EXPOSÉ XXVI SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES

EXPOSÉ XXVI
SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES
RÉDUCTIFS
par M. Demazure
Cet exposé étudie les sous-groupes paraboliques d’un S-groupe réductif G. Le résul- 426
tat essentiel en est le théorème de conjugaison (5.4). L’outil essentiel est la notion de
position transversale de deux sous-groupes paraboliques, notion qui est étudiée systématiquement dans le n◦ 4. Un autre fait joue un rôle important : la décomposition du
radical unipotent radu (P) d’un sous-groupe parabolique P en extensions successives
de groupes vectoriels (2.1) (1) .
Différents schémas associés à G sont étudiés dans le n◦ 3 ; le n◦ 6 traite des sous-tores
déployés (2) de G et de leurs relations avec les sous-groupes paraboliques.
Enfin, dans le n◦ 7, nous exposons brièvement comment se formule, sur une base
semi-locale, la « théorie relative » des groupes réductifs telle qu’elle est exposés dans
le cas des corps dans l’article de A. Borel et J. Tits, Groupes réductifs, Publications
Mathématiques de l’IHÉS, n◦ 27. Dans cet article, cité [BT65] dans la suite, le lecteur
trouvera d’ailleurs, dans le cas d’un corps de base, d’autres résultats qui n’ont pas été
effleurés ici.
1. Rappels. Sous-groupes de Levi
Définition 1.1. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-S-schéma
en groupes de G. On dit que P est un sous-groupe parabolique de G si
(i) P est lisse sur S,
427
(ii) pour chaque s ∈ S, le s-schéma quotient Gs /Ps est propre (i.e. Bible, § 6.4,
th. 4 (= [Ch05], § 6.5, th. 5), Ps contient un sous-groupe de Borel de Gs ).
Proposition 1.2 (Exp. XXII, 5.8.5). — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P
un sous-groupe parabolique de G. Alors P est fermé dans G, à fibres connexes, et
P = NormG (P).
: Comme les sous-groupes de Levi de P forment un torseur sous radu (P) (1.9), ceci entraı̂ne,
lorsque S est semi-local, que P possède un sous-groupe de Levi et donc un tore maximal (2.4).
(2) N.D.E. : On a remplacé la terminologie de « tore trivial » par celle de « tore déployé ».
(1) N.D.E.
280
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
De plus, le faisceau-quotient G/P est représentable par un S-schéma lisse et projectif
sur S.
Proposition 1.3 (Exp. XXII, 5.3.9 et 5.3.11). — Soient S un schéma, G un S-groupe
réductif, P et P0 deux sous-groupes paraboliques de G. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) P et P0 sont conjugués dans G, localement pour la topologie étale (resp. (fpqc)).
(ii) Pour chaque s ∈ S, Ps et P0s sont conjugués par un élément de G(s).
(iii) Le transporteur strict TranstG (P, P0 ) de P dans P0 (défini par
TranstG (P, P0 )(S0 ) = {g ∈ G(S0 ) | int(g)PS0 = P0S0 }
pour tout S0 → S), est un sous-schéma fermé de G, lisse et de présentation finie sur
S, qui est un fibré principal homogène à droite sous P, et à gauche sous P0 .
428
Proposition 1.4. — Soient S un schéma non vide, (G, T, M, R) un S-groupe réductif
déployé, R0 une partie de R. Les conditions suivantes sur R0 sont équivalentes :
L`
α
est l’algèbre de Lie d’un sous-groupe parabolique de G
(i) gR0 = t
α∈R0 g
contenant T (nécessairement unique, Exp. XXII, 5.3.5).
(ii) R0 est de type (R) (Exp. XXII, 5.4.2) et contient un système de racines positives.
(iii) R0 est une partie close de R et vérifie : si α ∈ R − R0 , alors −α ∈ R0 (c.-à-d.,
R = R0 ∪ (−R0 )).
(iv) Il existe un système de racines simples ∆, et une partie A de ∆ tels que R0 soit
la réunion de l’ensemble des racines positives et de l’ensemble des racines négatives
combinaisons linéaires des éléments de A.
(v) R0 contient un système de racines simples de R ; de plus, si ∆ ⊂ R0 est un
système de racines simples de R et si on pose
A = (−R0 ) ∩ ∆,
alors R0 est la réunion de l’ensemble des racines positives et de l’ensemble des racines
négatives combinaisons linéaires des éléments de A.
429
On a (i) ⇔ (ii) par Exp. XXII, 5.4.5 (ii) et 5.5.1. On a (iii) ⇒ (ii) par Exp. XXI,
3.3.6 et Exp. XXII, 5.4.7. On a évidemment (v) ⇒ (iv) ⇒ (iii). On a (iii) ⇒ (v) par
Exp. XXI, 3.3.6 et 3.3.10.
Il reste donc à prouver que (i) entraı̂ne que R0 est une partie close de R. Or cette
dernière assertion peut se vérifier sur une fibre géométrique quelconque ; on peut donc
supposer que S est le spectre d’un corps algébriquement clos.
Soit P le sous-groupe parabolique de G contenant T dont l’algèbre de Lie est gR0 .
Comme les sous-groupes de Borel de P sont les sous-groupes de Borel de G contenus
dans P, il résulte de Bible, § 12.3, th. 1, et de Exp. XXII, 5.4.5 (i), que si on note U le
radical unipotent de P, alors T · U est le sous-groupe de G contenant T d’algèbre de
Lie
a
gR00 = t ⊕
gα ,
α∈R00
1. RAPPELS. SOUS-GROUPES DE LEVI
281
où R00 est l’intersection des systèmes de racines positives de R contenus dans R0 . Il en
résulte en particulier que R00 est close et que R00 ∩ (−R00 ) = ∅. D’autre part, le groupe
H = P/U est réductif, l’image canonique T de T en est un tore maximal (T → T est
un isomorphisme), et on a un isomorphisme de T-modules, i.e. d’espaces vectoriels
gradués de type M
L a α
Lie(H) ' t
g ,
α∈Rs
00
0
où Rs est le complémentaire de R dans R . Il s’ensuit que Rs s’identifie naturellement
à l’ensemble des racines de H relativement à T, et en particulier vérifie Rs = −Rs . Il
s’ensuit aussitôt que l’on a
R00 = {α ∈ R0 , − α 6∈ R0 },
Rs = {α ∈ R0 , − α ∈ R0 }.
Montrons maintenant que R0 est clos. Soient α, β ∈ R0 tels que α + β ∈ R ; prouvons
que α + β ∈ R0 . Si α, β ∈ R00 , alors α + β ∈ R00 car R00 est clos. Si α ∈ Rs , β ∈ R00 , et si
α + β 6∈ R0 , alors α + β ∈ −R00 , et on a −α = −(α + β) + β ∈ R00 car R00 est clos, ce qui
entraı̂ne −α ∈ R0 , donc −α ∈ Rs , et contredit le fait que Rs ∩ R00 = ∅. Il reste donc à
étudier le cas où α, β ∈ Rs . Si α + β 6∈ R0 , alors α + β ∈ −R00 . Mais, comme α + β 6= 0,
il existe un système de racines positives du système de racines Rs contenant α et β,
donc un sous-groupe de Borel de H = P/U contenant l’image canonique de Uα et Uβ .
Son image inverse dans P est un sous-groupe de Borel contenant Uα , Uβ et U, donc
Uα , Uβ et U−(α+β) , ce qui est impossible.
Corollaire 1.5. — Un sous-groupe parabolique d’un groupe réductif est de type (RC) 430
(Exp. XXII, 5.11.1).
Proposition 1.6 (Exp. XXII, 5.11.4). — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif,
P un sous-groupe de type (RC) (3) de G.
(i) P possède un plus grand sous-schéma en groupes invariant, lisse et de présentation finie sur S, à fibres géométriques connexes et unipotentes. C’est un sous-groupe
caractéristique de P, appelé le radical unipotent de P, noté radu (P). Le faisceauquotient P/ radu (P) est représentable par un S-groupe réductif.
(ii) Si T est un tore maximal de P, P possède un sous-groupe réductif L contenant
T, tel que :
(a) Tout sous-groupe réductif de P contenant T est contenu dans L.
(b) P est le produit semi-direct L · radu (P), i.e. le morphisme canonique
L → P/ radu (P) est un isomorphisme.
De plus, L est l’unique sous-groupe (resp. sous-groupe réductif ) de P, contenant T et
vérifiant (b) (resp. (a)). Enfin, on a
NormP (L) = L,
(3) N.D.E.
NormP (T) = NormL (T).
: On a remplacé « sous-groupe parabolique » par « sous-groupe de type (RC) », comme
dans Exp. XXII, 5.11.4, car il sera utile plus loin (4.5.1, 6.17) de pouvoir appliquer cet énoncé à
P ∩ P0 , lorsque P, P0 sont deux sous-groupes paraboliques tels que P ∩ P0 soit de type (RC).
282
431
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
1.7. Un sous-groupe L de P vérifiant la condition (b) ci-dessus est appelé un sousgroupe de Levi de P. C’est un sous-groupe réductif maximal de P ; en effet, il est
réductif, car isomorphe à P/ radu (P), montrons qu’il est maximal pour cette propriété ;
soit L0 un sous-groupe réductif de P contenant L ; pour prouver que L0 = L, on peut
raisonner localement pour la topologie (fpqc), et donc supposer que L possède un tore
maximal T, et on est ramené à 1.6 (ii).
Si L et L0 sont deux sous-groupes de Levi de P, L et L0 sont conjugués dans P,
localement pour la topologie (fpqc). En effet, localement pour cette topologie, on peut
supposer que L (resp. L0 ) possède un tore maximal T (resp. T0 ) ; comme T et T0 sont
conjugués dans P localement pour la topologie (fpqc), on peut supposer T = T0 , et
on a alors L = L0 , par 1.6 (ii). Mais comme P = L · radu (P) et NormP (L) = L, on en
déduit aussitôt :
Corollaire 1.8. — Soit P un sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe réductif G. Si
L et L0 sont deux sous-groupes de Levi de P, il existe un unique u ∈ radu (P)(S) tel
que int(u)L = L0 .
