EXPOSÉ XXVI SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES

EXPOS´ E XXVI
SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES
R´ EDUCTIFS
par M. Demazure
Cet expos´e ´etudie les sous-groupes paraboliques d’un S-groupe r´eductif G. Le r´esul- 426
tat essentiel en est le th´eor`eme de conjugaison (5.4). L’outil essentiel est la notion de
position transversale de deux sous-groupes paraboliques, notion qui est ´etudi´ee syst´e-
matiquement dans le n◦4. Un autre fait joue un rˆole important : la d´ecomposition du
radical unipotent radu(P) d’un sous-groupe parabolique P en extensions successives
de groupes vectoriels (2.1) (1).
Diff´erents sch´emas associ´es `a G sont ´etudi´es dans le n◦3 ; le n◦6 traite des sous-tores
d´eploy´es (2) de G et de leurs relations avec les sous-groupes paraboliques.
Enfin, dans le n◦7, nous exposons bri`evement comment se formule, sur une base
semi-locale, la «th´eorie relative »des groupes r´eductifs telle qu’elle est expos´es dans
le cas des corps dans l’article de A. Borel et J. Tits, Groupes r´eductifs, Publications
Math´ematiques de l’IH´ ES, n◦27. Dans cet article, cit´e [BT65] dans la suite, le lecteur
trouvera d’ailleurs, dans le cas d’un corps de base, d’autres r´esultats qui n’ont pas ´et´e
effleur´es ici.
1. Rappels. Sous-groupes de Levi
Définition 1.1. — Soient S un sch´ema, G un S-groupe r´eductif, P un sous-S-sch´ema
en groupes de G. On dit que P est un sous-groupe parabolique de G si
(i) P est lisse sur S, 427
(ii) pour chaque s∈S, le s-sch´ema quotient Gs/Psest propre (i.e. Bible,§6.4,
th. 4 (= [Ch05], §6.5, th. 5), Pscontient un sous-groupe de Borel de Gs).
Proposition 1.2 (Exp. XXII, 5.8.5). — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe r´eductif, P
un sous-groupe parabolique de G. Alors Pest ferm´e dans G, `a fibres connexes, et
P = NormG(P).
(1)N.D.E. : Comme les sous-groupes de Levi de P forment un torseur sous radu(P) (1.9), ceci entraˆıne,
lorsque S est semi-local, que P poss`ede un sous-groupe de Levi et donc un tore maximal (2.4).
(2)N.D.E. : On a remplac´e la terminologie de «tore trivial »par celle de «tore d´eploy´e ».

280 EXPOS´ E XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES R´ EDUCTIFS
De plus, le faisceau-quotient G/Pest repr´esentable par un S-sch´ema lisse et projectif
sur S.
Proposition 1.3 (Exp. XXII, 5.3.9 et 5.3.11). — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe
r´eductif, Pet P0deux sous-groupes paraboliques de G. Les conditions suivantes sont
´equivalentes :
(i) P et P0sont conjugu´es dans G, localement pour la topologie ´etale (resp. (fpqc)).
(ii) Pour chaque s∈S,Pset P0
ssont conjugu´es par un ´el´ement de G(s).
(iii) Le transporteur strict TranstG(P,P0)de Pdans P0(d´efini par
TranstG(P,P0)(S0) = {g∈G(S0)|int(g)PS0= P0
S0}
pour tout S0→S), est un sous-sch´ema ferm´e de G, lisse et de pr´esentation finie sur
S, qui est un fibr´e principal homog`ene `a droite sous P, et `a gauche sous P0.
Proposition 1.4. — Soient Sun sch´ema non vide, (G,T,M,R) un S-groupe r´eductif
d´eploy´e, R0une partie de R. Les conditions suivantes sur R0sont ´equivalentes :
(i) gR0=tL`α∈R0gαest l’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe parabolique de G428
contenant T (n´ecessairement unique, Exp. XXII, 5.3.5).
