Modélisation de la trajectoire d`une particule soumise à un potentiel

Projet de Master 1 : Modélisation mathématique Modélisation de la trajectoire d’une particule soumise à un
potentiel
9 décembre 2016
1. On considère une masse ponctuelle m dans l’espace soumise à l’action d’une force extérieure F (t) dont la norme est bornée par une constante K, et d’une force de frottement
du type ↵u, avec ↵ > 0.
(a) Montrer que le module de la vitesse est majoré pour tout temps par une constante
qui dépend de ↵, de K, et éventuellement de la vitesse initiale.
(b) Illustrer numériquement le résultat précédent pour une particule assujettie à se
déplacer sur une droite verticale (O, j), soumise à son poids gj ainsi qu’à une
force de frottement du type ↵u, avec ↵ > 0.
2. On considère maintenant une masse ponctuelle m assujettie à se déplacer sur une droite.
On note x(t) sa position au cours du temps, et l’on suppose cette particule soumise à
l’action d’une force dérivant du potentiel
V (x) =
1
(ln x)2 .
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On note x0 > 0 la position initiale de la particule.
(a) Montrer que la trajectoire de la particule est définie sur R+ .
(b) Montrer que le système présente un unique point fixe (on se restreint aux abscisses
positives), et que ce point fixe est stable.
(c) On suppose maintenant la particule soumise à l’action d’une force dérivant d’un
second potentiel, du même type, relativement à la position a > 0, de telle sorte que
le potentiel total s’écrit maintenant
V (x) =
1
1
(ln x)2 + (ln |x
2
2
a|)2 .
i. Étudier la stabilité du point fixe x = a/2 en fonction de la valeur de a.
ii. Y a-t-il d’autres points fixes entre 0 et a ? Étudier le cas échéant leur stabilité.
(d) Illustrer numériquement les résultats de stabilité observés dans les questions précédentes (pour cela on étudiera les comportements numériques de solutions avec des
conditions initiales proche des points fixes).
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3. On suppose maintenant que la particule est soumise à l’action d’une force dérivant du
potentiel
V = k|x x0 |2 /2 ,
et qu’elle est d’autre part baignée dans un fluide. La fonction t 7! x(t) qui décrit
la trajectoire de la particule au cours du temps est alors solution de l’équation de
l’oscillateur amorti
mẍ + ↵ẋ + k(x x0 ) = 0 .
(a) Suivant les valeurs de m, ↵ et k, étudier la trajectoire de la particule.
(b) Effectuer des simulations numériques pour illustrer les différentes situations rencontrées.
4. On considère maintenant deux masses ponctuelles m1 et m2 soumises à la seule action
de forces dérivant du potentiel d’interaction
V =
1
(|x2
2
x1 |
l)2 +
1
|x2
x1 |
.
(a) Montrer que le problème de Cauchy correspondant à une condition initiale telle que
les masses sont à distance strictement positive l’une de l’autre admet une solution
unique globale, i.e. définie sur [0, +1[ tout entier.
(b) Illustrer numériquement ce qui se produit lorsque l’on considère des conditions
initiales telles que les masses sont à distance de plus en plus petite.
5. On considère un système S de N particules reliées entre elles par un certain nombre
de ressorts.
(a) On suppose que les forces extérieures sont elles-même modélisées par des ressorts
entre certaines des masses du système et des points fixes de l’espace. On note V
l’énergie potentielle du système. On suppose que le système admet un point fixe f ,
et que la matrice hessienne de V en f est symétrique définie positive. Montrer que
chaque masse du système est reliée à au moins 2 masses (fixes ou libres) en dimension
2. Montrer que, en dimension 3, le nombre minimal de liaison est toujours 2, mais
qu’il vaut 3 si l’on suppose que les ressorts sont non alignés deux à deux.
(b) On suppose que les forces extérieures sont nulles, que l’on est en dimension 1. On
suppose aussi que la première et la dernière masses sont fixes.
i. Montrer que le système d’équations différentielles obtenu par application du
principe fondamental de la dynamique à chacune des barres peut s’écrire sous
forme matricielle :
✓ ◆
˙⇠ = ẋ = B⇠ ,
u̇
où on explicitera B.
ii. Effectuer des simulations numériques.
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