7.2 Travail effectué par une force variable

7.2 Travail effectué par une force variable
Considérons la situation suivante où un bloc est appuyé contre un
ressort comprimé:
Que va-t-il se passer si nous laissons partir le bloc??
L’énergie cinétique du bloc va augmenter et conformément au
théorème reliant le travail et l’énergie cinétique, le travail résultat
fait par le ressort sera égal à la variation de l’énergie cinétique.
Nous aurons :
Wtot ( res ) = ∆K
1
7.2 Travail effectué par une force variable
Comment allons-nous calculer
ce travail net ou total?
xi
xf
Nous utiliserons la formule suivante :
Question à se poser?
Wres
1
= − k ( x 2f -xi2 ) J
2
D’où vient cette formule ?
Avant de répondre à cette question, nous devons d’abord
trouver l’expression de la force.
C’est au cours de ses expériences en 1668 que Robert Hooke , ami de
Newton, établit l’expression de la force exercée par un ressort. Il montra
que
Fres = − kx
N
Où k est la constante d’élasticité du ressort en (N/m) et x
est soit la compression ou l’allongement.
2
7.2 Travail effectué par une force variable
Fres = − kx
N
0
Où k est la constante d’élasticité du ressort en (N/m) et x
est soit la compression ou l’allongement.
Le signe moins signifie que la force s’oppose toujours à
l’allongement x>0 ou à la compression x<0
Le graphique de la force en fonction de la position sera
de la forme suivante
Fres
compression
N
x
0
allongement
m
3
7.2 Travail effectué par une force variable
Fres = − kx
Fres
N
N
0
x
compression
m
allongement
Autrement dit, la force a toujours tendance à ramener
l’objet à sa position d’équilibre naturel à x=0
Comment allons-nous calculer le travail fait par le ressort?
4
7.2 Travail effectué par une force variable
Qu’aurions-nous fait dans le cas d’une force constante?
F
x
∆x


WF = F • ∆r = F∆x
WF > 0
J
Or, son équivalent sous forme graphique (Intégrale), le travail de
la force correspond à l’aire de la surface sous la courbe
F
xi
xf
x
5
7.2 Travail effectué par une force variable
F
x
xi


WF = F • ∆r = F∆x
xf
WF > 0
J
positif
En fait, sous forme graphique (Intégrale), le travail de la force
correspond à l’aire sous la courbe que l’on peut écrire


WF = F • ∆r = F∆x = F ( x f -xi ) = Fx f - Fxi
J
Ce qui revient à dire graphiquement
WF = L’aire du grand rectangle moins l’aire du petit rectangle
WF = AGR - APR
WF = Fxf - Fxi
D’ou
WF > 0
positif
6
7.2 Travail effectué par une force variable
Observons de nouveau le mouvement d’un bloc fixé à un ressort :
Nous allons utiliser la forme graphique (Intégrale) puisque la force du
ressort est variable. Cette aire sous la courbe correspond en fait à la
forme simplifiée du calcul intégral.
F
∆x Wres > 0
Considérons d’abord la zone d’allongement : x>0
Fres
N
Fres = − kx
xf
xi
x
Wres = Aire sous la courbe
Compression
N
allongement
m
7
7.2 Travail effectué par une force variable
F
Considérons d’abord la zone d’allongement
Fres
N
xf
Fres = − kx
N
Compression
Wres > 0
positif
∆x
xi
x
m
allongement
Wres = Aire du grand triangle – Aire du petit triangle
Wres = AGT − APT
8
7.2 Travail effectué par une force variable
Wres = Aire du grand triangle – Aire du petit triangle
Wres = AGT − APT
Fres
Puisque >0
N
xi
xf
-kxf
x
m
-kxi
Compression
Wres > 0
allongement
Wres = Aire du grand triangle – Aire du petit triangle
1 2 1 2
Wres = kxi − kx f
2
2
J
9
7.2 Travail effectué par une force variable
Fres
N
xi
xf
-kxf
∆K > 0
Wres > 0
m
-kxi
Compression
Wres > 0
x
allongement
Wres = Aire du grand triangle – Aire du petit triangle
1 2 1 2
Wres = kxi − kx f
2
2
J
Wres = Aire du grand triangle – Aire du petit triangle
1
2
2
Wres = − k ( x f − xi )
2
J
10
7.2 Travail effectué par une force variable
Considérons d’abord la zone compression : x<0
F
Wres = Aire sous la courbe
∆x
-kxf
Fres
N
-kxi
xf
∆K < 0
Wres < 0
négatif
xi
Compression
x
m
allongement
Wres = Aire du petit triangle – Aire du grand triangle
1 2 1 2
Wres = kxi − kx f
2
2
J
11
7.2 Travail effectué par une force variable
xf
xi
-kxf
Fres
N
-kxi
∆K < 0
x
Compression
allongement
1 2 1 2
Wres = kxi − kx f
2
2
Wres < 0
m
J
Wres = Aire du petit triangle – Aire du grand triangle
1
2
2
Wres = − k ( x f − xi )
2
J
12
7.2 Travail effectué par une force variable
Par conséquent, la formule générale pour calculer le travail fait par un
ressort pour l’allongement et la compression sera toujours
1
Wres = − k ( x 2f − xi2 )
2
J
On remarque que le travail effectué dépend seulement des positions
finale et initiale.
Sur un trajet aller-retour le travail , xf = xi , le travail résultant sera
nul.
Pour l’allongement et la compression, si le ressort agit seul, le travail
résultant sera alors égal à la variation de l’énergie cinétique. Nous
suivrons le mouvement ( position, vitesse et accélération ) du bloc de
cette façon.
Pour l’allongement et la
Wtotres = ∆K J
compression
13
7.2 Travail effectué par une force variable
Exemple:
Afin d’étudier la compression de différents ressorts, on lance un bloc de
2,0 kg à la vitesse de 2,0 m/s sur une patinoire fraîchement arrosée. Le
bloc s’immobilise en comprimant un ressort.
vo
A) De quelle longueur le ressort s’est-il comprimé si la constante
de rappel du ressort est de 20 N/m
F
Situation
xi
xf
14
7.2 Travail effectué par une force variable
vo
Situation:
F
xi
xf
Problème:
On cherche le
Solution:
possible
∆x= xf - xi ?
1
Wres = − k ( x 2f − xi2 )
2
Wtot = ∆K = K f -K i
J
J
Wres < 0 J
15
7.2 Travail effectué par une force variable
Wres < 0 J
v
o
1
Wres = − k ( x 2f − xi2 )
2
F
Solution:
En posant
x
x
i
f
xi = 0
J
Wnet = ∆K = K f − K i J
Kf = 0
1 2
Wres = − kx f = − K i
2
1 2 1 2
kx f = mvi
2
2
mv 2
2× 4
=
= 0,632
xf =
k
20
Résultat probable : La compression maximale du ressort sera de 63, 2 cm
16
7.2 Travail effectué par une force variable
B) Quelle est la vitesse et l’accélération du bloc à la moitié de la
compression maximale?
Situation
vo
F
xf
xi
Problème : On cherche « v » et « a » à la moitié de la compression
maximale
Solution possible
Wtot = ∆K
J
17
7.2 Travail effectué par une force variable
B) Quelle est la vitesse et l’accélération du bloc à la moitié de la
compression maximale?
Situation
vo
F
v
xi
Solution possible
Xi = 0
Problème : On cherche v
et a à la moitié de la
compression maximale
Wnet = ∆K
xf
J
1
Wres = − k ( x 2f − xi2 )
2
J
1
Wnet = Wres = − kx 2f = K f − K i J
2
1 2
1 2 1 2
K f = K i − kx f = mvi − kx f
2
2
2
18
7.2 Travail effectué par une force variable
Situation
vo
F
xi
Solution possible
m= 2,0 kg
Wnet
Problème : On cherche v
et a à la moitié de la
compression maximale
v
xf
1 2
= − kx f = K f − K i J
2
Vo = 2,0 m/s
k = 20 N/m
Xf = 0,316 m
1 2
1 2 1 2
K f = K i − kx f = mvi − kx f
2
2
2
K f = 4 − 0,99 = 3,01
J
19
7.2 Travail effectué par une force variable
Situation
vo
F
Solution possible
m= 2,0 kg
xi
Vo = 2,0 m/s
Problème : On cherche v
et a à la moitié de la
compression maximale
v
xf
k = 20 N/m
Xf = 0,316 m
1 2
1 2 1 2
K f = K i − kx f = mvi − kx f
2
2
2
K f = 4 − 0,99 = 3,01 J
1 2
K f = 3,01 = mv f
2
2 × 3,01
= 1,73
vf =
2
Résultat probable : La vitesse sera de 1,73 m/s
20
7.2 Travail effectué par une force variable
vo
Situation
F
Solution possible
xi
Problème : On cherche v
et a à la moitié de la
compression maximale
v
xf
L’accélération ?
À partir de la deuxième loi de Newton
k = 20 N/m
Xf = 0,316 m
m = 2,0 kg


