Calcul des Prédicats Preuves

uv16472 --- CDL_B3
2004-2005
COURS n° 8
Calcul des Prédicats
sans symboles de fonction
Preuves
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Calcul des Prédicats (sans symbole de fonction)
Soient :
V = {x1, x2 , ... } variables
D = Up constantes.
T = D ∪ V termes.
Pred = {p, q, ... } symboles de prédicats
F
= {f1, f2, ... } atomes ou formules atomiques
Rappel : p(t1 , … , tn)∈ F SSI p ∈ Pred d’arité n et ti ∈ T pour tout i.
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Syntaxe (suite) : fbf
Définition des formules bien formées (fbf):
(i) toute formule atomique est une fbf
: f1 , f2 ,…
(ii) si A et B (méta-symboles) sont des fbf :
(~ A) , (A ∧ B) , (A v B) , (A -> B) , (A<->B) , (A <- B) ,
(∀x.A) , (∃x.A)
sont également des fbf.
(iii) il n ’y a pas d ’autres formules que celles obtenues à
partir des deux règles précédentes.
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Tableaux sémantiques (i)
4
Calcul des séquents (i)
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Exemple tableau sémantique
Montrer : [∀x .(homme(x) -> mortel(x)) , homme(socrate)] |- mortel(socrate)
∀x .(homme(x) -> mortel(x))
homme(socrate)
~ mortel(socrate)
x=socrate
homme(socrate) -> mortel(socrate)
~homme(socrate)
*
mortel(socrate)
*
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Rappels propositionnels (&)
S &F
(n)
H, S , F |- C
--------------------H, S & F |- C
S
& |-
F
¬(S & F)
¬S
¬F
H |- S,C
H |- F,C
---------------------------- |- &
H |- S & F, C
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Rappels propositionnels (v)
S vF
S
F
¬(S v F)
H, S |- C
H, F |- C
-------------------------------H, S v F |- C
v|-
(n)
¬S
de n
¬F
de n
H |- S, F, C
-----------------------H |- S v F, C
|- v
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Rappels propositionnels (->)
S -> F
¬S
F
H |- S,C
H, F |- C
------------------------------ ->|H, S -> F |- C
¬(S -> F)
S
H , S |- F, C
---------------------------- |- ->
H |- S -> F, C
¬F
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Rappels propositionnels
------------ axiome
S |- S
S |- C
-------------------H,S |- C
H |- S, C
-------------------H,¬ S |- C
thin |-
¬ |-
H |- C
-------------------H |- S, C
|- thin
H, S |- C
-------------------H |- ¬ S, C
|- ¬
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Du français à la Logique :
les 4 formes Aristotéliciennes
(i) Tous les P's sont Q's
(ii) Certains P's sont Q's
(iii)Aucun P n'est Q
(iv) Certains P's ne sont pas Q's
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les 4 formes Aristotéliciennes (i)
(i) Tous les P's sont Q's
∀x (P(x) -> Q(x))
(ii) Certains P's sont Q's
∃x (P(x) ∧ Q(x))
ZZZ erreur classique : ∃ x (P(x) −> Q(x))
car cette formule est vraie quand P(x) est faux !!!
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les 4 formes Aristotéliciennes (ii)
(iii) Aucun P n'est Q
∀x (P(x) −> ~ Q(x))
équivalent (plus naturel?) : ~ ∃ x (P(x) ∧ Q(x))
(iv) Certains P's ne sont pas Q's
∃x (P(x) ∧ ~ Q(x))
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Du français à la logique, exemple :
Dans une Université célèbre de la région parisienne on affirme :
(1) Aucun étudiant n'aiment les cours idiots !
(2) Il existe des étudiants qui aiment tous les cours d'informatique !
Alors montrer que, aucun cours d'informatique n'est idiot !
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Exemple (ii)
[
'A' (x,y) : ((etu(x) & idiot(y)) -> ~ aime(x,y)) ,
'E' x : (etu(x) & 'A' y : (info(y) -> aime(x,y)))
]
'|-'
'A' y : (info(y) -> ~ idiot(y)).
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