Première S Tout le chapitre 2 : LA FONCTION

Première S
Tout le chapitre 2 : LA FONCTION VALEUR ABSOLUE
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SOMMAIRE
I. VALEUR ABSOLUE........................................................................................................................................ 2
I.1. DEFINITION................................................................................................................................................... 2
I.2. NOTATION..................................................................................................................................................... 2
I.3. EXEMPLE ...................................................................................................................................................... 2
I.4. GENERALISATION ......................................................................................................................................... 2
II. DISTANCE ENTRE DEUX REELS.............................................................................................................. 2
II.1. DEFINITION.................................................................................................................................................. 2
II.2. EXEMPLE ..................................................................................................................................................... 2
III. EQUATION |X| = |Y|...................................................................................................................................... 2
III.1. DEFINITION ................................................................................................................................................ 2
III.2. EXEMPLE.................................................................................................................................................... 3
IV. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE ET RACINE CARREE................................................................... 3
IV.1. DEFINITION ................................................................................................................................................ 3
IV.2. EXEMPLE.................................................................................................................................................... 3
V. VALEUR ABSOLUE ET OPERATIONS ..................................................................................................... 3
V.1. MULTIPLICATION ......................................................................................................................................... 3
V.2. DIVISION...................................................................................................................................................... 3
POUR Y NON NUL,................................................................................................................................................ 3
V.3. ADDITION : ATTENTION........................................................................................................................... 3
SI X ET Y SONT DEUX REELS ALORS : |X + Y| |X| + |Y| APPELEE INEGALITE TRIANGULAIRE................................. 3
VI. FONCTION VALEUR ABSOLUE............................................................................................................... 4
DEFINITION :....................................................................................................................................................... 4
PROPRIETES :....................................................................................................................................................... 4
TABLEAU DE VARIATION..................................................................................................................................... 4
VII. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE – DISTANCE - INTERVALLE .................................................... 5
EXEMPLE : ....................................................................................................................................................... 5
CAS GENERAL :............................................................................................................................................... 5

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I. VALEUR ABSOLUE
I.1. Définition
Soit x un nombre réel, on appelle valeur absolue du réel x, la distance entre le nombre x et le
nombre zéro. C’est donc toujours un nombre positif.
I.2. Notation
On note : |x|
Autrement dit : |x| = distance (0 ; x) = distance (x ; 0)
I.3. Exemple
Exemple : |3| = distance (0 ; 3) = 3
|-4| = distance (0 ; -4) = 4
|0| = 0
I.4. Généralisation
x étant un réel,:
|x| = x si x > 0
|x| = - x si x < 0
|x| = 0 si x = 0
Propriété :
Pour tout réel x, |x| = |- x|
Exemple : |2,3| = |- 2,3| = 2,3
II. Distance entre deux réels
II.1. Définition
Soit x et y deux nombres réels, la distance entre x et y, notée d(x ; y) est égale à |x – y|.
On a d(x ; y) = |x – y| = | y – x|
II.2. Exemple
La distance entre les nombres -3,4 et 4,2 est |4,2 – (-3,4)| = |-3,4 – 4,2| = 7,6
III. Equation |x| = |y|
III.1. Définition
Soit x et y deux nombres réels, |x| = |y| ⇔ x = y ou x = -y

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III.2. Exemple
|x| = 7 ⇔ x = 7 ou x = -7
IV. Lien entre valeur absolue et racine carrée
IV.1. Définition
Soit x un réel quelconque, x² = ||
x
IV.2. Exemple
8²= ||
8 = 8
(- 9)²= ||
- 9 = 9
V. Valeur absolue et opérations
x et y sont deux réels,
V.1. multiplication
||
xy = || x× || y
Autrement dit, la valeur absolue du produit est égale au produit des valeurs absolues.
V.2. division
Pour y non nul,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x
y = ||
x
||
y
Autrement dit, la valeur absolue du quotient est égale au quotient des valeurs absolues.
V.3. addition : ATTENTION
Si x et y sont deux réels alors : |x + y| |x| + |y| appelée inégalité triangulaire
Il y a égalité lorsque les réels x et y ont même signe.
On peut modifier l'inégalité triangulaire en remplaçant y par -y. On a alors : |x - y| |x| + |y|

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VI. FONCTION VALEUR ABSOLUE
Définition :
La fonction valeur absolue est la fonction qui à tout réel x associe le réel |x|
la fonction valeur absolue est donc la fonction f définie sur par f(x) = |x|
La courbe représentative de cette fonction est la courbe d'équation y = |x|.
C'est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriétés :
• Cette fonction est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement croissante sur [
0;+ [
• La fonction valeur absolue est une fonction positive
• C'est une fonction paire
• Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction.
• Un nombre strictement négatif n'admet pas d'antécédents par cette fonction.
• 0 admet un seul antécédent par cette fonction 0.
Tableau de variation
x
f(x)
−∞
0
0
+∞

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VII. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE – DISTANCE - INTERVALLE
EXEMPLE :
x ∈ [-3 ; 3 ] ⇔ -3 ≤ x ≤ 3 ⇔ d(x ;0) ≤ 3 ⇔ |x| ≤ 3
CAS GENERAL :
x ∈ [a ; b] ⇔ a ≤ x ≤ b ⇔ d(x ; a+b
2) ≤ b – a 2 ⇔ |x - a+b 2| ≤ b – a 2