Rappels de Statistique et d`Algèbre Linéaire

Rappels de Statistique et d’Algèbre Linéaire
Emmanuel Duguet
Septembre 2010

table des matières
1 Moments empiriques et moments théoriques 2
1.1 Momentsempiriquesdesvecteurs.................. 2
1.1.1 Moyennearithmétique.................... 2
1.1.2 Varianceempirique...................... 3
1.1.3 Ecart-typeempirique..................... 3
1.1.4 Covarianceempirique .................... 4
1.1.5 Corrélationempirique .................... 4
1.2 Momentsempiriquesdesmatrices.................. 5
1.2.1 Moyennearithmétique.................... 5
1.2.2 Matricedecovarianceempirique .............. 5
1.3 Convergence en probabilité ..................... 9
1.4 InégalitédeBienaymé-Chebichev.................. 10
1.5 Laloifaibledesgrandsnombres .................. 12
1.6 Théorèmedelalimitecentrale ................... 13
2 Algèbre linéaire 14
2.1 Calculmatriciel............................ 14
2.2 Matrices définiespositives...................... 15
2.3 ProduitsdeKronecker........................ 16
1

ANNEXE 1
Moments empiriques et
moments théoriques
1.1 Moments empiriques des vecteurs
Le but de cette section est de se familiariser avec les notations de calcul ma-
triciel, car c’est sous cette forme qu’apparaissent le plus souvent les moments
empiriques. Il faut donc savoir les simplifier quand on les recontre dans une
expression.
1.1.1 Moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique d’un vecteur colonne z=(z1,z
2, ..., zN)0peut se trou-
ver sous les formes équivalentes suivantes :
z=z0e
e0e=z0e N=1 N
N
X
i=1
zi,
car on a :
z0e=(z1,z
2, ..., zN)⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
.
.
.
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠=z1+z2+... +zN=
N
X
i=1
zi,
et :
e0e=(1,1, ..., 1) ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
.
.
.
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠=1+1+... +1
|{z }
Nfois
=N.
2

3
1.1.2 Variance empirique
La variance empirique de la série z, notée Ve(z),peut se trouver sous les formes
équivalentes :
Ve(z)= 1
N
N
X
i=1
(zi−z)2
=1
N
N
X
i=1
z2
i−(z)2
=1
N(z−ze)0(z−ze),
=z0z
N−(z)2
car
z−ze =⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
z1
z2
.
.
.
zN
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠−⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
z
z
.
.
.
z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠=⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
z1−z
z2−z
.
.
.
zN−z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠,
ce qui implique :
(z−ze)0(z−ze)=(z1−z, z2−z, ..., zN−z)⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
z1−z
z2−z
.
.
.
zN−z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=(z1−z)2+(z2−z)2+... +(zN−z)2
=
N
X
i=1
(zi−z)2.
En posant z=0,on trouve :
z0z=
N
X
i=1
z2
i.
1.1.3 Ecart-type empirique
Ils’agitsimplementdelaracinecarréedelavarianceempirique.Onlenote:
σe(x)=pVe(x).

4
1.1.4 Covariance empirique
La covariance empirique entre le vecteur z=(z1,z
2, ..., zN)0et le vecteur x=
(x1,x
2, ..., xN)0,Cove(z, x),s’écrit :
Cove(x, z)= 1
N
N
X
i=1
(zi−z)(xi−x)
=1
N
N
X
i=1
zixi−z x
=1
N(z−ze)0(x−xe)
=z0x
N−zx.
En effet :
(z−ze)0(x−xe)=(z1−z, z2−z, ..., zN−z)⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x1−x
x2−x
.
.
.
xN−x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=(z1−z)(x1−x)+... +(zN−z)(xN−x)
=
N
X
i=1
(zi−z)(xi−x).
En posant z=0=xdans l’expression précédente, on a :
z0x=
N
X
i=1
zixi.
On remarque de plus que lorsque z=x:
Cove(x, x)= 1
N
N
X
i=1
(xi−x)(xi−x)
=1
N
N
X
i=1
(xi−x)2
=Ve(x).
1.1.5 Corrélation empirique
Le coefficient de corrélation linéaire empirique entre les séries zet x, noté
ρe(x, z)est défini par :
ρe(x, z)= Cove(x, z)
pVe(x)Ve(z)=Cove(x, z)
σe(x)σe(z).