Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de Mathématiques / La Trigonométrie - Terminale Scientifique (S)
Par M. Mohamadou SINGARÉ ([e-mail] | 06 46 19 68 96) Page 1 sur 10
Cours de mathématiques (Terminale S)
II. Chapitre 00 : La trigonométrie
1. Les angles orientés
A. Les radians
DÉFINITION
Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad et définie par :
REMARQUE
A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprimés par défaut en radians.
ASTUCE
Les mesures remarquables suivantes sont à connaître :
PROPRIÉTÉS
La longueur de l'arc de cercle de rayon  et d'angle  est égale à :
B. Le cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ().
On désigne les points   et  .
DÉFINITION
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre , de rayon 1, et dont le sens positif est le sens
direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
PROPRIÉTÉS
Chaque point du cercle est associé à un réel de l'axe formé par la tangente au cercle en .

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PROPRIÉTÉS
Deux réels a et b peuvent être associés au même point du cercle, si et seulement s'il existe un entier k tel
que :     . Le réel a est alors égal au réel  modulo  et on note :   .
PROPRIÉTÉS
Le sens indirect correspond au sens négatif.
C. L’angle orienté de deux vecteurs
DÉFINITION
Soient deux vecteurs non nuls 
et .
On appelle angle orienté (
) l'angle formé par les vecteurs 
et , dont la mesure est affectée du signe
correspondant à son sens (positive si direct, négative si indirect).
DÉFINITION
Soient deux vecteurs non nuls 
et .
On appelle mesure principale de l'angle (
;) son unique mesure comprise dans l'intervalle
(d'amplitude ) :   
REMARQUE
Un angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales modulo .
EXEMPLE
Soit l'angle orienté 
Le réel 7π2 étant supérieur à π, il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle (
;). Pour la déterminer,
on soustrait une première fois la valeur  :
Le réel 
 étant aussi supérieur à π, on soustrait une nouvelle fois la valeur  :
La mesure principale de l'angle (
;) est donc : 

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THÉORÈME
Soient trois vecteurs non nuls 
,  et 
.
D'après la relation de Chasles pour les angles orientés :
2. Le cosinus et sinus
A. Caractérisation sur le cercle trigonométrique
THÉORÈME
Soient un réel  et  le point du cercle
trigonométrique associé à .
Les coordonnées de  dans le repère sont :
et on a : 
PROPRIÉTÉS
 Pour tout réel       
 Pour tout réel     
 Pour tout réel     
 Pour tout réel  et tout entier  :     
 Pour tout réel  et tout entier  :     
B. Les valeurs remarquables
C. Les formules des angles associés
PROPRIÉTÉS
Pour tout réel  :

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D. Les formules d’addition et de duplication
PROPRIÉTÉS
Pour tous réels  et  :
3. Les équations trigonométriques
A.  
THÉORÈME
Soit un réel a.
L'équation   , d'inconnue , a pour
solutions réelles :
c'est-à-dire :       
B.  
THÉORÈME
Soit un réel a.
L'équation   , d'inconnue , a pour
solutions réelles :
c'est-à-dire :       

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QUIZ
Enoncé
Corrigé
1 Quel est le sens direct dans le cercle trigonométrique ?
Dans le cercle trigonométrique, le sens direct est le sens inverse
des aiguilles d'une montre.
2 Quelle est la mesure en degré d'un angle de  radians
?
Un angle de  radians fait .
3 A quelle condition deux points  et  ont-ils la même
image sur le cercle trigonométrique ?
Deux points  et  on la même image sur le cercle
trigonométrique si et seulement si        .
4 Quelle est la mesure principale d'un angle 
 ?
La mesure principale d'un angle 
 est l'unique
mesure de l'angle qui appartient à l'intervalle    
5 D'après la relation de Chasles, que vaut 
 ?
D'après le relation de Chasles, 
.
6 Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se
lit-il en abscisses ou en ordonnées ?
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se lit en
abscisses et le sinus d'un angle se lit en ordonnées.
7 A quel intervalle appartiennent  et  pour tout
réel  ?
Pour tout réel ,    et   .
8 Pour tout réel , combien vaut    ?
Pour tout réel ,     .
9 Combien vaut 
 ? 
 ? 
 ?   ?
 et   ;   et  .
10 Combien valent  et  en fonction
de  et  ?
   et   .
11 Combien valent    et    en
fonction de  et  ?
     et     .
12 Combien valent    et    en
fonction de  et  ?
     et     .
13 Combien valent 
  et    en
fonction de  et  ?
    et     .
14 Vrai ou faux ?      
 ?
Faux,        
15 Combien vaut    ?    ?
16 Combien vaut    ?
  et
17 Quelles sont les solutions de l'équation    ?
            ou
18 Quelles sont les solutions de l'équation    ?
           ou