Étude du groupe symplectique

Étude du groupe symplectique
Astrid Beau et Sandrine Henri
sous la direction de Bachir Bekka
mai 2008
Table des matières
1 Notations 1
I Étude algébrique 1
2 Définitions et propriétés de base 1
3 Forme des matrices symplectiques 3
3.1 Centre de Spn(K).................................. 4
3.2 Stabilité de Spn(K)partransposition........................ 4
4 Génération par les transvections symplectiques 5
5 Simplicité du groupe PSpn(K)6
II Étude topologique 7
6 Réduction de l’étude 8
7 Étude de K(R)et K(C)10
7.1 L’algèbre à division des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 Propriétés d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.3 Une propriété de U(m)............................... 13
7.4 Propriétés topologiques de SU(m)et Sp(m).................... 13
8 Connexité et groupes fondamentaux de Spn(R)et Spn(C)14
Références 14
1 Notations
Dans tout ce document, nous utiliserons les notations suivantes :
–Kest un corps,
–Eest un K-espace vectoriel de dimension finie,
–nest la dimension de E,
1

– lorsque nest pair, on notera m=n
2,
–GL(E)est le groupe des automorphismes de E,
–Mn(K)est l’algèbre des matrices de taille nà coefficients dans K,
–GLn(K)est le groupe des matrices inversibles de taille nà coefficients dans K,
–SLn(K)est le sous-groupe de GLn(K)des matrices de déterminant 1,
–O(n)est le groupe orthogonal réel, c’est-à-dire le groupe des matrices réelles inversibles A
de taille ntelles que A−1=tA, et SO(n)est le groupe spécial orthogonal,
–U(n)est le groupe unitaire complexe, c’est-à-dire le groupe des matrices complexes inver-
sibles Ade taille ntelles que A−1=t¯ A, et SU(n)est le groupe spécial unitaire,
– on notera parfois Snl’espace des matrices symétriques réelles et Hncelui des matrices
hermitiennes,
– le groupe symplectique, défini dans ce document, sera noté Spn(K),
– l’algèbre de Lie de Spn(K)sera notée spn(K).
Première partie
Étude algébrique
2 Définitions et propriétés de base
Soit f:E×E→Kune forme bilinéaire sur E.
Définition 1 (Groupe orthogonal).L’ensemble
O(E, f) = {g∈GL(E), f(g(x), g(y)) = f(x, y)∀x, y ∈E}
est un sous-groupe de GL(E), appelé groupe orthogonal de f.
Dans la suite, à défaut de précision, on supposera falternée, c’est-à-dire vérifiant pour tous x, y ∈
E,f(x, y) = −f(y, x)(si la caractéristique du corps Kest 2, on impose en outre f(x, x)=0,
condition qui est impliquée par la première si la caractéristique est différente de 2). On la suppose
également non dégénérée, c’est-à-dire, si x∈Evérifie ∀y, f(x, y) = 0, alors x= 0.
Définition 2 (Groupe symplectique).Supposons falternée et non dégénérée. Le groupe orthogo-
nal associé à f, noté Sp(E, f), est appelé groupe symplectique.
Nous allons montrer que, à isomorphisme près, le groupe symplectique ne dépend pas de la forme
bilinéaire alternée fchoisie.
Lemme 3. S’il existe des formes bilinéaires alternées et non dégénérées sur E, la dimension nde
Eest nécessairement paire.
Démonstration. Ce lemme découle du théorème de Sylvester (proposition 7, page 3). Mais dans
le cas où la caractéristique de Kest différente de 2, nous pouvons en donner une preuve directe.
Soit fune forme bilinéaire alternée non dégénérée sur E. Notons A∈ Mn(K)la matrice de
fdans une base quelconque. On a f(x, y) = txAy =−f(y, x) = −tyAx =−t(txtAy),
ceci pour tous x, y ∈E. On en déduit que A=−tA. Puis en prenant le déterminant, on a
det(A)=(−1)ndet(A). Le fait que fsoit non dégénérée assure que det(A)6= 0, et donc que
(−1)n= 1 c’est-à-dire que nest pair.
Dans toute la suite, on notera m=n/2.
2

