FICHE 4.13 - La fonction valeur absolue de x

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x
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La fonction valeur absolue
x
est la fonction qui à tout nombre réel associe… sa valeur
absolue.
Mais qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre ? Rien de plus simple, la valeur absolue d’un
nombre, c’est ce nombre … sans son signe. Les puristes n’aiment pas trop cette explication,
mais c’est celle que bien souvent, les étudiants préfèrent…
Prenons quelques exemples :
7 = 7 - 9 = 9 - 1,25 = 1,25
1
2 = 1
2 - 0,54 = 0,54 - 2 = 2
La valeur absolue donne donc toujours un résultat … positif ou nul puisque 0 = 0
Mathématiquement, la fonction valeur absolue est définie comme suit :
x =
x si x est positif ou nul
-x si x est négatif
Ça, par contre, c’est une autre histoire ! Décortiquons ensemble cet encadré…
2 = 2 Tu es d’accord ! Or 2 est bien un nombre positif. Donc, si x est un nombre
positif, alors x = x
- 3 = 3 Tu seras sans doute également d’accord. Donc, si x est un nombre négatif,
alors x = - x puisque - 3 = - (-3) = 3
FICHE
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LA FONCTION
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Représentons maintenant la fonction x en calculant les images des nombres entiers et en
les plaçant sur un graphique :
1 = - 1 = 1 2 = - 2 = 2 3 = - 3 = 3 4 = - 4 = 4 …
Bien entendu, tu peux encore déterminer des points intermédiaires sachant que
1
2 = - 1 2 = 1
2 3
2 = - 3 2 = 3
2 5
2 = - 5 2 = 5
2 7
2 = - 7 2 = 7
2…

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Plus tu vas calculer la valeur absolue de nombres, plus tu auras une belle fonction !
Maintenant, analysons les différentes caractéristiques de cette fonction.
Domaine
]- ∞, + ∞[ ou IR
Tu peux effectivement calculer la valeur absolue de
n’importe quel nombre. Aucun interdit !
Image
[0, + ∞[ ou IR
+
Chaque fois que tu calcules la valeur absolue d’un nombre, tu
obtiens toujours comme réponse un nombre positif.
Parité
Paire
La fonction présente un axe de symétrie orthogonale : l’axe
des ordonnées.
Maxima
Aucun
Tu peux toujours aller aussi haut que tu veux dans les
images : il n’y a pas de plafond…
Minima
0
0 est bien le point dont l’image est la plus petite.

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Racines
0
L’image de 0 est bien … 0 et c’est le seul nombre !
Période
Aucune
La fonction valeur absolue « ne se répète pas »
Croissance
En effet,
si tu parcour
s l
’
axe des abscisses de gauc
h
e à
droite, tu peux constater que d’abord les valeurs des images
décroissent (elles deviennent de plus en plus petites) et
ensuite, elles croissent de nouveau.
Signe
La fonction est
positive sur son
domaine.
Dire que la fonction est positive signifie simplement que les
valeurs des images sont toujours plus grandes (ou égales) à 0.
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