diapos - Université de Montréal

MAT1500–Mathématiques discrètes
Matilde N. Lalı́n
Université de Montréal
http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/mat1500
Le 28 septembre 2016
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Le menu d’aujourd’hui
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Rappel de 1.6 Fonctions
1.6 Fonctions (fonction strictement croissante et décroissante,
composition, fonction inverse)
2.3 Nombres entiers et division
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Changement des diponibilités
Les disponibilités de Matilde aujourd’hui 28 septembre sont changées à
13h40-14h40
Les disponibilités de Crystel le vendredi 30 septembre sont annulées. Elle
sera disponible la semaine prochaine.
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Publicité
Club mathématique – Aujourd’hui à 12h30, Z-345 pavillon
Claire-McNicoll
Des ellipses, des courbes elliptiques, des secrets et un
million de dollars
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P*Q
Q
P
P+Q
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Les disponibilités la semaine prochaine
La semaine prochaine Matilde sera disponible les jours suivants :
lundi 3 octobre 9h-12h
mardi 4 octobre 12h30-13h30
mercredi 5 octobre 12h30-14h30
Crystel sera disponible le lundi 3 octobre 14h-16h et le mercredi 5
octobre 14h-16h.
Fabrice sera disponible le mercredi 5 octobre 15h-17h (sujet à
confirmation pendant le TP jeudi prochain).
Noé sera disponible le mardi 4 octobre 14h-16h
Nicolas sera disponible le mercredi 5 octobre 14h-16h
Venez aux disponibilités! Il est presque impossible de répondre à des
questions par courriel!
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Les sujets de l’intra 1
L’intra 1 portera sur les sujets discutés en classe en relation aux
sections 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 et 3.1 (incluant les définitions de
nombre pair, impair, multiple de 3, irrationnel) du manuel.
Aucune documentation ne sera permise à l’examen.
Les calculatrices seront interdites.
Nous allons finir la matière de l’intra aujourd’hui.
Je vais continuer avec la matière du cours aujourd’hui et le 4 octobre.
Le 5 octobre est réservé pour vos questions. S’il y a un sujet ou
problème que vous voulez que je discute pendant le cours du 5
octobre, dites-le-moi à l’avance (personnellement ou par courriel).
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Rappel de 1.6 Fonctions
Rappel de 1.6 Fonctions
Soient A, B deux ensembles. Soit f une fonction de A dans B
f : A → B.
Préimage de T ⊆ B, f −1 (T ).
Somme et produit des fonctions f1 , f2 : A → B ⊆ R.
Fonctions définies élément par élément.
La fonction identité idA : A → A.
La fonction inclusion ι : B → A si B ⊆ A.
Le graphe d’une fonction.
L’ensemble des fonctions entre deux ensembles
Fonctions(A, B) := {f : A → B} = B A . Si A, B finis, |B A | = |B||A| .
Fonction injective, surjective, bijective.
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1.6 Fonctions
Fonction strictement croissante et strictement décroissante
Définition : Soient A, B ⊆ R et f : A → B.
f est dite strictement croissante si pour tous x, y ∈ A, on a
x < y =⇒ f (x) < f (y ).
f est dite strictement décroissante si pour tous x, y ∈ A, on a
x < y =⇒ f (x) > f (y ).
Ces conditions impliquent que f est injective.
Démonstration : Si f est strictement croissante ou décroissante, on a que
x < y =⇒ (f (x) < f (y )) ⊕ (f (x) > f (y )) =⇒ f (x) 6= f (y ).
Maintenant prenons x, y ∈ A, avec x 6= y . Alors soit x < y , soit y < x.
Dans les deux cas nous obtenons f (x) 6= f (y ) et la fonction est
injective.
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1.6 Fonctions
Fonction strictement croissante et strictement décroissante
- Exemples
f : R≥0 → R≥0 ,
f (x) = x 2
est strictement croissante, car 0 ≤ x < y implique que x 2 < y 2 .
Mais
f : R → R≥0 ,
f (x) = x 2
ne l’est pas! Par exemple, −2 < 1 mais f (−2) = 4 > 1 = f (1).
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1.6 Fonctions
La composition des fonctions
Définition : Soient A, B, C , D ensembles et f : A → B, g : C → D tels
que B ⊆ C . La composition de g et f est la fonction
g ◦f :A→D
définie par
(g ◦ f )(a) = g (f (a)).
Exemple : Soient
f (x) = x 2
f : R → R≥0 ,
et
g : R≥0 → N,
g (x) = bxc + 2.
Donc
g ◦ f : R → N,
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(g ◦ f )(x) = bx 2 c + 2.
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1.6 Fonctions
La composition des fonctions - Continuation de l’exemple
Exemple : Soient
f (x) = x 2
f : R → R≥0 ,
et
g : R≥0 → N,
g (x) = bxc + 2.