Notons Lev(P) le foncteur des sous-groupes de Levi de P : pour S0 → S, Lev(P)(S0 )
est l’ensemble des sous-groupes de Levi de PS0 . On déduit de 1.8 :
Corollaire 1.9. — Soit P un sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe réductif G. Alors
Lev(P) est un fibré principal homogène sous le S-groupe radu (P), et en particulier est
représentable par un S-schéma lisse et affine sur S, à fibres géométriques intègres.
Il résulte immédiatement de 1.6 :
Corollaire 1.10. — Soit P un sous-groupe de type (RC) (4) du S-groupe réductif G. Le
foncteur Tor(P) des tores maximaux de P est représentable par un S-schéma lisse et
affine, la « relation L ⊃ T » définit un morphisme
Tor(P) −→ Lev(P),
la fibre de ce morphisme au-dessus de L ∈ Lev(P)(S) s’identifie à Tor(L) (Exp. XXII,
5.8.3).
La première assertion de 1.10 est conséquence des deux autres et de Exp. XXII,
5.8.3.
432
Définition 1.11. — Soient S un schéma non vide, G un S-groupe réductif, P un sousgroupe parabolique de G, E = (T, M, R, ∆, (Xα )α∈∆ ) un épinglage de G. On dit que
E est adapté à P, ou que E est un
` épinglage du couple (G, P) si P ⊃ T et si l’algèbre
de Lie de P est de la forme t ⊕ α∈R0 gα , où R0 est une partie de R contenant R+ .
En particulier, si T ⊂ B est le couple de Killing défini par l’épinglage, on a
T ⊂ B ⊂ P.
Sous les conditions précédentes, on note ∆(P) = ∆ ∩ (−R0 ) ; alors, par Exp. XXII,
5.4.3, on a :
α ∈ ∆(P)
(4) N.D.E.
⇐⇒
: cf. la N.D.E. (3).
α ∈ ∆ et U−α ⊂ P
⇐⇒
α ∈ ∆ et U−α ∩ P 6= e.
1. RAPPELS. SOUS-GROUPES DE LEVI
283
Il résulte aussitôt de 1.4 (v) et Exp. XXII, 5.11.3 et 5.10.6 :
Proposition 1.12. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G, (T, M, R, ∆, (Xα )α∈∆ ) un épinglage de G adapté à P, ∆(P) la partie
de ∆ définie ci-dessus.
(i) Le radical unipotent radu (P) de P n’est autre que
Y
Uα ,
UR00 =
α∈R00
00
où R est l’ensemble des racines positives qui dans leur décomposition sur ∆,
contiennent au moins un élément de ∆ − ∆(P) (5) avec un coefficient non nul.
(ii) L’unique sous-groupe de Levi L de P contenant T n’est autre que
où T∆(P)
Z∆(P) = CentrG (T∆(P) ),
T
est le tore maximal de α∈∆(P) Ker(α) ; de plus on a T∆(P) = rad(L).
Corollaire 1.13. — Tout sous-groupe de Levi L du sous-groupe parabolique P du groupe 433
réductif G est un sous-groupe critique de G, i.e. vérifie (Exp. XXII, 5.10.4) :
L = CentrG (rad(L)).
Cela résulte aussitôt de 1.12 et du lemme suivant, contenu dans 1.4 et Exp. XXII,
5.4.1 :
Lemme 1.14. — Localement pour la topologie étale, tout couple (G, P), où P est un
sous-groupe parabolique du groupe réductif G, peut être épinglé (1.11).
Notons :
Proposition 1.15. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G, E et E 0 deux épinglages de G adaptés à P. L’ unique automorphisme
intérieur de G sur S qui transforme E en E 0 (Exp. XXIV, 1.5) provient de P, par le
morphisme
P −→ P/ Centr(P) = P/ Centr(G) −→ G/ Centr(G).
En effet, il suffit de raisonner comme dans Exp. XXIV, 1.5, en utilisant :
Lemme 1.16 (Exp. XXII, 5.3.14 et 5.2.6). — Les tores maximaux (resp. sous-groupes
de Borel, resp. couples de Killing) d’un sous-groupe parabolique P du S-groupe réductif
G sont conjugués dans P, localement pour la topologie étale.
Proposition 1.17. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et P0 deux sousgroupes paraboliques de G, B un sous-groupe de Borel contenu dans P et P0 . Si P et
P0 sont conjugués dans G, localement pour la topologie étale, alors P = P0 .
En effet, on peut supposer qu’il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P = P0 . Alors B et 434
(5) N.D.E.
: On a corrigé ∆(P) en ∆ − ∆(P).
284
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
int(g)−1 B sont deux sous-groupes de Borel de P. Quitte à étendre S, on peut par 1.16,
supposer qu’il existe p ∈ P(S) tel que int(p) int(g −1 )B = B. Alors
p g −1 ∈ NormG (B)(S) = B(S),
et g ∈ B(S) · p ⊂ P(S), donc P0 = int(g)P = P.
Remarque 1.18. — Si P et P0 sont deux sous-groupes paraboliques de G contenant un
même sous-groupe de Borel, alors P ∩ P0 est encore un sous-groupe parabolique de
G. En effet, il est lisse le long de la section unité (Exp. XXII, 5.4.5), et il contient un
sous-groupe de Borel.
Proposition 1.19. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, G0 son groupe dérivé
(Exp. XXII, 6.2.1).
(i) Les applications
P 7→ P0 = P ∩ G0
et
P 7→ P0 · rad(G) = NormG (P0 )
sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G et l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G0 . On a radu (P) =
radu (P0 ).
(ii) Soient P un sous-groupe parabolique de G et P0 = P ∩ G0 . Les applications
L 7→ L0 = L ∩ G0 = L ∩ P0
L0 7→ L0 · rad(G) = CentrG (rad(L0 ))
sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sous-groupes de
Levi de P et l’ensemble des sous-groupes de Levi de P0 . De plus, on a rad(L0 ) =
(rad(L) ∩ G0 )0 .
435
La démonstration (par réduction au cas déployé, par exemple) se fait sans difficulté
et est laissée au lecteur, ainsi que celle, immédiate de :
Proposition 1.20. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G, L un sous-groupe de Levi de P. Les applications
Q 7→ Q ∩ L = Q0 ,
Q0 7→ Q0 · radu (P)
sont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des sous-groupes
paraboliques de G contenus dans P et l’ensemble des sous-groupes paraboliques de L.
De plus, les sous-groupes de Levi de Q0 sont les sous-groupes de Levi de Q contenus
dans L.
On peut compléter 1.6 de la manière suivante :
Proposition 1.21. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G.
(i) P possède un plus grand sous-groupe invariant, lisse et de présentation finie
sur S, à fibres géométriques connexes et résolubles. C’est un sous-groupe caractéristique de P, appelé le radical de P, et noté rad(P). Le faisceau-quotient P/ rad(P) est
représentable par un S-groupe semi-simple.
2. STRUCTURE DU RADICAL UNIPOTENT D’UN SOUS-GROUPE PARABOLIQUE
285
(ii) Si L est un sous-groupe de Levi de P, rad(P) est le produit semi-direct de
radu (P) et de rad(L) ; on a rad(L) = L ∩ rad(P), donc L = CentrG (L ∩ rad(P)), et
P/ rad(P) ' L/ rad(L).
En effet, l’assertion (i) étant locale, on peut supposer que G possède un sous-groupe
de Levi L, et on est ramené à prouver que R = radu (P) · rad(L) possède les propriétés
annoncées dans (i), ce qui est immédiat. Pour (ii), il ne reste plus qu’à démontrer que 436
rad(L) = L ∩ rad(P), ce qui résulte aussitôt du fait que L ∩ rad(P) est lisse et à fibres
connexes, L étant le centralisateur d’un tore.
2. Structure du radical unipotent d’un sous-groupe parabolique
Proposition 2.1. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G, radu (P) son radical unipotent. Il existe une suite de sous-schémas
en groupes de radu (P)
radu (P) = U0 ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ · · · ⊃ Un ⊃ · · ·
possédant les propriétés suivantes :
(i) Chaque Ui est lisse, à fibres connexes, caractéristique et fermé dans P. Le commutateur d’une section de Ui et d’une section de Uj est une section de Ui+j+1 (sur
un S0 → S variable).
(ii) Pour chaque i > 0, il existe un OS -module localement libre Ei et un isomorphisme de S-faisceaux en groupes
∼
Ui /Ui+1 −→ W(Ei ).
De plus, les automorphismes de P (sur un S0 → S variable) opèrent linéairement sur
W(Ei ).
(iii) Pour tout s ∈ S, on a Un, s = e pour n > dim(radu (P)s ).
2.1.1. — Supposons d’abord le couple (G, P) épinglable. Soit (T, M, R, ∆, . . .) un épinglage de G adapté à P ; soit ∆(P) la partie de ∆ définie par P. Soient α1 , . . . , αp les 437
éléments de ∆(P), β1 , . . . , βq les éléments de ∆ − ∆(P). Toute racine γ ∈ R s’écrit de
manière unique
γ = a1 α1 + · · · + ap αp + b1 β1 + · · · + bq βq .
Posons
a(γ) = b1 + · · · + bq .
(6)
Il résulte aussitôt des définitions les propriétés suivantes (cf. 1.12) :
(i) Uγ ⊂ P ⇔ a(γ) > 0.
(ii) Uγ ⊂ radu (P) ⇔ a(γ) > 0.
(iii) a(nγ + mγ 0 ) = n a(γ) + m a(γ 0 )
pour tout n, m ∈ Z.
(6) N.D.E.
: On a corrigé a1 + · · · + ap en b1 + · · · + bq .
286
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Pour i > 0, soit Ri l’ensemble des racines γ ∈ R telles que a(γ) > i. Chaque Ri est
un ensemble clos de racines vérifiant Ri ∩ (−Ri ) = ∅. Considérons (Exp. XXII, 5.6.5)
le S-groupe
Y
Ui = URi =
Uγ .
