Calcul des Prédicats Preuves

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uv16472 --- CDL_B3
2004-2005
COURS n° 8
Calcul des Prédicats
sans symboles de fonction
Preuves
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Calcul des Prédicats (sans symbole de fonction)
Soient :
V= {x1, x2 , ... } variables
D= U
p
constantes.
T = D ∪
∪∪
∪Vtermes.
Pred = {p, q, ... } symboles de prédicats
F= {f1, f2, ... } atomes ou formules atomiques
Rappel : p(t1 , … , tn)∈F SSI p ∈Pred d’arité n et ti ∈T pour tout i.

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Syntaxe (suite) : fbf
Définition des formules bien formées (fbf):
(i) toute formule atomique est une fbf : f1 , f2 ,…
( ii) si A et B (méta-symboles) sont des fbf :
(~ A) , (A ∧B) , (A v B) , (A -> B) , (A<->B) , (A <- B) ,
(∀x.A) , (∃x.A)
sont également des fbf.
(iii) il n ’y a pas d ’autres formules que celles obtenues à
partir des deux règles précédentes.
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Tableaux sémantiques (i)

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Calcul des séquents (i)
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Exemple tableau sémantique
Montrer : [∀x .(homme(x) -> mortel(x)) , homme(socrate)] |- mortel(socrate)
∀x .(homme(x) -> mortel(x))
homme(socrate)
~ mortel(socrate)
homme(socrate) -> mortel(socrate)
~homme(socrate) mortel(socrate)
* *
x=socrate

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Rappels propositionnels (&)
S & F (n)
S
F
¬(S & F)
¬ S ¬ F
H, S , F |- C
--------------------- & |-
H, S & F |- C
H |- S,C H |- F,C
---------------------------- |- &
H |- S & F, C
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Rappels propositionnels (v)
¬(S v F) (n)
¬ S de n
¬ F de n
S v F
S F
H, S |- C H, F |- C
-------------------------------- v|-
H, S v F |- C
H |- S, F, C
------------------------ |- v
H |- S v F, C

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Rappels propositionnels (->)
S -> F
¬ S F
¬(S -> F)
S
¬ F
H |- S,C H, F |- C
------------------------------ ->|-
H, S -> F |- C
H , S |- F, C
---------------------------- |- ->
H |- S -> F, C
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Rappels propositionnels
H |- S, C
-------------------- ¬ |-
H,¬ S |- C
H, S |- C
-------------------- |- ¬
H |- ¬ S, C
S |- C
-------------------- thin |-
H,S |- C
H |- C
-------------------- |- thin
H |- S, C
------------ axiome
S |- S