∑ F = ma
∑ Fx = ma = − kx
− kx − 20×,316
=
= −3,16
a=
2
m
Résultat probable : L’accélération sera de -3,16 m/s2
21
7.2 Travail effectué par une force variable
C) Afin d’étudier la compression de différents ressorts, on lance un bloc
de 2,0 kg à la vitesse de 2,0 m/s sur une patinoire rugueuse. Le bloc
s’immobilise en comprimant un ressort.
De quelle longueur le ressort s’est-il comprimé si la constante
de rappel du ressort est de 20 N/m et que µc =0,2 lors de la
compression du ressort
Situation
vo
F
xi
xf
22
7.2 Travail effectué par une force variable
Situation
vo
F
xi
xf
De quelle longueur le ressort s’est-il comprimé si la constante
de rappel du ressort est de 20 N/m et que µc =0,2 lors de la
compression du ressort
Problème : Trouvez la compression maximale du ressort xf
Solution possible
Wnet = W frot + Wres = ∆K
J
23
7.2 Travail effectué par une force variable
v
Problème : Trouvez la
compression maximale
du ressort xf
Kf = 0
o
F
Solution possible
xi
Wnet = W frot + Wres = ∆K
x
f
1 2
Wnet = f c cos180 ∆x − kx f = ∆K
2
1 2
Wnet = − µ c N∆x − kx f = K f - K i J
2
o
Wnet
Wnet
J
J
1 2
= − µ c mgx f − kx f = − K i J
2
1 2
1
2
= − µ c mgx f − kx f = − mvi J
2
2
N
F
fc
Fg
24
7.2 Travail effectué par une force variable
v
o
F
xi
Wnet
xf
1 2
1
= − µ c mgx f − kx f = − mvi2 J
2
2
Wnet = −3,924 x f − 10 x = −4 J
2
f
x f 1 = 0,467 m
x f 2 = −0,858 m
À rejeter pas
physique
Résultat probable : La compression maximale du ressort est
de 46,7 cm
25
7.2 Travail effectué par une force variable
Lancer d’une balle sur un plan incliné
Simulation IP
26
En résumé
Pour étudier le mouvements des objets , on utilise le théorème reliant
le travail et l’énergie cinétique
Wtot = ∆K J
Mouvement
Pour une force constante


W F = F • ∆r J
Énergie
Travail
Pour un ressort
W res
1
= − k( x 2f -xi2 ) J
2
27