γ∈Ri
C’est un sous-schéma en groupes fermé de G, lisse sur S, à fibres connexes.
Soient α, β ∈ R, considérons la relation de commutation de Exp. XXII, 5.5.2
Y
pα (x)pβ (y)pα (−x) = pβ (y)
pnα+mβ (Cn,m,α,β xn y m ),
n,m∈N∗
438
∼
où chaque pγ est un isomorphisme de groupes vectoriels Ga, S −→ Uγ . Remarquons
d’abord que si a(α) > i et a(β) > j, on a
a(nα + mβ) = n a(α) + m a(β) > n(i + 1) + m(j + 1) > i + j + 1
lorsque n et m sont > 0. Il s’ensuit que le commutateur d’une section de Uα et d’une
section de Uβ est une section de Ui+j+1 (sur un S0 → S variable), ce qui entraı̂ne bien
(Ui , Uj ) ⊂ Ui+j+1 . Pour chaque i > 0, le quotient Ui /Ui+1 est donc commutatif, il
s’identifie naturellement à
Y
Ui /Ui+1 '
Uγ ' W(Ei ),
a(γ)=i+1
γ
où Ei est la somme directe des g pour a(γ) = i + 1.
Revenons à la formule de commutation ci-dessus, et supposons a(α) > 0, a(β) > i.
Si n, m ∈ N∗ ,
– ou bien a(nα + mβ) > i + 1
– ou bien a(nα + mβ) = i + 1, auquel cas on a nécessairement m = 1.
Cela prouve d’abord que int(pα (x)) respecte Ui (donc aussi Ui+1 ), puis que dans l’expression de int(pα (x))pβ (y) n’interviennent modulo Ui+1 que des termes de la forme
pnα+β (Cn,1,α,β xn y) qui sont donc linéaires en y. Il s’ensuit que les automorphismes
intérieurs définis par des sections de Uα opèrent linéairement dans le quotient Ui /Ui+1
identifié à W(Ei ). Comme c’est également trivialement vrai pour les automorphismes
intérieurs définis par des sections de T, et que P est engendré par T et les Uα , a(α) > 0,
on en déduit que :
(i) chaque Ui est invariant dans P,
(ii) les automorphismes intérieurs définis par des sections de P opèrent linéairement
dans Ui /Ui+1 ' W(Ei ).
439
2.1.2. — Soit maintenant (T0 , M0 , R0 , ∆0 , . . .) un nouvel épinglage de G adapté à P.
En vertu de 1.15, il existe un automorphisme intérieur de G provenant de P transformant l’ancien épinglage en le nouveau. Quitte à étendre S, on peut supposer que cet
automorphisme intérieur est de la forme int(p), p ∈ P(S). Si l’on reprend les constructions précédentes à l’aide du nouvel épinglage, il est clair que les groupes U0i et les
isomorphismes U0i /U0i+1 ' W(Ei0 ) obtenus se déduisent de Ui et Ui /Ui+1 ' W(Ei ) par
transport de structure à l’aide de int(p). Il résulte des remarques (i) et (ii) ci-dessus
2. STRUCTURE DU RADICAL UNIPOTENT D’UN SOUS-GROUPE PARABOLIQUE
287
que l’on aura donc U0i = Ui , et que les deux structures vectorielles construites sur
Ui /Ui+1 = U0i /U0i+1 coı̈ncident.
Cela nous montre que les groupes Ui et les structures vectorielles sur les quotients
Ui /Ui+1 sont indépendants de l’épinglage considéré (et en particulier invariants par
tout automorphisme de P, comme on le voit aisément).
On a donc démontré la proposition lorsque le couple (G, P) est épinglable (la partie
(iii) est triviale, car d’après Exp. XXI 3.1.2, l’ensemble {a(γ) | γ ∈ R} est un intervalle
de Z, donc on ne peut avoir dim(Ui, s ) = dim(Ui+1, s ) que si Ui, s = e).
2.1.3. — Dans le cas général, il existe une famille couvrante pour la topologie (fpqc),
{Sj → S}, telle que chaque couple (GSj , PSj ) soit épinglable (1.14). En vertu de
ce qui précède, on a des données de descente sur les radu (PSj )i , compatibles avec
les structures vectorielles des quotients, et on conclut par descente des sous-schémas
fermés (resp. des modules localement libres). (7)
Corollaire 2.2. — Soient S un schéma affine, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G. On a
H1 (S, radu (P)) = 0,
i.e. tout fibré principal homogène sous radu (P) est trivial.
En effet, S se décompose en somme de sous-schémas sur chacun desquels radu (P) 440
est de dimension relative constante. On peut donc par (iii) supposer qu’il existe un n
tel que Un = e. Comme H1 (S, Ui /Ui+1 ) = H1 (S, W(Ei )) = 0 par TDTE I, B, 1.1 (ou
SGA 1, XI 5.1), on conclut aussitôt.
Corollaire 2.3. — Sous les conditions précédentes, P possède un sous-groupe de Levi
L. Si L est un sous-groupe de Levi de P, l’application canonique
H1 (S, L) −→ H1 (S, P)
est bijective (cf. l’introduction de Exp. XXIV pour la définition de H1 (S, )).
La première assertion résulte de 2.2 et 1.9. L’application canonique H1 (S, L) →
H (S, P) est surjective, car P est le produit semi-direct L · radu (P). Pour prouver
qu’elle est injective, il suffit de voir que pour tout fibré principal homogène Q sous L,
on a H1 (S, radu (P)Q ) = 0, où l’indice Q désigne l’opération de torsion par le L-fibré Q.
Ceci peut se prouver de deux manières : on peut reprendre la démonstration de 2.2, en
utilisant le fait que les structures vectorielles sur les Ui /Ui+1 sont invariantes par L ;
on peut aussi remarquer que radu (P)Q s’identifie au radical unipotent du sous-groupe
parabolique PQ de GQ , et appliquer 2.2 à PQ .
1
Corollaire 2.4. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P un sousgroupe parabolique de G. Il existe un tore maximal T de G contenu dans P.
En effet, vu 2.3, P possède un sous-groupe de Levi L, et il suffit de prouver que L
possède un tore maximal, ce qui résulte de Exp. XIV, 3.20.
(7) N.D.E.
: cf. SGA 1, VIII 1.3, 1.9 et 1.10.
288
441
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Corollaire 2.5. — Soient S un schéma affine, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G. Il existe un OS -module localement libre E tel que radu (P) soit isomorphe comme S-schéma à W(E ).
En effet, prouvons par récurrence sur i, que l’on a un isomorphisme de S-schémas
radu (P)/Ui ' W(E0 ⊕ E1 ⊕ · · · ⊕ Ei−1 ).
C’est clair pour i = 0. Supposons i > 0, alors radu (P)/Ui est un fibré principal
homogène de base radu (P)/Ui−1 , sous le groupe
(Ui−1 /Ui )radu (P)/Ui−1 ' W(Ei−1 ⊗ Oradu (P)/Ui−1 ).
Or la base est affine (par exemple par l’hypothèse de récurrence), donc ce fibré est
trivial (TDTE I ou SGA 1 XI, loc. cit.), et il existe un isomorphisme de S-schémas
radu (P)/Ui ' (radu (P)/Ui−1 ) ×S (Ui−1 /Ui ), ce qui achève la démonstration.
Corollaire 2.6. — Soient S un schéma semi-local, {si } l’ensemble de ses points fermés,
G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G. L’application canonique
Y
radu (P)(S) −→
radu (P)(Spec κ(si ))
i
est surjective.
En effet, si S = Spec(A), κ(si ) = A/pi , et si E est donné par le module projectif
(donc plat) E, il nous faut prouver que l’application
Y
E −→
E ⊗A A/pi
i
est surjective. Il suffit de le faire lorsque E = A, auquel cas c’est bien connu
(cf. Bourbaki, Alg. Comm. Chap. II, § 1, n◦ 2, proposition 5).
442
Corollaire 2.7. — Soient k un corps infini, G un k-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G ; alors radu (P)(k) est dense dans radu (P).
Corollaire 2.8. — Soient S un schéma semi-local, {si } l’ensemble de ses points fermés,
G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G, et Li un sous-groupe de
Levi de Psi pour chaque i. Il existe un sous-groupe de Levi L de P induisant Li pour
chaque i.
Soit en effet L0 un sous-groupe de Levi de P (2.3). Soit, pour chaque i, ui ∈
radu (P)(Spec(κ(si ))) tel que int(ui )L0, si = Li (1.8) ; si u ∈ radu (P)(S) induit ui pour
chaque i (2.6), alors L = int(u)L0 répond à la question.
Corollaire 2.9. — Dans la situation de 2.1, soit de plus H un sous-schéma en groupes
de G, lisse et de présentation finie sur S, à fibres connexes, tel que P ∩ H contienne
localement pour la topologie (fpqc) un tore maximal de G. Alors pour chaque i > 0,
il existe un sous-module localement facteur direct Fi de Ei tel que l’isomorphisme
∼
Ui /Ui+1 −→ W(Ei ) induise un isomorphisme de groupes
∼
(Ui ∩ H)/(Ui+1 ∩ H) −→ W(Fi ).
3. SCHÉMA DES SOUS-GROUPES PARABOLIQUES D’UN GROUPE RÉDUCTIF
289
En effet, H est un sous-groupe de type (R) de G (Exp. XXII, 5.2.1). D’autre part,
l’assertion à démontrer est locale pour la topologie (fpqc), et on peut supposer G
déployé relativement à un tore maximal de P ∩ H ; on peut même se ramener dans
la situation de 2.1.1, H étant défini par une partie R0 de R. Q
Reprenant les notations
de loc. cit., on voit par Exp. XXII,
5.6.7
(ii)
que
U
i ∩H =
α∈Ri ∩R0 Uα , donc que
Q
(Ui ∩ H)/(Ui+1 ∩ H) s’identifie à α∈R0 ,a(α)=i+1 Uα , ce qui entraı̂ne le résultat.
Corollaire 2.10. — Dans la situation de 2.9, les conclusions de 2.2, 2.5, 2.6, 2.7 sont 443
également valables en remplaçant radu (P) par radu (P) ∩ H.