(ii) R0est de type (R) (Exp. XXII, 5.4.2) et contient un syst`eme de racines posi-
tives.
(iii) R0est une partie close de Ret v´erifie : si α∈R−
−
−R0, alors −α∈R0(c.-`a-d.,
R = R0∪(−R0)).
(iv) Il existe un syst`eme de racines simples ∆, et une partie Ade ∆tels que R0soit
la r´eunion de l’ensemble des racines positives et de l’ensemble des racines n´egatives
combinaisons lin´eaires des ´el´ements de A.
(v) R0contient un syst`eme de racines simples de R; de plus, si ∆⊂R0est un
syst`eme de racines simples de Ret si on pose
A = (−R0)∩∆,
alors R0est la r´eunion de l’ensemble des racines positives et de l’ensemble des racines
n´egatives combinaisons lin´eaires des ´el´ements de A.
On a (i) ⇔(ii) par Exp. XXII, 5.4.5 (ii) et 5.5.1. On a (iii) ⇒(ii) par Exp. XXI,
3.3.6 et Exp. XXII, 5.4.7. On a ´evidemment (v) ⇒(iv) ⇒(iii). On a (iii) ⇒(v) par
Exp. XXI, 3.3.6 et 3.3.10.
Il reste donc `a prouver que (i) entraˆıne que R0est une partie close de R. Or cette
derni`ere assertion peut se v´erifier sur une fibre g´eom´etrique quelconque ; on peut donc
supposer que S est le spectre d’un corps alg´ebriquement clos.
Soit P le sous-groupe parabolique de G contenant T dont l’alg`ebre de Lie est gR0.
Comme les sous-groupes de Borel de P sont les sous-groupes de Borel de G contenus
dans P, il r´esulte de Bible,§12.3, th. 1, et de Exp. XXII, 5.4.5 (i), que si on note U le429
radical unipotent de P, alors T ·U est le sous-groupe de G contenant T d’alg`ebre de
Lie
gR00 =t⊕a
α∈R00
gα,

1. RAPPELS. SOUS-GROUPES DE LEVI 281
o`u R00 est l’intersection des syst`emes de racines positives de R contenus dans R0. Il en
r´esulte en particulier que R00 est close et que R00 ∩(−R00) = ∅. D’autre part, le groupe
H = P/U est r´eductif, l’image canonique T de T en est un tore maximal (T →T est
un isomorphisme), et on a un isomorphisme de T-modules, i.e. d’espaces vectoriels
gradu´es de type M
Lie(H) 'tLa
α∈Rs
gα,
o`u Rsest le compl´ementaire de R00 dans R0. Il s’ensuit que Rss’identifie naturellement
`a l’ensemble des racines de H relativement `a T, et en particulier v´erifie Rs=−Rs. Il
s’ensuit aussitˆot que l’on a
R00 ={α∈R0,−α6∈ R0},Rs={α∈R0,−α∈R0}.
Montrons maintenant que R0est clos. Soient α, β ∈R0tels que α+β∈R ; prouvons
que α+β∈R0. Si α, β ∈R00, alors α+β∈R00 car R00 est clos. Si α∈Rs,β∈R00, et si
α+β6∈ R0, alors α+β∈ −R00, et on a −α=−(α+β)+ β∈R00 car R00 est clos, ce qui
entraˆıne −α∈R0, donc −α∈Rs, et contredit le fait que Rs∩R00 =∅. Il reste donc `a
´etudier le cas o`u α, β ∈Rs. Si α+β6∈ R0, alors α+β∈ −R00. Mais, comme α+β6= 0,
il existe un syst`eme de racines positives du syst`eme de racines Rscontenant αet β,
donc un sous-groupe de Borel de H = P/U contenant l’image canonique de Uαet Uβ.
Son image inverse dans P est un sous-groupe de Borel contenant Uα, Uβet U, donc
Uα, Uβet U−(α+β), ce qui est impossible.
Corollaire 1.5. — Un sous-groupe parabolique d’un groupe r´eductif est de type (RC) 430
(Exp. XXII, 5.11.1).
