1 + 𝑅2 )
2
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2. On appelle cette représentation Pont Diviseur de tension parce que la tension aux
bornes des deux résistances R1 et R2 est à chaque fois une portion de la tension
d'alimentation E. E est divisée entre ces deux résistances.
3. Détermination de R2 pour que la puissance transmise par E soit maximale :
La puissance transmise P est donnée par :
𝑃 = 𝑅2 . 𝐼 2
𝐸
𝐼=
(𝑅1 + 𝑅2 )
2
𝐸
𝑃 = 𝑅2 . (
)
(𝑅1 + 𝑅2 )
Pour étudier la variation de la puissance en fonction de R2, on va calculer la dérivée de la
puissance P(R2) :
𝑑𝑃(𝑅2 ) 𝐸 2 (𝑅1 + 𝑅2 )2 − 𝐸 2 . 𝑅2 (2𝑅1 + 2𝑅2 )2 𝐸 2 (𝑅1 + 𝑅2 ). (𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑅2 )
=
=
𝑑𝑅2
(𝑅1 + 𝑅2 )4
(𝑅1 + 𝑅2 )4
La puissance transmise est maximale, la courbe passe par un extremum, lorsque cette dérivée
s'annule.
𝐸 2 (𝑅1 + 𝑅2 ). (𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑅2 )
=0
(𝑅1 + 𝑅2 )4
Donc :
𝐸 2 (𝑅1 + 𝑅2 ). (𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑅2 ) = 0
⇒ (𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑅2 ) = 0 ⇒ 𝑅1 = 𝑅2
La puissance transmise est donc maximale pour 𝑅2 = 𝑅1
4. La puissance transmise est maximale pour 𝑅2 = 𝑅1, on remplace dans l'expression de
la puissance :
2
𝐸
𝑃 = 𝑅2 . (
)
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐸 2
𝐸2
𝑃 = 𝑅2 . (
) =
2. 𝑅2
4𝑅2
𝐸2
⇒𝑃=
4𝑅2
3
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Exercice 3 : Considérant le circuit représenté par la figure 1 :
1. Déterminer les courants I1, I2 et I3 ,tell que représentés sur le circuit, par la méthode
des mailles.
2. En appliquant le théorème de Thévenin, Déterminer le courant I6 qui va traverser une
résistance R6 si cette dernière est montée en parallèle avec la résistance R2.
 Données :
I1
I2
R1
R2
A
R1 = R4 = R6 = 100Ω
I3
R2 = 500Ω, R3 = 200Ω, R5 = 300Ω,
E1
R3
E2
E1 = 200V, E2 = 400V
R5
R4
B
Figure 1
Solution 3:
1. Détermination des courants I1, I2 et I3:
Selon la première loi de Kirchoff, on a au nœud A :
I1 − I2 − I 3 = 0 ………(1)
Selon la loi des mailles, on écrit :