Corollaire 2.11. — (8) Soient G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique,
H un sous-groupe de type (RC) de P tel que radu (H) = radu (P) ∩ H. Alors les énoncés
2.2 à 2.8 sont également valables en remplaçant P par H.
3. Schéma des sous-groupes paraboliques d’un groupe réductif
3.1. Soit E un S-schéma constant tordu fini (Exp. X, 5.1). Considérons le S-foncteur
Of(E), où Of(E)(S0 ) est l’ensemble des sous-schémas ouverts et fermés de ES0 (ou, ce
qui revient au même, l’ensemble des parties ouvertes et fermées de ES0 ) ; alors Of(E)
est représentable par un S-schéma constant tordu fini. En effet, si E = AS , où A est
un ensemble fini, on a aussitôt Of(E) ' P(A)S (où P(A) désigne l’ensemble des
parties de A), et on conclut par descente des sous-schémas ouverts et fermés. On a
évidemment :
Of(ES0 ) = Of(E)S0 ,
Of(E × E0 ) = Of(E) × Of(E0 ).
S
S
3.2. Soient S un schéma, G un S-groupe réductif. Le foncteur Par(G) des sousgroupes paraboliques de G est défini par
Par(G)(S0 ) = ensemble des sous-groupes paraboliques de GS0 .
En particulier G ∈ Par(G)(S), Bor(G) ⊂ Par(G). Nous nous proposons de définir
un morphisme
t : Par(G) −→ Of(Dyn(G))
possédant les propriétés suivantes :
(i) t est fonctoriel en G (par rapport aux isomorphismes) et commute à l’extension
de la base.
(ii) Si (T, M, R, ∆, . . .) est un épinglage de G adapté au sous-groupe parabolique
P (1.11), l’isomorphisme canonique Dyn(G) ' ∆S (Exp. XXIV, 3.4 (iii)) transforme
t(P) en ∆(P)S (notations de 1.11, 1.12).
Soit d’abord P un sous-groupe parabolique de G et (T, M, R, ∆, . . .) un épinglage 444
de G adapté à P. On définit t(P) par (ii) ; le sous-schéma t(P) de Dyn(G) ainsi
construit est indépendant de l’épinglage choisi. En effet, si (T0 , M0 , R0 , ∆0 , . . .) est un
autre épinglage de G adapté à P, l’unique automorphisme intérieur de G transformant
(8) N.D.E.
: On a ajouté le corollaire 2.11, qui sera utilisé en 4.5.1 et 6.17.
290
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
le premier épinglage en le second provient de P (1.15) ; l’isomorphisme canonique
∼
∆ −→ ∆0 transforme donc ∆(P) en ∆0 (P), ce qui entraı̂ne le résultat annoncé.
Si maintenant on ne suppose plus nécessairement (G, P) épinglable, il résulte aussitôt de 1.14 et de la définition de Dyn(G) (Exp. XXIV, 3.3) que l’on peut définir par
descente un sous-schéma ouvert et fermé t(P) de Dyn(G), unique, tel que pour tout
S0 → S tel que (G, P)S0 soit épinglable, on ait t(P)S0 = t(PS0 ).
Théorème 3.3. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif,
t : Par(G) −→ Of(Dyn(G))
le morphisme défini ci-dessus.
(i) Pour que deux sous-groupes paraboliques P et P0 de G soient conjugués localement pour la topologie (fpqc) (cf. 1.3), il faut et il suffit que t(P) = t(P0 ).
(ii) Par(G) est représentable, et le morphisme t est lisse, projectif, à fibres géométriques intègres.
445
En vertu de 3.2 (i), et du fait que les automorphismes intérieurs de G opèrent
trivialement sur Dyn(G) (Exp. XXIV, 3.4 (iv)), on a bien t(P) = t(P0 ) lorsque P et
P0 sont conjugués. Réciproquement, soient P et P0 deux sous-groupes paraboliques de
G tels que t(P) = t(P0 ) ; prouvons que P et P0 sont conjugués dans G, localement pour
la topologie (fpqc) ; on peut d’abord supposer les couples (G, P) et (G, P0 ) épinglables
(1.14) ; par conjugaison des épinglages dans G (Exp. XXIV, 1.5), on peut supposer
qu’il existe un épinglage (T, M, R, ∆) de G adapté à P et P0 . Alors t(P) = t(P0 )
implique ∆(P) = ∆(P0 ), donc P = P0 (cf. 1.4 (v)). On a donc prouvé (i). Pour
démontrer (ii), reprenons les notations de Exp. XXII, 5.11.5. (9)
On a un morphisme canonique Par(G) → Hc , et il est clair (par exemple par
réduction au cas épinglé) qu’il se place dans un carré cartésien (où les flèches verticales
sont des monomorphismes)
Par(G)
Ä_
²
Hc
t
c`
/ Of(Dyn(G))
Ä_
²
/ C`c .
Or (loc. cit.) Hc est représentable et le morphisme c` est lisse, quasi-projectif, de
présentation finie, à fibres géométriques intègres, donc il en est de même de t.
Il reste à prouver que t est propre ; mais c’est maintenant une assertion locale pour
la topologie (fpqc), et on peut se ramener au cas épinglé G = (G, T, M, R, ∆, . . .).
On a alors Dyn(G) ' ∆S , et il suffit de prouver que pour toute partie ∆1 de ∆, le
S-schéma t−1 ((∆1 )S ) est propre sur S. Or si P1 est le sous-groupe parabolique de G
contenant T tel que ∆(P1 ) = ∆1 , il résulte de (i) que le morphisme G → Par(G)
(9) N.D.E.
: On rappelle (cf. loc. cit.) que Hc = Hc (G) désigne le foncteur des sous-groupes de G
de type (RC), C`c = C`c (G) le foncteur des « classes de conjugaison » de tels sous-groupes, et que
c` : Hc → C`c est la projection canonique.
3. SCHÉMA DES SOUS-GROUPES PARABOLIQUES D’UN GROUPE RÉDUCTIF
291
défini ensemblistement par g 7→ int(g)P1 induit un isomorphisme de G/ NormG (P1 )
sur t−1 ((∆1 )S ). Or, d’après 1.2, G/ NormG (P1 ) = G/P1 est projectif sur S.
Définition 3.4. — Of(Dyn(G)) est appelé le schéma des types de paraboliques de G ;
t(P) est appelé le type de P.
Corollaire 3.5. — Le S-foncteur Par(G) est représentable par un S-schéma lisse et
projectif sur S. La décomposition
Par(G) −→ Of(Dyn(G)) −→ S
est la factorisation de Stein (EGA III, 4.3.3) du morphisme structural Par(G) → S.
446
Corollaire 3.6. — Pour chaque t ∈ Of(Dyn(G))(S), le S-schéma
Part (G) = t−1 (t)
des sous-groupes paraboliques de G de type t est lisse et projectif sur S, homogène
sous G. Si P est un sous-groupe parabolique de G, on a un isomorphisme canonique
∼
∼
G/P −→ Part(P) (G). On a Par∅ (G) = Bor(G), ParDyn(G) (G) −→ S.
Remarque 3.7. — Le S-schéma Of(Dyn(G)) est muni d’une structure d’ordre naturelle
(relation de domination, ici d’inclusion ensembliste, entre sous-schémas). Cette structure d’ordre est réticulée, en particulier la borne inférieure de deux sous-schémas ouverts et fermés de Dyn(G)S0 est évidemment leur intersection. Remarquons d’ailleurs
que si B est un sous-groupe de Borel de G, on peut définir le foncteur X des sousgroupes paraboliques de G contenant B. Le morphisme X → Of(Dyn(G)) induit par t
est un isomorphisme (pour la structure de « schéma ordonné » ), en vertu de l’assertion
P ⊂ Q ⇒ t(P) ⊂ t(Q) et de :
Lemme 3.8. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G, t0 une section de Of(Dyn(G)) sur S, telle que t(P) ⊂ t0 . Il existe un
unique sous-groupe parabolique P0 de G, contenant P, et tel que t(P0 ) = t0 .
Quitte à étendre la base, on peut supposer que P contient un sous-groupe de Borel
B de G. L’unicité de P0 résulte alors de 1.17. Pour démontrer l’existence, on peut se
placer dans le cas déployé, auquel cas l’assertion est évidente, cf. n◦ 1.
Remarques 3.8.1. — (i) L’assertion analogue à 3.8 obtenue en renversant les inclusions
est évidemment fausse. Elle entraı̂nerait par exemple que tout groupe de type A1
possède un sous-groupe de Borel, ce qui n’est pas, cf. Exp. XX, n◦ 5.
(ii) Il résulte aussitôt de ce qui précède que t(P) ⊂ t(Q) signifie que localement
pour (fpqc) ou (ét), P est conjugué à un sous-groupe de Q (il suffit d’ailleurs de
vérifier l’assertion sur les fibres géométriques). De plus, on verra au n◦ 5 que l’on peut
remplacer la topologie étale par la topologie de Zariski.
447
292
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
3.9. Les discussions précédentes peuvent se reprendre dans le cas des sous-groupes
critiques. Rappelons (Exp. XXII, 5.10.4 et 5.10.5) qu’un sous-groupe réductif H
du groupe réductif G est critique si H = CentrG (rad(H)), qu’un sous-tore Q de
G est un tore C-critique si Q = rad(CentrG (Q)) et que sous-groupes critiques
et tores C-critiques (10) sont en correspondance biunivoque (par H 7→ rad(H) et
Q 7→ CentrG (Q)).
Si (G, T, M, R) est un S-groupe déployé, le sous-groupe de G contenant T correspondant à la partie R0 de R (Exp. XXII, 5.4.2) est critique si et seulement si R0 est
« vectorielle » (c’est-à-dire intersection de R avec un sous-espace vectoriel de M ⊗ Q),
cf. Exp. XXII, 5.10.6.
