Laboratoire sur le moment d `inertie

11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
En translation, nous avons vu que
Masse ( M) >>>>>> inertie de translation
En rotation, l’analogue de la masse est le moment d ’inertie (I) d ’un
système ou d’un objet
moment d ’inertie ( I ) >>>>>> inertie de rotation
Au laboratoire nous verrons la différence entre les moments
d’inertie du système avec les masses rapprochées et avec les
masses éloignées.
Quel
système
possède le
plus petit
moment
d’inertie?
Vous constaterez que plus la masse d’un système est près de l’axe de
rotation, plus le moment d’inertie du système est petit.
1
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment d’inertie
Intuitivement, on sait qu’il est plus facile de faire tourner une tige
autour de son centre de masse, qu’autour d’une de ses extrémités.
Pourtant les tiges possèdent la même masse
2
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
Nous allons prendre les formules suivantes pour calculer le moment
d’inertie de différents objets
Pour un anneau
R
I CM = mR 2
kgm 2
Pour une roue ou un
disque
I CM
mR 2
=
2
kgm 2
Pour une tige
I CM
L
mL2
=
12
kgm 2
3
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
D’où viennent ces formules?
Du calcul intégral. Mais on peut utiliser
la situation suivante pour le montrer.
Soit une roue en rotation autour de son axe
ω
vt
R
Nous savons que l’énergie cinétique de
translation d’une particule
située sur
le bord de la roue est donnée par
1 2
K = mv
2
Nous avons vu également que
v t = ωR
En combinant ces deux équations, l’énergie cinétique de
rotation de la particule sera alors donnée par
1
K = mR 2ω 2
2
4
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
ω
v
Nous savons que l’énergie cinétique
de translation de la particule donnée
par
1 2
K = mv
2
R
En combinant ces deux équations, l’énergie cinétique de
rotation de la particule sera alors donnée par
v = ωR
1
K = mR 2ω 2
2
On définit « I » le moment d’inertie de la particule par rapport à l’axe de
rotation
2
2
I = mR
kgm
On écrira finalement l’énergie cinétique de
rotation de la particule autour de l’axe par
1 2
K = Iω
2
Le moment d’inertie représente l’inertie de rotation de
la particule.
5
11.2, 11.3 14.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
ω
v
R
Pour une particule
1 2
K = Iω
2
Où « I »est le moment d’inertie par
rapport à l’axe de rotation
I = mR 2
kgm 2
Cela représente l’inertie de rotation de la particule, plus la masse est
concentrée près de l’axe de rotation, plus le moment d’inertie est faible
plus le mouvement de rotation s’amorcera facilement.
Chaque objet possède son moment d’inertie. La formule qui permet de le
calculer tient compte de la distribution de la masse de l’objet autour de
l’axe de rotation
Voir les principales formules du tableau 11.1 de la section
11.3
6
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
R
Pour un anneau
I CM = mR 2
kgm 2
Pour une roue ou un
disque
I CM
mR 2
=
2
kgm 2
Voir les principales formules du tableau 11.1 de la section
11.3
7
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
Pour une tige
I CM
1
= mL2
12
kgm 2
Pour une sphère
I CM
2mR 2
=
5
kgm 2
Voir les principales formules du tableau 11.1 de la section
11.3
Comment trouver le moment d’inertie lorsque l’axe de rotation n’est
pas situé au centre de masse?
8
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
Pour déterminer le moment d’inertie ailleurs
qu’au centre de masse, nous devons utiliser le
théorème des axes parallèles (Huygens)
Considérons la cas d’une tige qui tombe. Autrement
dit qui tourne autour de l’axe o
ω
Nous avons vu que
CM
h
vCm
K totale = K CM + K rel
Comme pour le roulement, l’énergie cinétique totale
de la tige s’écrit
o
K totale = K trans CM + K rot / CM
K totale
1 2
1
2
= mvCM + I CM ω
2
2
9
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment d’inertie
K totale = K trans CM + K rot / CM
ω
Or,
CM
h
K totale
1 2
1
2
= mvCM + I CM ω
2
2
vCM = ωh
On peut écrire
vCm
K totale
o
K totale
1
1
2 2
2
= mω h + I CM ω
2
2
1
= (mh 2 + I CM )ω 2
2
10
11.2, 11.3 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment d’inertie
K totale
1
1
2 2
= mω h + I CM ω 2
2
2
K totale
1
= (mh 2 + I CM )ω 2
2
ω
CM
h
o
vCm
K totale
1
2
= I 0ω
2
Pour la rotation
Par conséquent, le moment d’inertie autour de
l’axe de rotation 0 sera donné par
I o = mh + I CM
2
C’est le théorème des axes parallèles (Huygens)
11
11.2, 11.3 et 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
Comme nous le verrons au
laboratoire, le moment d ’inertie
d ’un système autour d ’un axe
de rotation est égal à la somme
des moments d ’inertie des
différents objets qui composent
le système autour du même axe.
L’énergie cinétique du système sera donnée par
1 2
K = Iω
2
J
Au laboratoire, vous déterminerez la valeur du moment d’inertie I
de deux façons : expérimentalement et théoriquement
12
11.2, 11.3 et 11.4 Énergie cinétique de rotation et moment
d’inertie
L’énergie cinétique du système sera donnée par
1 2
K = Iω
2
J
Nous avons déterminé la valeur du moment d’inertie I de deux
façons : expérimentalement et théoriquement
Théoriquement nous utiliserons le principe de conservation de l’énergie
mécanique.
Nous ferons de même pour déterminer, la vitesse d’une sphère et d’un
disque en bas d’un plan incliné.
Ki + Ui = Kf + Uf
Voir les exemples
11.9 et 11.10 dans le
manuel
Hyperphyscis
Rolling objets
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