Sur les triangles inscrits dans une hyperbole

Surlestrianglesinscritsdansunehyperbole
équilatère
G.Huvent
[e-mail]
18 janvier2000
Résumé
Lorsqu’un triangleABCd’orthocentreHases sommets surunehyper-
bole équilatère,cettedernièreasoncentresurle cercled’Eulerdu triangle
etcontientH:
Notations:ABdésigneladroitepassantparlespointsAetB:LorsqueD1
etD2sontdeuxdroites,on noted D1;D2l’anglequ’elleforment, il estdé…nià¼
près.
Rappel : Onrappellelerésultatsuivant:
Le cercled’EulercontientlesmilieuxI;J;Kdescotésdu triangleainsi queles
milieux®;¯;°des segmentsjoignantun sommetàl’orthocentre.
1Caractérisationangulairedel’hyperbole équi-
latère
1.1 Unepropriété desmilieuxdescordes
Proposition1Soit(H)unehyperbole équilatèrealorstoute cordeABde(H)
découpesurlesasymptotesunsegment[P;Q]quiamêmemilieuque[A;B]
1

Preuve.Danslerepèreliéauxasymptotesl’équationde(H)estxy=k;où
kestunréel.NotonsaetblesabscissesdeAetB.L’équationdelacordeAB
est¯
¯
¯
¯x-ab-a
y-k
a
k
b-k a
¯
¯
¯
¯=0;ce quisesimpli…e eny= - k ab(x-(a+b)).
OnendéduitlescoordonnéesdeP:(a+b;0)etQ:¡0;k
a+k b¢.
Lemilieude[P;Q]coïncideavec celuide[A;B].
Remarque2Cettepropriété estvraiepourtoutehyperbole,équilatèreoupas.
1.2Caractérisation descordesd’unehyperbole équilatère
Al’aidedecerésultat,onétablitquelquespropriétésangulairesdeshyper-
boleséquilatères.
On noteA0lesymétriquedu pointApar rapportàO;ainsiOestlemilieu de
[A;A0]. On désigneparOxetOylesdeuxasymptotes
LetriangleKPOestisocèle(OKestladiagonaledu rectangledesommetO;P;Q
),ainsi lesanglesauxsommetsPetOsontlesmêmes.Parlaréciproquedu
théorèmedeThalès(Omilieu de[A;A0]etKmilieu de[A;B])lesdroitesOK
etA0Bsontparallèles.
Onen déduitque
d
Ox;AB=d A0B;Ox
En faitcette égalité caractériselespointsdel’hyperboledi¤érentsdeAetA0.
SiM(M6=AetM6=A0)estun pointdu plantel qued Ox;AM=d A0M;Ox;la
droite(AM)coupel’hyperbole en deuxpointsAetB(etB6=A0).LepointB
2

véri…eaussid Ox;AB=d A0B;Oxetainsid A0M;Ox=d A0B;Ox(carAM=AB).
Onen déduitqueA0M=A0BetAM=AB;d’oùM=B.
Proposition3LepointMestsurl’hyperboledediamètre[A;A0]sietseule-
mentsi
d
Ox;AM=d A0M;Ox
Uncorollairequinous serautile estlesuivant:
Corollaire4L’hyperbole équilatèredediamètre[A;A0]passantparBestlelieu
despointsCtelsque
d
AB;AC=d A0C;A0B
Preuve.Cestsurl’hyperbolesietseulementsid Ox;AC=d A0C;Ox
OnsaitqueBestunpointdel’hyperboleainsid AB;Ox=d Ox;A0B(cfproposition
3).Ainsid Ox;AC=d A0C;Ox,d AB;Ox+d Ox;AC=d A0C;Ox+d Ox;A0B,
d
AB;AC=d A0C;A0B
2SurL’orthocentred’un triangleinscritdans
unehyperbole équilatère
Considéronsalorsun triangleABCinscritdansunehyperbole équilatère.
NotonsHsonorthocentre,alorsd HC;HB=d AB;AC(anglesàcotésperpendi-
culaires).D’oùd HC;HB=d A0C;A0B(cfcorollaire4)etainsiparlethéorèmede
l’arc capableonobtientla
Proposition5lesquatrepointsH;C;BetA0sontcocycliques.
Onen déduitqued A0H;A0B=d CH;CB;maisd CH;CB=d AB;AH(anglesà
cotésperpendiculaires).En particulierd AB;AH=d A0H;A0Betonale
Théorème6L’orthocentredetout triangleinscritdansunehyperbole équila-
tère estsurcethyperbole
2.1 Unepropriété du cercled’Euler
On peutmaintenantprouverlethéorèmequinousintéresse etqui, je crois,
estdeBrianchonetPoncelet.
Théorème7Le centredetoutehyperbole équilatère circonscriteàuntriangle
estsurle cercled’Eulerde ce triangle
3

Preuve.
homothétiede centreAetderapport1
2envoieBsurKmilieude[A;B];Csur
Jmilieude[A;C],Hsur®milieude[A;H]etA0surO.OnsaitqueB;C;Het
H0sontcocycliquesetquelestroispointsJ;Ket®sontsurle cercled’Eulerde
ABC;ilenestdoncdemêmedeO
2.2Remarques
OnavuquelespointsH;B;CetA0sontcocycliques.Ils sontsitués surle
cercleimagedu cercled’Eulerdu triangleABCparl’homothétiede centreAet
derapport2:En faitce cercle estl’imagedu cercle circonscritautriangleABC
parlasymétrieorthogonalepar rapportàladroiteBC.
En particulierlesymétriquedeA0par rapportàBCestsurle cercle circons-
critautriangleABC(résultatquel’onretrouveparl’égalitéd AB;AC=d A0C;A0B
cfcorollaire4.
2.3 Uneparabolepour…niren beauté
Ilexisteun autrepointsurle cercle circonscritautriangleABC.
Proposition8SoitABCuntriangled’orthocentreHetinscritdansunehy-
perbole équilatèrede centreO:
LepointFsymétriquedeHpar rapportàOestsurle cercle circonscritau
triangleABC
Preuve.Bestsurl’hyperbole équilatèredediamètre[FH]passantparA,on
a(cfcorollaire4)d HA;HB=d FB;FA.Maisd HA;HB=d CA;CB(anglesàcôtés
perpendiculaires),ainsiparlethéorèmedel’arc capable,lespointsA;B;CetF
sontcocycliques.
LepointFestdoncsurle cercle circonscritàABC;siFestdistinctdeA;B
etCalorslaparabolePdefoyerFetdedirectrice D,droitedeSteinerdeF,est
4

”tritangente” autriangleABC:
(pource résultatvoir:
http://www.cabri.net/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/SimpSte2.htm)
Restele casoùFestenA;BouC:Quedirealorsdu triangleABC?
Remarque9Unproblèmeréciproque estposédansleBulletin n±425 (Novembre-
Décembre1999)del’APMEP,danslarubrique:”Lesproblèmesdel’APMEP”
Références
[1]C.Lebossé&C.Hémery. Géométrie classedeMathématiques.Editions
JacquesGabay
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