Si G est un S-groupe réductif quelconque, on définira comme dans Exp. XXII,
5.11.5, un S-schéma étale fini C`crit , qui dans le cas déployé sera le schéma constant
associé à l’ensemble des parties vectorielles de R modulo l’action du groupe de Weyl. Si
Crit(G) désigne le « foncteur des sous-groupes critiques » de G, on aura un morphisme
c`
canonique Crit(G) −→ C`crit , qui se placera dans un diagramme cartésien
Crit(G)
Ä_
²
Hc
448
c`
c`
(11)
/ C`crit
Ä_
²
/ C`c .
Proposition 3.10. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, Crit(G) le foncteur
de ses sous-groupes critiques, C`crit et c` : Crit(G) → C`crit le S-schéma étale fini et
le morphisme définis ci-dessus.
(i) Pour que les sous-groupes critiques H et H0 de G soient conjugués (localement
pour la topologie (fpqc), il faut et il suffit que c`(H) = c`(H0 ).
(ii) Crit(G) est représentable et le morphisme c` est lisse, affine, à fibres géométriques intègres.
Cela se démontre comme 3.3 excepté l’assertion « c` est affine ». Il suffit de prouver
que Crit(G) est affine sur S. Or Crit(G) s’identifie naturellement au S-foncteur des
tores critiques de G, et on a donc un monomorphisme canonique
Crit(G) −→ M
où M est le schéma des sous-groupes de type multiplicatif de G (Exp. XI, 4.1). Pour
prouver que Crit(G) est affine sur S, il suffit, en vertu de Exp. XII 5.3 de montrer que
ce morphisme est une immersion ouverte et fermée, où encore en faisant le changement
de base M → S, de prouver l’assertion suivante : si Q est un sous-groupe de type
multiplicatif du groupe réductif G, les S0 → S tels que QS0 soit un tore critique de
GS0 sont ceux qui se factorisent par un certain sous-schéma ouvert et fermé de S. Or
dire que Q est un tore critique, c’est dire :
(10) N.D.E.
: On a remplacé ici « tore critique » par « tore C-critique », cf. loc. cit. Dans la suite, on
écrira simplement « tore critique » au lieu de « tore C-critique ».
(11) N.D.E. : cf. 3.3, N.D.E. (9) pour les notations H et C` .
c
c
3. SCHÉMA DES SOUS-GROUPES PARABOLIQUES D’UN GROUPE RÉDUCTIF
293
(1) que Q est un tore,
(2) Q étant un tore, que rad(CentrG (Q)), qui est aussi un tore, est de même dimension relative que Q.
Or ces deux conditions sont bien du type envisagé.
Corollaire 3.11. — Le S-foncteur Crit(G) est représentable par un S-schéma lisse et 449
affine sur S.
Corollaire 3.12. — Soit H un sous-groupe critique du S-groupe réductif G. Alors
G/ NormG (H) et G/H sont représentables par des S-schémas affines et lisses sur S.
La première assertion résulte de 3.11, la seconde de la première et de Exp. XXII,
5.10.2.
Corollaire 3.13. — Soit Q un sous-tore du S-groupe réductif G. Alors G/ CentrG (Q)
est représentable par un S-schéma lisse et affine sur S. Il en est de même de
G/ NormG (Q) si Q est un sous-tore critique de G.
En effet, H = CentrG (Q) est critique (Exp. XXII, 5.10.5), et on a NormG (H) =
NormG (Q) si Q est critique (loc. cit. 5.10.8).
3.14. En vertu de la conjugaison des sous-groupes de Levi des sous-groupes paraboliques de G, il existe un morphisme unique
u : Of(Dyn(G)) −→ C`crit
tel que pour tout sous-groupe parabolique P de G, et tout sous-groupe de Levi L de
P, on ait c`(L) = u(t(P)), et que ceci soit vrai après tout changement de base.
3.15. Soient S un schéma, G un S-groupe réductif. Considérons les S-foncteurs :
(12)
PL(S0 ) = {couples P ⊃ L, P parabolique de GS0 , L sous-groupe de Levi de P};
PT(S0 ) = {couples P ⊃ T, P parabolique de GS0 , T tore maximal de P};
CT(S0 ) = {couples C ⊃ T, C sous-groupe critique de GS0 , T tore maximal de C};
PLT(S0 ) = {triplets P ⊃ L ⊃ T, (P, T) ∈ PT(S0 ), L sous-groupe de Levi de P}
On a des morphismes évidents entre ces foncteurs et les foncteurs Par(G), Crit(G), 450
Tor(G) déjà introduits, et on a un diagramme commutatif en forme de cube tronqué
(voir la figure suivante) :
(12) N.D.E.
: On a changé LT en CT.
294
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Crit(G) o
o
jj CT
j
j
j
jjjj
ajjjj
j
j
j
jjjj (aff.)
k (ét.)
ju jjj
f (ét.)
g (ét.)
PLT
|
|
|
b ||
|
|
(aff.)
||
|~ |
o e (isom.)
PL
c` (aff.)
²
²
o
Tor(G)
C`crit
[77II
u
I
u
77 II q (ét.)
uu
77 III
uu
u
I
77
I
uu r (aff.)
77 IIII uuu
z
u
$
77
SO
u (ét.) 77
77
77
77 p (ét.)
7
t (proj.)
Of(Dyn(G))
²
PT
°°
°
(aff.)
°
d
°°
°
°
°°c (aff.)
°
°
°°
°
°°
² §°°
Par(G)
h (ét.)
Figure 3.15.1
451
Théorème 3.16. — (cf. figure 3.15.1).
(i) Tous les morphismes du diagramme sont lisses, surjectifs, et de présentation
finie.
(ii) Tous les morphismes du diagramme, à l’exception de t, sont affines ; le morphisme t est projectif.
(iii) Tous les morphismes du diagramme sont soit étales finis, soit à fibres géométriques intègres : les morphismes f , g, h, k, p, q et u sont étales finis, les morphismes
a, b, c, d, r et c` sont à fibres géométriques intègres, le morphisme e est un isomorphisme.
(iv) Le carré (a, b, f, g) est cartésien.
Démonstration. Il est d’abord clair que e est un isomorphisme, par 1.6 (ii). D’autre
part, (iv) est évident.
Le morphisme a est lisse, affine, à fibres géométriques intègres : en effet, par changement de base Crit(G) → S, il suffit de vérifier que le morphisme Tor(L0 ) → S, où L0
est le sous-groupe critique universel, possède ces propriétés ; or L0 est réductif (par
définition), et on est ramené à Exp. XXII, 5.8.3. Le morphisme b possède donc les
mêmes propriétés, en vertu de (iv).
Le morphisme d est également lisse, affine, à fibres géométriques intègres, en vertu
de 1.9 ; il en est donc de même de c = dbe−1 . Le morphisme r possède ces mêmes
propriétés (Exp. XXII, 5.8.3), de même que le morphisme c` (3.10).
3. SCHÉMA DES SOUS-GROUPES PARABOLIQUES D’UN GROUPE RÉDUCTIF
295
D’autre part, on a déjà prouvé que les morphismes p et q sont étales finis surjectifs
(3.1 et 3.9). Si nous prouvons que f et k sont étales finis surjectifs, les mêmes propriétés
seront vraies pour g (par (iv)) et pour h (car h = kge−1 ) ; comme les propriétés
énoncées de t ont été démontrées en 3.3 (ii), il ne nous reste donc plus qu’à prouver
que f (resp. k) est étale fini surjectif ; faisons la démonstration pour k, celle pour f
étant analogue.
Il nous suffit de prouver que si T est un tore maximal de G, le foncteur C des sous- 452
groupes critiques de G contenant T est représentable par un S-schéma étale fini à
fibres non vides ; on peut supposer G déployé par rapport à T ; soit alors E l’ensemble
des parties vectorielles de R (système de racines du déploiement) ; C est représentable
par ES (3.9), ce qui achève la démonstration.
Corollaire 3.17. — Tous les foncteurs du diagramme précédent sont représentables par
des S-schémas lisses sur S, et ils sont tous affines sur S, à l’exception de Par(G).
Remarque 3.18. — (i) Le fait que le morphisme f : PL → Crit(G) soit étale surjectif
entraı̂ne qu’un sous-groupe de G est critique si et seulement si il est, localement pour
la topologie étale, sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique de G.
En revanche, il ne faut pas croire qu’en général l’application f (S) : PL(S) →
Crit(G)(S) soit surjective : il peut très bien arriver qu’un sous-groupe critique C de
G ne provienne pas sur S d’un sous-groupe parabolique de G ; par exemple, un tore
maximal n’est pas toujours contenu dans un groupe de Borel (exemple : une forme
non déployée de SL2 , cf. Exp. XX, n◦ 5).
(ii) De même, il peut arriver que le morphisme u : Of(Dyn(G)) → C`crit ne soit pas
un isomorphisme : deux sous-groupes paraboliques de types distincts peuvent avoir
des sous-groupes de Levi de même type ; exemple : dans un groupe de type A2 , il
y a deux types de sous-groupes paraboliques dont les sous-groupes de Levi sont de
rang semi-simple 1 (correspondant aux deux sommets du diagramme), alors qu’il n’y
a qu’un seul type de sous-groupes critiques de rang 1.
L’exemple analogue avec un groupe de type A3 montre que, même sur un corps
algébriquement clos, des sous-groupes paraboliques non isomorphes peuvent avoir des
sous-groupes de Levi de même type. (13)
Terminons ce numéro par une application à la théorie des fibrés principaux.
Lemme 3.20. — (14) Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, F un fibré principal 453
homogène sous G, GF la forme tordue de G correspondante. Identifions Dyn(G) et
(13) N.D.E.
„ ∗ ∗ ∗ ∗ «ff
: i.e. les sous-groupes paraboliques P =
∗∗∗∗
0 0 ∗∗
0 0 0 ∗
et P0 =
„ ∗ ∗ ∗ ∗ «ff
0 ∗∗∗
0 ∗∗∗
0 0 0 ∗
sont pas isomorphes (car radu (P) 6' radu (P0 )), mais leurs sous-groupes de Levi L =
„0 0 1 0«
„ ∗ 0 0 0 «ff
0 ∗∗ 0
sont conjugués par l’élément 01 10 00 00 .
et L0 =
0 ∗∗ 0
(14) N.D.E.
