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– lorsque nest pair, on notera m=n
2,
–GL(E)est le groupe des automorphismes de E,
–Mn(K)est l’algèbre des matrices de taille nà coefficients dans K,
–GLn(K)est le groupe des matrices inversibles de taille nà coefficients dans K,
–SLn(K)est le sous-groupe de GLn(K)des matrices de déterminant 1,
–O(n)est le groupe orthogonal réel, c’est-à-dire le groupe des matrices réelles inversibles A
de taille ntelles que A−1=tA, et SO(n)est le groupe spécial orthogonal,
–U(n)est le groupe unitaire complexe, c’est-à-dire le groupe des matrices complexes inver-
sibles Ade taille ntelles que A−1=t¯
A, et SU(n)est le groupe spécial unitaire,
– on notera parfois Snl’espace des matrices symétriques réelles et Hncelui des matrices
hermitiennes,
– le groupe symplectique, défini dans ce document, sera noté Spn(K),
– l’algèbre de Lie de Spn(K)sera notée spn(K).
Première partie
Étude algébrique
2 Définitions et propriétés de base
Soit f:E×E→Kune forme bilinéaire sur E.
Définition 1 (Groupe orthogonal).L’ensemble
O(E, f) = {g∈GL(E), f(g(x), g(y)) = f(x, y)∀x, y ∈E}
est un sous-groupe de GL(E), appelé groupe orthogonal de f.
Dans la suite, à défaut de précision, on supposera falternée, c’est-à-dire vérifiant pour tous x, y ∈
E,f(x, y) = −f(y, x)(si la caractéristique du corps Kest 2, on impose en outre f(x, x)=0,
condition qui est impliquée par la première si la caractéristique est différente de 2). On la suppose
également non dégénérée, c’est-à-dire, si x∈Evérifie ∀y, f(x, y) = 0, alors x= 0.
Définition 2 (Groupe symplectique).Supposons falternée et non dégénérée. Le groupe orthogo-
nal associé à f, noté Sp(E, f), est appelé groupe symplectique.
Nous allons montrer que, à isomorphisme près, le groupe symplectique ne dépend pas de la forme
bilinéaire alternée fchoisie.
Lemme 3. S’il existe des formes bilinéaires alternées et non dégénérées sur E, la dimension nde
Eest nécessairement paire.
Démonstration. Ce lemme découle du théorème de Sylvester (proposition 7, page 3). Mais dans
le cas où la caractéristique de Kest différente de 2, nous pouvons en donner une preuve directe.
Soit fune forme bilinéaire alternée non dégénérée sur E. Notons A∈ Mn(K)la matrice de
fdans une base quelconque. On a f(x, y) = txAy =−f(y, x) = −tyAx =−t(txtAy),
ceci pour tous x, y ∈E. On en déduit que A=−tA. Puis en prenant le déterminant, on a
det(A)=(−1)ndet(A). Le fait que fsoit non dégénérée assure que det(A)6= 0, et donc que
(−1)n= 1 c’est-à-dire que nest pair.
Dans toute la suite, on notera m=n/2.
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