Notes de cours

Alg`ebre I
Cours pour 2`eme ann´ee de Bachelier en sciences
math´ematiques
Thomas Connor et Joost Vercruysse
Ann´ee acad´emique 2012–2013
Version du 12 septembre 2012

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Table des mati`eres
Table des Mati`eres i
1 Groupes 1
1.1 Structures alg´ebriques primaires et exemples . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Constructions de groupes et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . 6
1.3 Th´eor`emes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Groupes commutatifs de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Les groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Le th´eor`eme fondamental des groupes ab´eliens finis . . . . . 22
1.4.3 Groupes ab´eliens de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Actions ................................. 27
1.5.1 Actions libres et transitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Formule des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Exercices................................. 37
2 Anneaux et Modules 43
2.1 Anneaux : d´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Modules ................................. 50
2.3 Sous-anneaux et Id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Quotients et th´eor`emes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Extension d’un anneau avec une racine . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Id´eaux premiers et id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Quelques types d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7.1 Anneaux euclidiens et anneaux principaux . . . . . . . . . . 72
2.7.2 Anneaux noeth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7.3 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.4 Le th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.8 Th´eor`eme des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.9 Lescorpsfinis.............................. 82
2.9.1 Caract´eristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.9.2 Le petit th´eor`eme de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.9.3 Caract´erisation des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i

ii TABLE DES MATI ` ERES
2.10 ´ Etude d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11Exercices................................. 88
A 93
A.1 L’aphabetGrec ............................. 93

Pr´eface
Ceci est le syllabus du cours “Alg`ebre I” pour la deuxi`eme ann´ee de Bachelier
en sciences math´ematiques `a l’Universit´e Libre de Bruxelles. Comme toujours, ces
notes donnent une base pour comprendre la th´eorie : il est n´ecessaire de travailler
activement avec ces notes, plutˆot que de simplement les ´etudier. D’autant plus
qu’il est ´evident qu’il peut encore rester des fautes dans ces notes. Je suis tr`es
reconnaissant `a Thomas Connor qui a r´evis´e les versions ant´erieures et corrig´e
beaucoup de fautes (linguistiques). Le lecteur de ces notes peut toujours signaler
des fautes `a [email protected].
Ces notes sont partiellement et librement bas´ees sur des notes de cours de
Simone Gutt et Anne-Marie Simon, Eric Jespers, Jan Van Geel et Hendrik Van
Maldeghem. Des r´ef´erences de base classiques sont aussi les livres suivants :
[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 1991. (ISBN : 0-13-004763-5)
[2] P.M. Cohn, Algebra, Vol. 1, John Wiley & Sons, London, 1974. (ISBN : 0-471-
16431-3)
[3] N. Jacobson, Basic algebra I. Second edition, W. H. Freeman and Company,
New York, 1985. (ISBN : 0-7167-1480-9)
[4] S. Lang, Algebra. Revised third edition, Graduate Texts in Mathematics, 211.
Springer-Verlag, New York, 2002. (ISBN : 0-387-95385-X)
Joost Vercruysse
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