0 0 0 ∗
0001
: On a conservé la numérotation de l’original : il n’y a pas de n◦ 3.19.
de GL4 ne
„ ∗ ∗ 0 0 «ff
∗∗ 0 0
0 0 ∗ 0
0 0 0 ∗
296
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Dyn(GF ) (Exp. XXIV, 3.5). Soit P un sous-groupe parabolique de G. On a un isomorphisme canonique
∼
F/P −→ Part(P) (GF ).
En particulier, pour que le groupe structural de F puisse se réduire à P, il faut et il
suffit que GF possède un sous-groupe parabolique de type t(P).
Le démonstration se fait exactement comme en Exp. XXIV, 4.2.1.
3.21. Si S est un schéma, G un S-groupe réductif, et si t ∈ Of(Dyn(G))(S), on note
H1t (S, G) la partie de H1 (S, G) formée des classes de fibrés principaux F sous G tels
que le groupe associé GF possède un sous-groupe parabolique de type t. Si G possède
lui-même un sous-groupe parabolique P de type t, H1t (S, G) n’est autre que l’image
de H1 (S, P) dans H1 (S, G), image qui ne dépend donc pas du P choisi.
4. Position relative de deux sous-groupes paraboliques
4.1. Un résultat préliminaire
Lemme 4.1.1. — Soient k un corps, G un k-groupe réductif, P et P0 deux sous-groupes
paraboliques de G.
(i) Alors P ∩ P0 est lisse, de même rang réductif que G et contient un tore maximal
T de G.
(ii) L’ensemble R0 des racines de P ∩ P0 par rapport à T est un sous-ensemble clos
de l’ensemble R des racines de G par rapport à T. (15)
454
Supposons d’abord k algébriquement clos. Soit B (resp. B0 ) un sous-groupe de Borel
de P (resp. P0 ). On sait qu’il existe g ∈ G(k) tel que int(g)B = B0 . D’autre part, si
T0 est un tore maximal de B et si on pose N = NormG (T0 ), on sait (théorème de
Bruhat, Bible, § 13.4, cor. 1 au th. 3) que G(k) = B(k)N(k)B(k). On voit donc qu’il
existe b, b1 ∈ B(k) et n ∈ N(k) tels que g = bnb1 , donc int(b) int(n)B = B0 . On a alors
P ∩ P0 ⊃ B ∩ B0 = int(b)(B ∩ int(n)B0 ) ⊃ int(b)T0 .
Supposons maintenant k quelconque. Appliquant le résultat précédent, on voit que
Pk ∩ P0k contient un tore maximal de Gk ; par Exp. XXII, 5.4.5, on en déduit que
(P ∩ P0 )k est lisse « le long de la section unité », donc lisse puisque l’on est sur un
corps (Exp. VIA 1.3.1) donc que P ∩ P0 est lisse. Par Exp. VIA 2.3.1, la composante
neutre (P ∩ P0 )0 de P ∩ P0 est donc un sous-groupe ouvert de P ∩ P0 , lisse sur S. On
peut alors lui appliquer Exp. XIV, 1.1, d’où (i).
Enfin, l’ensemble RP (resp. RP0 ) des racines de P (resp. P0 ) par rapport à T est
clos et l’on a R0 = RP ∩ RP0 , d’où (ii).
Remarque 4.1.2. — On peut prouver ([BT65], 4.5) que P ∩ P0 est connexe ;
sera utilisé en 4.5.1.
(15) N.D.E.
(16)
ceci
: On a ajouté le point (ii), qui sera utile en 4.5.1.
: Compte-tenu des détails ajoutés en 4.5.1, on a modifié ici l’original (qui indiquait « nous
n’utiliserons pas ce fait » ).
(16) N.D.E.
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
297
Remarque 4.1.3. — Le lemme précédent n’est pas vrai sur un schéma quelconque. En
effet, soit par exemple G un groupe réductif sur un corps k algébriquement clos, et
soit B un groupe de Borel de G. Prenons G = X comme base et considérons les sousgroupes de Borel B1 et B2 de GX , où B1 = BX et B2 = int(g0 )B1 , g0 étant la section
canonique (diagonale) de GX . Pour chaque g ∈ X(k), la fibre de B1 ∩ B2 en g n’est
autre que B ∩ int(g)B. Si on suppose B 6= G, la dimension de cette fibre varie avec g,
donc B1 ∩ B2 ne peut être lisse sur X.
4.2. Position transversale
Théorème 4.2.1. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sousgroupes paraboliques de G. Les conditions suivantes sur le couple (P, Q) sont équivalentes :
(i) Lie(P/S) + Lie(Q/S) = Lie(G/S).
455
(ii) Le morphisme canonique P ×S Q → G est lisse.
(ii0 ) Le morphisme canonique P → G/Q est lisse.
(iii) Le morphisme canonique P ×S Q → G est ouvert.
(iii0 ) Le morphisme canonique P → G/Q est ouvert.
(iv) Le morphisme canonique P ×S Q → G est dominant fibre par fibre.
(iv0 ) Le morphisme canonique P → G/Q est dominant fibre par fibre.
(v) Pour tout s ∈ S, « Ps ∩ Qs est de dimension minimum », i.e. on a
dim(Ps ∩ Qs ) = dim Ps + dim Qs − dim Gs .
(vi) Il existe une famille couvrante pour la topologie étale {Si → S}, et pour chaque
i un sous-groupe de Borel Bi de PSi et un sous-groupe de Borel B0i de QSi , tels que
Bi ∩ B0i soit un tore maximal de GSi .
(vii) Il existe une famille couvrante pour la topologie étale {Si → S}, et pour chaque
i un déploiement (Ti , . . . , Ri ) de GSi et un système de racines positives R+
i de Ri , tels
que PSi (resp. QSi ) soit le sous-groupe de type (R) de GSi contenant Ti et défini par
(1)
(2)
+
une partie Ri (resp. Ri ) de R contenant R+
i (resp. −Ri ) (voir Exp. XXII, 5.4.2
et 5.2.1 pour les définitions).
Démonstration. Nous allons démontrer le théorème suivant le diagramme logique
(i) ks
(vii) ks
®¶
(ii0 )
+3 (iii0 )
®¶
(ii)
+3 (iii)
(vi) ia K
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
KKK
+3 (iv0 )
+3 (v)
vv 6>
v
v
v
vvvv
vvvvv
v
v
v
vvvvv
+3 (iv)
.
On a trivialement (ii) ⇒ (iii) et (ii0 ) ⇒ (iii0 ). Si (iii) est vérifié, l’image ensembliste 456
298
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
du morphisme P ×S Q ⇒ G est un ouvert de G qui contient la section unité ; comme
les fibres de G sont connexes, cette image est dense sur chaque fibre, ce qui prouve
(iv). On a de même (iii0 ) ⇒ (iv0 ).
On a (ii0 ) ⇒ (ii), en vertu du diagramme cartésien
P ×S Q
/G
pr1
²
P
²
/ G/Q,
D’autre part (iv) ou (iv0 ) entraı̂ne (v), en vertu de la théorie de la dimension
(cf. EGA IV2 , 5.6.6). On notera que l’on peut en effet supposer S = Spec(k), k corps
algébriquement clos, et que toute fibre non vide du morphisme (iv), resp. (iv0 ), en un
point de G(k), resp. de (G/Q)(k), est isomorphe à P ∩ Q (comme le montre un calcul
immédiat).
On a (vi) ⇒ (vii), par Exp. XXII, 5.5.1 (iv) et 5.9.2.
On a (vii) ⇒ (i), car pour vérifier que Lie(P)+Lie(Q) = Lie(G), on peut raisonner
localement pour (fpqc), donc si (vii) est vérifié on peut supposer G déployé, P ⊃ BR+
et Q ⊃ B−R+ (notations habituelles), auquel cas on a déjà
Lie(BR+ ) + Lie(B−R+ ) = Lie(G).
457
Prouvons que (i) implique (ii0 ).
Soit u : P → G/Q le morphisme canonique ; pour prouver que u est lisse, on peut se
contenter de le faire pour les fibres géométriques de u, car P et G/Q sont lisses sur S,
et on peut donc supposer que S est le spectre d’un corps algébriquement clos. Comme
le morphisme u est compatible avec l’action évidente de P (on a u(pp0 ) = pu(p0 )) et
comme P est connexe, il suffit (Exp. VIA 1.3.1) de vérifier que u est lisse en e ∈ G(k),
i.e. (SGA 1, II 4.7) que l’application tangente à u en e est surjective ; mais celle-ci
s’identifie naturellement à l’application canonique Lie(P) → Lie(G)/ Lie(Q), qui
est surjective si (i) est vérifié.
Il ne nous reste plus donc qu’à vérifier la dernière assertion, c’est-à-dire (v) ⇒ (vi).
Supposons d’abord que S soit le spectre d’un corps algébriquement clos. Par 4.1.1, il
existe un tore maximal T contenu dans P et Q ; soit R (resp. R1 , resp. R2 ) l’ensemble
des racines de G (resp. P, resp. Q) relativement à T.
On a :
dim(G) = dim(T) + Card(R),
dim(P) = dim(T) + Card(R1 ),
dim(Q) = dim(T) + Card(R2 ),
dim(P ∩ Q) = dim(T) + Card(R1 ∩ R2 ),
par Exp. XXII, 5.4.4 et 5.4.5 par exemple. La condition de (v) est donc équivalente à
Card(R1 ∩ R2 ) = Card(R1 ) + Card(R2 ) − Card(R).
c’est-à-dire R1 ∪ R2 = R. Pour démontrer (vi), il suffit, en vertu de Exp. XXII, 5.9.2
et 5.4.5, de prouver que R1 ∩ −R2 contient un système de racines positives de R. On
est donc ramené à prouver :
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
299
Lemme 4.2.2. — Soit R un « système de racines » (par exemple l’ensemble des racines
d’une donnée radicielle au sens de l’exposé XXI). Soient R1 et R2 deux parties closes
de R contenant chacune un système de racines positives. Si R1 ∪ R2 = R, alors
R1 ∩ −R2 contient un système de racines positives.