Notation. Si fest une forme bilinéaire quelconque et E1un sous-espace vectoriel de E, on notera
E⊥f
1(ou plus simplement E⊥
1si la forme bilinéaire est clairement sous-entendue) le sous-espace
défini par E⊥f
1={x∈E, ∀y∈E1, f(x, y) = 0}.
Lemme 4. Soit E1un sous-espace vectoriel de E, et soit fune forme bilinéaire non dégénérée
quelconque. Alors dim E⊥f
1=n−dim E1.
Démonstration. Soit Φ : E→E∗définie par Φ(x) : y7→ f(x, y). C’est un isomorphisme.
En effet, ker Φ = {x∈E, ∀y∈E, f(x, y)=0}={0}car fest non dégénérée, et de plus,
dim E= dim E∗. Considérons
˜
Φ : E⊥
1→(E/E1)∗
x7→ (y+E17→ f(x, y))
Cette application est bien définie, car si z∈E1, pour tout x∈E⊥
1et y∈E,f(x, y +z) =
f(x, y) + f(x, z) = f(x, y). Montrons qu’il s’agit également d’un isomorphisme. On a ker ˜ Φ =
{x∈E⊥
1,∀y∈E, f(x, y)=0}={0}puisque fest non dégénérée. Maintenant, soit ϕ∈
(E/E1)∗. Notons p:E→E/E1la projection canonique. Alors ϕ◦p∈E∗. Comme Φest
surjective, il existe x∈Etel que ϕ◦p= Φ(x), c’est-à-dire ϕ(y+E1) = f(x, y)pour tout
y∈E. En particulier, pour tout y∈E1,f(x, y) = ϕ(E1) = 0. En en déduit que x∈E⊥
1. Donc
ϕ=˜ Φ(x).
Ainsi, ˜ Φest un isomorphisme, ce qui entraîne que dim E⊥
1= dim(E/E1)∗= dim E−
dim E1.
Définition 5 (Plan hyperbolique).Soit Pun plan vectoriel de E. On dit que Pest un plan hyper-
bolique de Emuni de la forme bilinéaire alternée non dégénérée fs’il existe une base (x0, y0)de
Pvérifiant f(x0, y0) = 1 (on a évidemment également f(x0, x0) = f(y0, y0) = 0). Un tel couple
sera appelée couple hyperbolique.
Remarque. Bien évidemment, l’image d’un couple hyperbolique par une transformation symplec-
tique est un couple hyperbolique.
Lemme 6. Soit Pun plan hyperbolique. Alors F=P⊥vérifie les propriétés suivantes :
–dim F=n−2,
–E=P⊕F,
–f|Fest non dégénérée.
Démonstration. Le fait que dim F=n−2vient du lemme 4. Pour montrer que E=P⊕F, il
reste simplement à montrer que P∩F={0}. Soit x∈P∩F. D’une part, xs’écrit sous la forme
x=αx0+βy0, où (x0, y0)est une base hyperbolique de P. D’autre part, 0 = f(x, x0) = −βet
0 = f(x, y0) = α. Donc x= 0.
Enfin, montrons que f|Fest non dégénérée. Soit x∈Ftel que f(x, y) = 0 pour tout y∈F.
Alors pour tous α, β ∈K,f(x, y +αx0+βy0) = f(x, y) + αf(x, x0) + βf(x, y0) = 0. Or, on
a montré précédemment que E=P⊕F. Donc f(x, z)=0pour tout z∈E. Comme fest non
dégénérée, x= 0.
Proposition 7 (Théorème de Sylvester).Soit fune forme bilinéaire alternée non dégénérée. Alors
il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest
J=0Im
−Im0.
3