Proposition 1.6 (Exp. XXII, 5.11.4). — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe r´eductif,
Pun sous-groupe de type (RC) (3) de G.
(i) P poss`ede un plus grand sous-sch´ema en groupes invariant, lisse et de pr´esen-
tation finie sur S, `a fibres g´eom´etriques connexes et unipotentes. C’est un sous-groupe
caract´eristique de P, appel´e le radical unipotent de P, not´e radu(P). Le faisceau-
quotient P/radu(P) est repr´esentable par un S-groupe r´eductif.
(ii) Si Test un tore maximal de P,Pposs`ede un sous-groupe r´eductif Lcontenant
T, tel que :
(a) Tout sous-groupe r´eductif de Pcontenant Test contenu dans L.
(b) P est le produit semi-direct L·radu(P), i.e. le morphisme canonique
L→P/radu(P) est un isomorphisme.
De plus, Lest l’unique sous-groupe (resp. sous-groupe r´eductif )de P, contenant Tet
v´erifiant (b) (resp. (a)). Enfin, on a
NormP(L) = L,NormP(T) = NormL(T).
(3)N.D.E. : On a remplac´e «sous-groupe parabolique »par «sous-groupe de type (RC) », comme
dans Exp. XXII, 5.11.4, car il sera utile plus loin (4.5.1, 6.17) de pouvoir appliquer cet ´enonc´e `a
P∩P0, lorsque P,P0sont deux sous-groupes paraboliques tels que P ∩P0soit de type (RC).

282 EXPOS´ E XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES R´ EDUCTIFS
1.7. Un sous-groupe L de P v´erifiant la condition (b) ci-dessus est appel´e un sous-
groupe de Levi de P. C’est un sous-groupe r´eductif maximal de P ; en effet, il est
r´eductif, car isomorphe `a P/radu(P), montrons qu’il est maximal pour cette propri´et´e ;
soit L0un sous-groupe r´eductif de P contenant L ; pour prouver que L0= L, on peut
raisonner localement pour la topologie (fpqc), et donc supposer que L poss`ede un tore
maximal T, et on est ramen´e `a 1.6 (ii).
Si L et L0sont deux sous-groupes de Levi de P, L et L0sont conjugu´es dans P,431
localement pour la topologie (fpqc). En effet, localement pour cette topologie, on peut
supposer que L (resp. L0) poss`ede un tore maximal T (resp. T0) ; comme T et T0sont
conjugu´es dans P localement pour la topologie (fpqc), on peut supposer T = T0, et
on a alors L = L0, par 1.6 (ii). Mais comme P = L ·radu(P) et NormP(L) = L, on en
d´eduit aussitˆot :
Corollaire 1.8. — Soit Pun sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe r´eductif G. Si
Let L0sont deux sous-groupes de Levi de P, il existe un unique u∈radu(P)(S) tel
que int(u)L = L0.
Notons Lev(P) le foncteur des sous-groupes de Levi de P : pour S0→S, Lev(P)(S0)
est l’ensemble des sous-groupes de Levi de PS0. On d´eduit de 1.8 :
Corollaire 1.9. — Soit Pun sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe r´eductif G. Alors
Lev(P) est un fibr´e principal homog`ene sous le S-groupe radu(P), et en particulier est
repr´esentable par un S-sch´ema lisse et affine sur S, `a fibres g´eom´etriques int`egres.
Il r´esulte imm´ediatement de 1.6 :
Corollaire 1.10. — Soit Pun sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe r´eductif G. Le
foncteur Tor(P) des tores maximaux de Pest repr´esentable par un S-sch´ema lisse et
affine, la «relation L⊃T»d´efinit un morphisme
Tor(P) −→ Lev(P),
la fibre de ce morphisme au-dessus de L∈Lev(P)(S) s’identifie `a Tor(L) (Exp. XXII,
5.8.3).
La premi`ere assertion de 1.10 est cons´equence des deux autres et de Exp. XXII,
5.8.3.