En effet, comme R1 ∩ −R2 = R3 est évidemment clos, et en vertu de Exp. XXI,
3.3.6, il suffit de montrer que R3 ∪−R3 = R. Or on sait que R1 ∪−R1 = R = R2 ∪−R2 ,
et on conclut grâce au fait élémentaire suivant : si A, A0 , B, B0 sont quatre parties d’un
ensemble E, et si A ∪ A0 = B ∪ B0 = A ∪ B = A0 ∪ B0 = E, on a (A ∩ B0 ) ∪ (A0 ∩ B) = E.
Ceci achève la démonstration de (v) ⇒ (vi) dans le cas où la base est le spectre 458
d’un corps algébriquement clos. Revenons maintenant au cas général et supposons (v)
vérifié. Soit s ∈ S ; en vertu de ce qui précède, on peut trouver un sous-groupe de
Borel B (resp. B0 ) de Ps (resp. Qs ) tel que B ∩ B0 soit un tore maximal de Gs .
Comme le S-schéma Bor(P) ' Bor(P/ radu (P)) des sous-groupes de Borel de P
est lisse, on peut, appliquant le « lemme de Hensel » (cf. Exp. XI 1.10) et raisonnant
localement pour la topologie étale (i.e. remplaçant S par un S0 → S étale et couvrant
s, et s par un point de sa fibre dans S0 ) supposer qu’il existe un sous-groupe de Borel
B de P se projetant sur B ; on peut de même supposer qu’il existe un sous-groupe
de Borel B0 de Q se projetant sur B0 . Comme B ∩ B0 est un tore maximal de G, il
existe un ouvert U de S contenant s et tel que BU ∩ B0U soit un tore maximal de GU
(Exp. XXII, 5.9.4), ce qui démontre (vi).
C.Q.F.D.
Définition 4.2.3. — Un couple (P, Q) vérifiant les conditions équivalentes (i) à (vii)
du théorème 4.2.1 est dit en position transversale. On dit aussi que P est en position
transversale relativement à Q, ou, par abus de langage, que P et Q sont en position
transversale (mutuelle).
Vu (vi), cette définition coı̈ncide dans le cas des sous-groupes de Borel avec celle
de Exp. XXII, 5.9.1.
Corollaire 4.2.4. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sousgroupes paraboliques de G.
(i) Pour que (P, Q) soit en position transversale, il faut et il suffit que pour chaque
point s de S, le couple (Ps , Qs ) soit en position transversale ; si S0 → S est un morphisme surjectif, et si (PS0 , QS0 ) est en position transversale, alors (P, Q) est en position transversale.
(ii) Il existe un sous-schéma ouvert U de S vérifiant la propriété suivante : pour 459
qu’un morphisme S0 → S se factorise par U, il faut et il suffit que (PS0 , QS0 ) soit en
position transversale.
(iii) Considérons les sous-foncteurs
Gen(G) ⊂ Par(G) × Par(G)
S
Gen(/Q) ⊂ Par(G)
Gen(P/Q) ⊂ G
300
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
définis comme suit : pour S0 → S, Gen(G)(S0 ) est l’ensemble des couples de sousgroupes paraboliques de GS0 en position transversale, Gen(/Q)(S0 ) est l’ensemble
des sous-groupes paraboliques de GS0 en position transversale relativement à QS0 ,
Gen(P/Q)(S0 ) est l’ensemble des g ∈ G(S0 ) tels que int(g)PS0 soit en position transversale relativement à QS0 .
Chacun de ces foncteurs est représentable par un sous-schéma ouvert universellement schématiquement dense sur S (17) (cf. Exp. XVIII § 1) du S-schéma correspondant Par(G) ×S Par(G), resp. Par(G), resp. G.
Les assertions (i) résultent aussitôt de la description 4.2.1 (i) du terme « position
transversale ». Pour démontrer (ii), on prend U = S − Supp(Coker u) où u est le
morphisme canonique Lie(P) ⊕ Lie(G) → Lie(G).
Comme on a des diagrammes cartésiens
GO
Â?
Gen(P/Q)
460
f
/ Par(G)
O
Par(G)
O
Â?
/ Gen(/Q)
Â?
Gen(/Q)
f0
/ Par(G) ×S Par(G)
O
Â?
/ Gen(G)
(où f (g) = int(g)P et f 0 (R) = (R, Q)), il suffit de vérifier (iii) dans le cas de Gen(G).
Soit alors P0 le sous-groupe parabolique canonique de GPar(G) ; posons
X = Par(G) × Par(G),
S
P = pr∗1 (P0 ),
Q = pr∗2 (P0 );
appliquant aux sous-groupes paraboliques P et Q de GX l’assertion (ii), on construit
un sous-schéma ouvert U de X, qui comme on le vérifie aussitôt s’identifie bien à
Gen(G). Il reste à vérifier l’assertion de densité, ce qui peut se faire sur les fibres
géométriques (18) ; on peut donc supposer S = Spec(k), k corps algébriquement clos ;
comme Par(G) est lisse, il suffit de vérifier que Gen(G) coupe chaque composante
irréductible de Par(G) ×S Par(G) ; autrement dit, par 3.3, il suffit de voir que si t,
t0 ∈ Of(Dyn(G))(S), il existe un couple (P, P0 ) en position transversale, avec t(P) = t,
t(P0 ) = t0 . Or cela est immédiat : on choisit un couple (B, B0 ) de sous-groupes de Borel
de G tel que B ∩ B0 soit un tore maximal (on déploie G et on applique Exp. XXII,
5.9.2) puis on applique 3.8 pour construire P ⊃ B et P0 ⊃ B0 , avec t(P) = t, t(P0 ) = t0 ;
P et P0 sont des types voulus et sont en position transversale par 4.2.1 (vi).
Corollaire 4.2.5. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sousgroupes paraboliques de G, le couple (P, Q) étant en position transversale.
(i) Soient P0 et Q0 deux sous-groupes paraboliques de G, de même type que P et Q
respectivement. Pour que le couple (P0 , Q0 ) soit en position transversale, il faut et il
suffit qu’il soit conjugué au couple (P, Q), localement pour la topologie étale. (N. B.
On verra au § 5 qu’on peut remplacer la topologie étale par la topologie de Zariski).
(17) N.D.E. : On a remplacé « relativement dense » par « universellement schématiquement dense sur
S », cf. EGA IV3 , Déf. 11.10.8.
(18) N.D.E. : cf. EGA IV , 11.10.10.
3
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
301
(ii) Le morphisme canonique P ×S Q → G induit un morphisme lisse et surjectif
P ×S Q → Gen(Q/P), et un isomorphisme
(P × Q)/(P ∩ Q) ' Gen(Q/P)
S
(où P ∩ Q = R opère dans P ×S Q par (p, q)r = (pr, r−1 q)).
(iii) Le morphisme canonique P → Part(Q) (G) (défini ensemblistement par p 7→
T
int(p)Q) induit un morphisme lisse et surjectif P → Gen(/P) Part(Q) (G), et un 461
isomorphisme
T
P/(P ∩ Q) ' Gen(/P) Part(Q) (G).
(iv) Le morphisme canonique G → Part(P) (G) ×S Part(Q) (G) (défini ensemblistement par
T g 7→ (int(g)P, int(g)Q)) induit un morphisme lisse et surjectif G →
Gen(G) Part(P) (G) ×S Part(Q) (G) et un isomorphisme
T
G/(P ∩ Q) ' Gen(G) (Part(P) (G) × Part(Q) (G)).
S
Démontrons (i). Il est clair que la condition est suffisante ; prouvons qu’elle est
nécessaire. Soit donc (P0 , Q0 ) en position transversale. Comme P et P0 sont conjugués localement pour la topologie étale, on peut supposer P = P0 , et il nous suffit
de prouver que si Q et Q0 sont deux sous-groupes paraboliques de G, en position
transversale relativement à P, et de même type, alors ils sont conjugués, localement
pour la topologie étale, par une section de P. Utilisant 4.2.1 (vi), on peut supposer
qu’il existe des sous-groupes de Borel B, B0 , B1 , B01 de P, P, Q, Q0 respectivement,
tels que B ∩ B1 = T et B0 ∩ B01 = T0 soient des tores maximaux de G. Or les couples
de Killing (B, T) et (B0 , T0 ) de P sont conjugués localement dans P pour la topologie
étale (1.16), et on peut supposer B = B0 , T = T0 , auquel cas on a B1 = B01 par
Exp. XXII, 5.9.2, donc Q = Q0 par 3.8.
Les assertions (ii), (iii) et (iv) se démontrent de façon parallèle. Démontrons par
exemple (ii) ; soit g ∈ Gen(Q/P)(S), i.e. soit g ∈ G(S) tel que int(g)Q soit en position transversale relativement à P. En vertu de la démonstration qui précède, Q et
int(g)Q sont conjugués localement pour la topologie étale, par une section de P. Raisonnant localement pour cette topologie, on peut supposer qu’il existe p ∈ P(S) tel
que int(g)Q = int(p)Q, donc p−1 g ∈ NormG (Q)(S) = Q(S) ; ce qui prouve l’existence
d’un q ∈ Q(S) tel que g = pq. On a donc prouvé que le morphisme envisagé dans
(ii) est couvrant pour la topologie étale. Comparant avec 4.2.1 (ii), on en déduit qu’il 462
est lisse et surjectif. D’autre part, un raisonnement immédiat montre que la relation
d’équivalence définie dans P ×S Q par le morphisme P ×S Q → G est la relation d’équivalence associée à l’action du groupe R = P ∩ Q (opérant par (p, q)r = (pr, r−1 q)), ce
qui démontre la dernière assertion de (ii) (car un morphisme lisse et surjectif est un
épimorphisme effectif, par exemple).
Remarque 4.2.6. — Si P et Q sont en position transversale, on notera souvent P · Q
l’ouvert Gen(Q/P) de G, notation justifiée par 4.2.5 (ii).