Pour la maille (R1, R3, R4) : 𝐸1 = 𝑅1 𝐼1 + 𝑅3 𝐼3 + 𝑅4 𝐼1 …………………(2)
Pour la maille (R2, R3, R5) : −𝐸2 = 𝑅2 𝐼2 + 𝑅5 𝐼2 − 𝑅3 𝐼3………………..(3)
L'équation (2) peut s'écrire : 𝐸1 = (𝑅1 + 𝑅4 )𝐼1 + 𝑅3 𝐼3 …………………(4)
L'équation (3) peut s'écrire : −𝐸2 = (𝑅2 + 𝑅5 )𝐼2 − 𝑅3 𝐼3………………..(5)
De (4) on a : 𝐼1
=
De (5) on a : 𝐼2
=
𝐸1 −𝑅3 𝐼3
𝑅1 +𝑅4
−𝐸2 +𝑅3 𝐼3
𝑅2 +𝑅5
En remplaçant I1 et I2 par leurs expressions dans l'équation (1), on aura :
𝐸1 − 𝑅3 𝐼3 −𝐸2 + 𝑅3 𝐼3
−
− 𝐼3 = 0
𝑅1 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅5
𝐸1
𝑅3 𝐼3
𝑅3 𝐼3
𝐸2
−
−
+
− 𝐼3 = 0
𝑅1 + 𝑅4 𝑅1 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑅5 𝑅2 + 𝑅5
[
𝐸1
𝐸2
𝑅3
𝑅3
+
−
− 1] . 𝐼3 = 0
]−[
𝑅1 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑅5
𝑅1 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑅5
Donc :
4
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𝐸1
𝐸2
+
]
𝑅1 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑅5
𝐼3 =
𝑅3
𝑅3
[
−
− 1]
𝑅1 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑅5
[
Après simplifications, I3 peut s'écrire :
𝐼3 =
𝐸1 (𝑅2 + 𝑅5 ) + 𝐸2 (𝑅1 + 𝑅4 )
(𝑅1 + 𝑅4 )(𝑅2 + 𝑅5 ) + 𝑅3 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 )
A.N
𝐼3 =
200. (200 + 300) + 400. (100 + 100)
= 0,66𝐴
(100 + 100). (500 + 300) + 200. (500 + 300 + 100 + 100)
𝐼1 =
𝐼2 =
200 − (200.0,66)
= 0,33𝐴
100 + 100
−400 + (200.0,66)
= −0,33𝐴
500 + 300
On a donc : 𝑰𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟑𝑨 , 𝑰𝟐 = −𝟎, 𝟑𝟑𝑨 , 𝑰𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟔𝑨
2. Détermination du courant I6, avec l'application du théorème de Thévenin :
L'utilisation du théorème du Thévenin revient à déterminer le modèle équivalent du circuit, en
calculant ET et ZT, représentés sur la figure 2, puis calculer le courant i
R6
I1
R1
R2
A
I6
ZT
R4
C
R3
R5
C
I2
v
I3
E1
I6
E2
B
Figure 2
R6
ET
A
Représentation de Thévenin
Calcul de ET : ET est la tension entre les points "C" et "A" avant d'avoir branché R6, donc :
𝐸𝑇 = 𝑈𝐶𝐴 = 𝑈𝑅6 = 𝑈𝑅2 = 𝑅2 . 𝐼2
A.N : 𝐸𝑇 = 500. (−0,33) = −165𝑉
𝑬𝑻 = −𝟏𝟔𝟓𝑽
5
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Calcul de ZT: est la résistance équivalente du circuit vu des deux points "A" et "C"
Sur le figure 2, on observe que : R1 et R4 sont en série, puis les deux sont en parallèles avec
R3. Ces trois citées sont en série avec R5 et pour terminer on a les quatre résistances en
parallèle avec R2.
On peut donc écrire :
𝑅𝑇 = [[((𝑅1 + 𝑅4 )//𝑅3 ) + 𝑅5 ]//𝑅2 ]
𝑅𝑒𝑞1 = ((𝑅1 + 𝑅4 )//𝑅3 ) ⇒
𝑅𝑒𝑞1 =
𝑅𝑒𝑞2 = 𝑅𝑒𝑞1 + 𝑅5 =
1
𝑅𝑒𝑞1
=
1
1
+
𝑅1 + 𝑅4 𝑅3
𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 )
𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )
𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4
1
𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4
1
=
+
𝑅𝑇 𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 ) 𝑅2
1
𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )
=
𝑅𝑇
𝑅2 𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅2 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )
𝑅𝑇 =
𝑅2 𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅2 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )
𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅3 . (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅5 (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )
A.N : avec R1 = R4 = 100Ω, R2 = 500Ω, R3 = 200Ω et R5 = 300Ω on a :
𝑹𝑻 = 𝟒𝟗𝟖, 𝟕𝟓𝜴
Calcul du courant I6 : On a les valeurs de R6, RT et ET connues, selon la représentation de
Thévenin, on écrit :
𝐼6 =
𝐸𝑇
(𝑅𝑇 + 𝑅6 )
A.N :
𝐼6 =
−165𝑉
= 0,276𝐴
(498,75 + 100)
𝑰𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟔𝑨
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Exercice 4 : Si l'intensité instantanée d'un courant sinusoïdal, exprimée en ampère est donnée
par la relation suivante :
𝜋
𝑖(𝑡) = 4,24 sin. (314. 𝑡 + )
6
Donner :



La valeur maximale Imax de ce courant;
La valeur efficace Ieff de ce courant;
Sa pulsation w et sa fréquence f.
Solution 4:
En considérant l'expression instantanée d'un courant sinusoïdale qui s'ecrit sous la forme :
𝑖(𝑡) = Imax sin. (𝑤. 𝑡 + 𝜑)
On peut déduire :


La valeur maximale Imax : Imax = 4,24 A
La valeur efficace Ieff :
𝐼𝑒𝑓𝑓 =
𝐼𝑚𝑎𝑥
√2
=
4,24
√2
= 3𝐴
𝐼𝑒𝑓𝑓 = 3𝐴


Sa pulsation w : 𝑤 = 314 𝑟𝑎𝑑/𝑠
fréquence f est :
𝑓=
𝑤
314
=
= 50 𝐻𝑧
2. 𝜋 6,28
𝑓 = 50 𝐻𝑧
7