Définition 1.11. — Soient S un sch´ema non vide, G un S-groupe r´eductif, P un sous-432
groupe parabolique de G, E= (T,M,R,∆,(Xα)α∈∆) un ´epinglage de G. On dit que
Eest adapt´e `a P, ou que Eest un ´epinglage du couple (G,P) si P ⊃T et si l’alg`ebre
de Lie de P est de la forme t⊕`α∈R0gα, o`u R0est une partie de R contenant R+.
En particulier, si T ⊂B est le couple de Killing d´efini par l’´epinglage, on a
T⊂B⊂P.
Sous les conditions pr´ec´edentes, on note ∆(P) = ∆ ∩(−R0) ; alors, par Exp. XXII,
5.4.3, on a :
α∈∆(P) ⇐⇒ α∈∆ et U−α⊂P⇐⇒ α∈∆ et U−α∩P6=e.
(4)N.D.E. : cf. la N.D.E. (3).

1. RAPPELS. SOUS-GROUPES DE LEVI 283
Il r´esulte aussitˆot de 1.4 (v) et Exp. XXII, 5.11.3 et 5.10.6 :
Proposition 1.12. — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe r´eductif, Pun sous-groupe
parabolique de G,(T,M,R,∆,(Xα)α∈∆)un ´epinglage de Gadapt´e `a P,∆(P) la partie
de ∆d´efinie ci-dessus.
(i) Le radical unipotent radu(P) de Pn’est autre que
UR00 =Y
α∈R00
Uα,
o`u R00 est l’ensemble des racines positives qui dans leur d´ecomposition sur ∆,
contiennent au moins un ´el´ement de ∆−
−
−∆(P) (5) avec un coefficient non nul.
(ii) L’unique sous-groupe de Levi Lde Pcontenant Tn’est autre que
Z∆(P) = CentrG(T∆(P)),
o`u T∆(P) est le tore maximal de Tα∈∆(P) Ker(α); de plus on a T∆(P) = rad(L).
Corollaire 1.13. — Tout sous-groupe de Levi Ldu sous-groupe parabolique Pdu groupe 433
r´eductif Gest un sous-groupe critique de G, i.e. v´erifie (Exp. XXII, 5.10.4) :
L = CentrG(rad(L)).
Cela r´esulte aussitˆot de 1.12 et du lemme suivant, contenu dans 1.4 et Exp. XXII,
5.4.1 :
Lemme 1.14. — Localement pour la topologie ´etale, tout couple (G,P), o`u Pest un
sous-groupe parabolique du groupe r´eductif G, peut ˆetre ´epingl´e (1.11).
Notons :
Proposition 1.15. — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe r´eductif, Pun sous-groupe
parabolique de G,Eet E0deux ´epinglages de Gadapt´es `a P. L’ unique automorphisme
int´erieur de Gsur Squi transforme Een E0(Exp. XXIV, 1.5) provient de P, par le
morphisme
P−→ P/Centr(P) = P/Centr(G) −→ G/Centr(G).
En effet, il suffit de raisonner comme dans Exp. XXIV, 1.5, en utilisant :
Lemme 1.16 (Exp. XXII, 5.3.14 et 5.2.6). — Les tores maximaux (resp. sous-groupes
de Borel, resp. couples de Killing)d’un sous-groupe parabolique Pdu S-groupe r´eductif
Gsont conjugu´es dans P, localement pour la topologie ´etale.
Proposition 1.17. — Soient Sun sch´ema, Gun S-groupe r´eductif, Pet P0deux sous-
groupes paraboliques de G,Bun sous-groupe de Borel contenu dans Pet P0. Si Pet
P0sont conjugu´es dans G, localement pour la topologie ´etale, alors P = P0.
En effet, on peut supposer qu’il existe g∈G(S) tel que int(g)P = P0. Alors B et 434
(5)N.D.E. : On a corrig´e ∆(P) en ∆ −
−
−∆(P).