On a vu
g ◦ f : R → N,
(g ◦ f )(x) = bx 2 c + 2.
On peut aussi trouver
f ◦ g : R≥0 → R≥0 ,
(f ◦ g ) = (bxc + 2)2
Quels sont
Im(g ◦ f )? Im(g ◦ f ) = Z≥2
Im(f ◦ g )? Im(f ◦ g ) = entiers carrés ≥ 4
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1.6 Fonctions
La composition des fonctions - Exemple
Soient
A := {a, b, c} et B := {1, 2, 3, 4}.
f : A → B,
f =
a b c
3 2 1
1 2 3 4
g : B → A, g =
a b c a
1 2 3 4
a b c
a b c
g ◦f =
◦
=
a b c a
3 2 1
c b a
f ◦g =
g ◦f :A→A
a b c
1 2 3 4
1 2 3 4
◦
=
3 2 1
a b c a
3 2 1 3
f ◦g :B →B
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1.6 Fonctions
Fonction bijective - Rappel
Définition : Une fonction f : A → B est bijective si et seulement si pour
chaque b ∈ B, il y a seul élément a ∈ A tel que f (a) = b.
On a prouvé que f : A → B est bijective si et seulement si elle est injective
et surjective.
En d’autres mots,
Injective : ∀b ∈ B, |f −1 (b)| = 0, 1.
Surjective : ∀b ∈ B, |f −1 (b)| ≥ 1.
Bijective : ∀b ∈ B, |f −1 (b)| = 1.
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1.6 Fonctions
La fonction inverse
Théorème : Soient A, B ensembles et f : A → B. Donc f est bijective si et
seulement s’il existe une fonction g : B → A telle que
f ◦ g = idB et g ◦ f = idA .
Dans cette situation, g est unique et elle est appelée la fonction inverse de
f . On écrit
g = f −1 .
Exemples : L’inverse de
f : Z → Z,
f (x) = x + 1 est f −1 (x) = x − 1.
L’inverse de
f : R − {0} → R − {0},
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f (x) =
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1
1
est f −1 (x) = = f (x).
x
x
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1.6 Fonctions
Existence de la fonction inverse pour bijections
Démonstration : Supposons que f : A → B est bijective. On va construire
g : B → A. Soit b ∈ B. Comme f est bijective, il y a un unique a ∈ A tel
que f (a) = b. Posons g (b) := a.
Pour chaque a ∈ A on a
(g ◦ f )(a) = g (f (a)) = g (b) = a.
Donc g ◦ f = idA . Pour chaque b ∈ B on a
(f ◦ g )(b) = f (g (b)) = f (a) = b.
Donc f ◦ g = idB .
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1.6 Fonctions
Existence de la fonction inverse pour bijections
Démonstration (continuation) : Maintenant supposons qu’il existe une
fonction g : B → A telle que f ◦ g = idB et que g ◦ f = idA . Soit b ∈ B.
Donc g (b) ∈ A et f (g (b)) = b. Alors f est surjective.
Supposons que a1 , a2 ∈ A avec a1 6= a2 tels que f (a1 ) = f (a2 ). Donc
a1 = idA (a1 ) = (g ◦ f )(a1 ) = g (f (a1 )) = g (f (a2 )) = (g ◦ f )(a2 ) = a2 .
Donc f est aussi injective. Comme f est injective et surjective, elle est
aussi bijective.
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1.6 Fonctions
Unicité de la fonction inverse
Démonstration : Supposons que f : A → B est bijective et que
g1 , g2 : B → A sont telles que g1 ◦ f = g2 ◦ f = idA .
Soit b ∈ B. Comme f est bijective, il existe un unique a ∈ A tel que
f (a) = b. On a
g1 (b) = g1 (f (a)) = (g1 ◦ f )(a) = a = (g2 ◦ f )(a) = g2 (f (a)) = g2 (b).
Alors, pour chaque b ∈ B, on a que g1 (b) = g2 (b). Par conséquent,
g1 = g2 .
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1.6 Fonctions
Les sujets du premier intra finissent ici!
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2.3 Nombres entiers et division
2.3 Nombres entiers et division - Les fondéments des
mathématiques
Les mathématiques sont bâties sur les fondéments
de la logique,
de la théorie des ensembles et
de l’acceptation que l’ensemble des nombres naturels avec ses
propriétés essentielles existe.
À partir de ça on peut déduire le reste des mathématiques, avec beaucoup
de travail et de patience.
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2.3 Nombres entiers et division
Les naturels et les entiers
N ={0, 1, 2, 3 . . . }
Z ={. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Z>0 = {1, 2, 3, . . . }
Nous allons étudier les propriétés des éléments de ces ensembles.