Démonstration. On raisonne par récurrence sur m. Plus précisémement, on montre que Eest
somme directe de mplans hyperboliques.
Montrons tout d’abord que Econtient toujours un plan hyperbolique. Soit x1∈E\{0}.
Comme fest non dégénérée, il existe y∈Etel que λ=f(x1, y)6= 0. Posons y1=y
λ. On
af(x1, y1) = 1, et nécessairement, y1est non colinéaire à x1sinon on aurait f(x1, y1) = 0. Donc
P1= Vect(x1, y1)est un plan hyperbolique.
Si m= 1,Eest donc lui-même un plan hyperbolique. La matrice de fdans la base (x1, y1)
est alors 0 1
−1 0 
qui est bien la matrice Jde taille 2.
Supposons maintenant m>2. Soit P1un plan hyperbolique de E. Posons F=P⊥
1. Le
lemme 6 assure que E=P1⊕F, et que de plus, f|Fest non dégénérée. L’hypothèse de récurrence
appliquée à Fdonne alors F=P2⊕ · · · ⊕ Pm. Pour i∈ {1, . . . , m}, notons (xi, yi)une base
hyperbolique de Pi. La matrice de fdans la base (y1, y2, . . . , ym, x1, x2, . . . xm)est
0Im
−Im0
c’est-à-dire ce que l’on voulait.
Une base construite comme ci-dessus sera appelée base symplectique de E.
La proposition 7 assure que pour tout K-espace vectoriel Ede dimension net toute forme bili-
néaire falternée et non dégénérée sur E, le groupe Sp(E, f)est isomorphe au groupe Spn(K) =
{g∈GLn(K),tgJg=J }, que l’on appelera groupe symplectique d’ordre n.
3 Forme des matrices symplectiques
Si M∈ Mn(K)(n= 2m), on écrit Msous forme d’une matrice par blocs :
M=U V
W T 
avec U, V, W, T ∈ Mm(K). Cherchons des conditions nécessaires et suffisantes sur U,V,Wet
Tpour que M∈Spn(K)).
On a M∈Spn(K)si et seulement si tMJM=J, ce qui s’écrit
tUW −tW U tUT −tW V
tV W −tT U tV T −tT V =0Im
−Im0
c’est-à-dire tUW =tW U,tV T =tT V et tU T −tW V =Im.
3.1 Centre de Spn(K)
La caractérisation donnée précédemment nous permet de voir que, en particulier, les matrices
suivantes sont des matrices symplectiques :
MU=U0
0tU−1, U ∈GLm(K)
J1=ImIm
0Imet J2=Im0 ImIm
Ces matrices nous suffiront à déterminer Z(Spn(K)).
4

Proposition 8. Le centre Z(Spn(K)) est formé uniquement de Inet −In.
Démonstration. Tout d’abord, il est évident que Inet −Insont des élements de Z(Spn(K)).
Réciproquement, soit Z∈ Z(Spn(K)). On écrit Zsous la forme
Z=A B
C D 
avec A, B, C, D ∈ Mm(K). Le fait que Zcommute avec J1s’écrit
A A +B
C C +D=A+C B +D C D 
ce qui donne C= 0 et A=D. De même, en exprimant que Zcommute J2, on obtient B= 0.
Puis, comme Zcommute avec les matrices MU, on a
AU B tU−1
CU D tU−1=UA UB
tU−1CtU−1D
pour toute U∈GLm(K), et en particulier AU =UA, c’est-à-dire A∈ Z(GLm(K)). Ainsi, A
est nécessairement une homothétie. Notons λson rapport. Exprimons enfin le fait que Zest dans
le groupe symplectique. D’après la caract´ risation vue précédemment, on a tAA =Im, ce qui est
équivalent à λ2= 1, et donc λ=±1.
3.2 Stabilité de Spn(K)par transposition
Montrons que si A∈Spn(K)alors tA∈Spn(K). Tout d’abord, on remarque que J2=
−In. Donc Jest inversible et J−1=−J . En inversant l’égalité tAJA=J, on obtient
A−1J−1tA−1=J−1, c’est-à-dire A−1JtA−1=J. Donc tA−1∈Spn(K), et comme Spn(K)
est un groupe, tA∈Spn(K).
4 Génération par les transvections symplectiques
Définition 9 (Transvection).On appelle transvection de Eun endomorphisme τde la forme
τ(x) = x+ϕ(x)v
où ϕest une forme linéaire sur Eet v∈ker(ϕ)un vecteur fixé.
À quelle condition une transvection appartient-elle au groupe symplectique Sp(E, f)? C’est
ce que nous allons déterminer ici. Soit τ(x) = x+ϕ(x)vune telle transvection. On a f(τ(x), τ(y)) =
f(x, y)pour tous x, y, c’est-à-dire ϕ(y)f(x, v) = ϕ(x)f(y, v). Ceci étant vrai pour tout y, on peut
choisir un y0tel que f(y0, v)6= 0. On obtient alors ϕ(x) = cf(x, v)pour tout x, avec c=ϕ(y0)
f(y0,v).
On en déduit que τest de la forme
τ(x) = x+cf(x, v)v.
Inversement, on vérifie aisément que toute transformation de cette forme est bien symplectique.
Nous avons donc la définition suivante :
Définition 10 (Transvection symplectique).Soit τ:E→Eune application linéaire. Soit v∈E.
On dit que τest une transvection symplectique de direction vs’il existe c∈Ktel que pour tout
x∈E,τ(x) = x+cf(x, v)v.
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