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2.3 Nombres entiers et division
La division
Définition : Si a, b ∈ Z et a 6= 0, on dit que a divise b s’il existe un entier c
tel que b = ac. On dit aussi que a est un facteur de b, que b est multiple
de a ou que b est divisible par a. On écrit a | b si a divise b et a - b sinon.
Exemple : 3 - 11 mais 3 | 21 parce que 21 = 3 · 7. Si n ∈ Z, toujours 1 | n
et si n 6= 0, n | 0.
Exemple : Si 2 | n, alors ∃k ∈ Z(n = 2k).
Attention à la notation : ba 6= a | b En effet, ba est une fraction (un nombre
rationel) lorsque a | b est une proposition qui donne information des
nombres entiers a et b.
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2.3 Nombres entiers et division
Division - Exemple
Problème : Soient n, d ∈ Z>0 . Trouver le nombre d’entiers positifs ne
dépassant pas n qui sont divisibles par d.
Résolution : On cherche les k ∈ Z tels que
0 < dk ≤ n.
Comme d > 0, on peut diviser par d
0<k ≤
Cela donne
n
.
d
jnk
d
entiers positifs multiples de d ne dépassant pas n.
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2.3 Nombres entiers et division
Quelques propriétés des diviseurs et des multiples
Théorème : Soient a, b, c ∈ Z.
1
Si a | b et a | c, alors a | (b + c).
2
Si a | b, alors ac | bc et a | bc.
3
Si a | b et b | c, alors a | c.
4
Si a | b et b | a, alors |a| = |b|.
Démonstration :
1
Si a | b et a | c, alors ∃s, t ∈ Z tels que b = as et c = at. Alors
b + c = as + at = a(s + t), donc a | (b + c).
2
Si a | b, alors ∃s ∈ Z tel que b = as. Donc bc = asc = (ac)s. Alors
ac | bc et a | bc.
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2.3 Nombres entiers et division
Quelques propriétés des diviseurs et multiples II
Démonstration (continuation) :
3
Si a | b et b | c, alors ∃s, t ∈ Z tels que b = as et c = bt. Alors
c = bt = (as)t = a(st), donc a | c.
4
Si a | b et b | a, alors ∃s, t ∈ Z tels que b = as et a = bt. Donc
a = (as)t = a(st). On a donc a(st − 1) = 0. Comme a 6= 0, on peut
diviser par a et st = 1. Donc s = t = 1 ou s = t = −1. Alors
a = ±b.
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2.3 Nombres entiers et division
Quelques propriétés des diviseurs et multiples III
Corollaire : Soient a, b, c ∈ Z. Si a | b et a | c, alors
a | (mb + nc) ∀m, n ∈ Z.
Démonstration : Si a | b et a | c, alors ∃s, t ∈ Z tels que b = as et c = at.
Alors mb + nc = mas + nat = a(ms + nt), donc a | (mb + nc).
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2.3 Nombres entiers et division
Les nombres premiers
Définition : Un entier p > 1 est dit premier si les seuls facteurs positifs de
p sont 1 et p. Un entier positif n > 1 est dit composé s’il n’est pas
premier.
Exemples :
Des nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .
Des nombres composés :
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, . . .
Le 1 n’est ni premier ni composé (il est ce qu’on appèle unité).
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2.3 Nombres entiers et division
Théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème : Pour chaque entier n > 1 il existe un entier s ≥ 1 et des
nombres premiers p1 , p2 , . . . ps tels que
n = p1 p2 · · · ps (Existence).
De plus, le produit est unique, c’est-à-dire, si
n = p1 p2 · · · ps = q1 q2 · · · qt
où p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ ps et q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qt sont des premiers, alors
s = t et p1 = q1 , p2 = q2 , . . . ps = qs (Unicité).
La démonstration sera donnée plus tard.
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2.3 Nombres entiers et division
Théorème fondamental de l’arithmétique - Exemples
Exemples :
127 = 127
999 = 33 · 37
3600 = 2
33
22
·3
·5
2048 = 211
2310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11
12 = 222 · 311 · 50
Notons que 12 | 3600, que peut-on dire de leurs facteurs premiers?
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2.3 Nombres entiers et division
Théorème fondamental de l’arithmétique - Corollaire
Corollaire : Si a, b > 1 entiers tel que a | b, on peut écrire
a = p1α1 p2α2 · · · pnαn
b = p1β1 p2β2 · · · pnβn
où pi 6= pj si i 6= j et 0 ≤ αi ≤ βi .
Attention! Ici, on complète les factorisations en ajoutant des facteurs pi0
de telle manière qu’on a les mêmes premiers dans les deux décompositions.
C’est la raison pour laquelle on permet aux exposants d’être 0.
Démonstration : Si piαi | a, comme a | b, donc piαi | b. Il existe c entier tel
que b = piαi c. Comme la factorisation est unique, on a que αi ≤ βi .
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