Proposition 4.2.7. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sousgroupes paraboliques de G, le couple (P, Q) étant en position transversale.
302
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
(i) Le groupe P ∩ Q est lisse sur S (et en fait à fibres connexes par 4.1.2) ; introduisons alors (P ∩ Q)0 (cf. Exp. VIB 3.10) ; c’est un sous-groupe de type (RC) de G
(Exp. XXII, 5.11.1), dont le radical unipotent (loc. cit. 5.11.4) se décompose en produit
direct
radu ((P ∩ Q)0 ) = (radu (P) ∩ Q) ×(P ∩ radu (Q)).
S
(ii) Si S est affine, H1 (S, radu (P ∩ Q)0 ) = 0. Si S est semi-local, P ∩ Q contient un
tore maximal de G.
En effet, P ∩ Q est lisse en vertu de 4.2.1 (ii) et du diagramme cartésien
463
P ×S Q
O
/G
O
P∩Q
/ S.
Pour vérifier les assertions annoncées sur (P ∩ Q)0 , on peut raisonner localement pour
la topologie étale, donc en vertu de 4.2.1 (vii), supposer avoir choisi un déploiement
(G, T, M, R) de G, tel que P et Q contiennent T et soient définis respectivement par
des parties R1 et R2 de R, R1 contenant un système de racines positives R+ , et R2
contenant le système opposé R− . Soit ∆ l’ensemble des racines simples de R+ ; notons
A1 = ∆ ∩ −R1 ,
A2 = ∆ ∩ R2 ,
A = A 1 ∩ A2 .
Par 1.4 (v) et 1.12, on a
¡
¢
R1 = R+ ∪ R− ∩ −NA1 ,
Y
radu (P) =
Uα ,
¡
¢
R2 = R+ ∩ NA2 ∪ R− ,
Y
radu (Q) =
Uα .
α∈R1 , α6∈−R1
α∈R2 , α6∈−R2
Par Exp. XXII, 5.6.7, on a donc
radu (P) ∩ Q =
Y
Uα =
Y
α∈R1 ∩R2 , α6∈−R2
Uα ,
α∈K2
α∈R1 ∩R2 , α6∈−R1
radu (Q) ∩ P =
Y
Uα =
Y
Uα ,
α∈K1
où K2 est l’ensemble des racines positives, combinaisons linéaires des éléments de
A2 , mais non combinaisons linéaires des éléments de A, et K1 l’ensemble des racines
négatives, combinaisons linéaires des éléments de A1 , mais non combinaisons linéaires
des éléments de A. Il est clair que si α ∈ K2 , β ∈ K1 , α + β n’est jamais une racine,
ni nul, ce qui entraı̂ne que les deux groupes ci-dessus commutent.
464
D’autre part, on sait par Exp. XXII, 5.4.5, que H = (P ∩ Q)0 est défini par l’ensemble de racines R1 ∩ R2 , soit
R1 ∩ R2 = (R+ ∩ NA2 ) ∪ (R− ∩ −NA1 ).
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
303
Comme R1 ∩ R2 est clos, H est de type (RC) par définition (Exp. XXII 5.11.1), et par
loc. cit. 5.11.3 et 5.11.4, on a
Y
radu (H) =
Uα ,
α∈K
où K est l’ensemble des α ∈ R1 ∩ R2 tels que α 6∈ −(R1 ∩ R2 ). Comme la partie
symétrique de R1 ∩ R2 est évidemment R ∩ ZA, on voit aussitôt que K = K1 ∪ K2 , ce
qui termine la démonstration de (i).
La première assertion de (ii) résulte alors de (i) et de 2.10 ; démontrons la seconde.
Comme (P ∩ Q)0 / radu ((P ∩ Q)0 ) est réductif, il possède un tore maximal T si la base
est semi-locale. L’image réciproque de T dans (P ∩ Q)0 est un sous-groupe N de type
(R) de G à fibres résolubles, et on a Nu = radu ((P ∩ Q)0 ) (Exp. XXII, 5.6.9). Le
schéma des tores maximaux de N est un fibré principal homogène sous Nu (loc. cit.
5.6.13), donc possède une section, car H1 (S, Nu ) = 0.
4.3. Sous-groupes paraboliques opposés
4.3.1. — Si G est un S-groupe réductif, on a défini en Exp. XXIV, 3.16.6, un « automorphisme extérieur » canonique d’ordre 6 2 (19) de G, donc un automorphisme
canonique sG d’ordre 6 2 de Dyn(G), donc également un automorphisme d’ordre 6 2
de Of(Dyn(G)), que nous noterons également sG ou simplement s. Deux types de sousgroupes paraboliques t, t0 ∈ Of(Dyn(G))(S) seront dits opposés lorsque t = sG (t0 ).
Théorème 4.3.2. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G.
(a) Si L est un sous-groupe de Levi de P, il existe un unique sous-groupe parabolique 465
P0 de G tel que P ∩ P0 = L.
(b) Pour tout sous-groupe parabolique Q de G, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout s ∈ S, ((P ∩ Q)s )0 (qui est lisse par 4.1.1) est réductif.
(ii) P ∩ Q est un sous-groupe de Levi de P et de Q.
(iii) P et Q sont de types opposés, et le couple (P, Q) est en position transversale
(cf. 4.2.3).
(iv) P et Q sont de types opposés et radu (P) ∩ Q = e.
(v) radu (P) ∩ Q = radu (Q) ∩ P = e .
(vi) Le morphisme canonique radu (P) ×S Q → G est une immersion ouverte.
(vi0 ) Le morphisme canonique radu (P) → G/Q est une immersion ouverte.
(vii) Il existe une famille couvrante pour la topologie étale {Si → S}, et pour chaque
(1)
i un déploiement (Ti , Mi , Ri ) de GSi , et une partie Ri de Ri telle que PSi (resp. QSi )
(1)
soit le sous-groupe de type (R) de GSi contenant Ti et défini par Ri (resp. par
(2)
(1)
Ri = −Ri ).
(19) N.D.E.
: On a remplacé « d’ordre 2 » par « d’ordre 6 2 » car sG peut être trivial (par exemple si
G est de type A1 , Bn , Cn , . . . ).
304
466
467
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Démonstration. Démontrons d’abord la seconde partie du théorème ; on voit tout
d’abord que (iii) ⇔ (vii) en vertu de 4.2.1 (vii) et de la définition de sG dans le cas
déployé (Exp. XXII, 3.16.2 (iv)) ; on a évidemment (ii) ⇒ (i) ; on a (vi0 ) ⇒ (vi) par
changement de base G → G/Q.
Supposons maintenant (vii) vérifié, et prouvons toutes les autres conditions ; comme
elles sont locales pour la topologie étale, on peut supposer G = (G, T, M, R) déployé,
P défini par la partie R0 de R et Q par la partie − R0 . Si L est le sous-groupe de type
(R) de G contenant T défini par R0 ∩ −R0 , il est clair par Exp. XXII, 5.11.3 que L est
un sous-groupe de Levi commun à P et Q. Mais P = L · radu (P), Q = L · radu (Q),
et par Exp. XXII, 5.6.7, radu (P) ∩ Q = Q ∩ radu (P) = e ; donc P ∩ Q = L, et
on a prouvé (ii) et (v). Comme P et Q sont en position transversale, le morphisme
canonique P → G/Q induit une immersion ouverte P/P ∩ Q → G/Q (4.2.1) ; mais le
morphisme canonique radu (P) → P/P ∩ Q = P/L est un isomorphisme, ce qui fait
qu’on a prouvé (vi0 ). Compte tenu de ce qu’on a déjà vu, toutes les assertions sont
donc des conséquences de (vii).
Il nous suffit maintenant de prouver que l’une quelconque des assertions (i), (iv),
(v), (vi) implique (vii) ; comme on a déjà prouvé l’équivalence de (ii) et de (iii), il
suffit de faire la démonstration sur les fibres géométriques et on peut supposer que
S est le spectre d’un corps algébriquement clos. Par 4.1.1, il existe un tore maximal
T de G contenu dans P ∩ Q. Soit R (resp. R1 , resp. R2 ) l’ensemble des racines de G
(resp. P, resp. Q) relativement à T.
Soit Ra1 la partie asymétrique de R1 (i.e. Ra1 = {α ∈ R1 , − α 6∈ R1 }). Introduisons
de même Ra2 . On doit prouver que R1 = −R2 .
– La condition (i) entraı̂ne que R1 ∩ R2 est symétrique ; soit α ∈ R1 ; si α 6∈ R2 ,
alors α ∈ −R2 , et si α ∈ R2 , alors α ∈ R1 ∩ R2 = −(R1 ∩ R2 ) ⊂ −R2 ; on a donc
R1 ⊂ −R2 , donc par symétrie R1 = −R2 .
– La condition (iv) entraı̂ne Card(R1 ) = Card(R2 ) et Ra1 ∩ R2 = ∅ ; la deuxième
condition est équivalente à R2 ⊂ −R1 ; la première donne alors R2 = −R1 .
– La condition (v) entraı̂ne Ra1 ∩ R2 = Ra2 ∩ R1 = ∅, donc R2 ⊂ −R1 et R1 ⊂ −R2 ,
ce qui donne encore R2 = −R1 .
– La condition (vi) entraı̂ne Lie(radu (P)) ⊕ Lie(Q) = Lie(G), ce qui entraı̂ne que
R est la réunion disjointe de R2 et Ra1 donc que R2 = −R1 .
Ceci achève la démonstration de la seconde partie du théorème. Prouvons la première ; remarquons d’abord qu’en vertu de (vii) ⇒ (ii), on a déjà démontré l’existence
localement pour la topologie étale du groupe P0 cherché ; il reste donc à en prouver
l’unicité, et cela peut se faire également localement pour la topologie étale. On peut
donc supposer G déployé relativement à un tore maximal T de L, et P (resp. P0 ) défini
par une partie R1 (resp. R01 ) du système R des racines.
Par hypothèse R1 ∩ R01 est symétrique ; raisonnant comme plus haut, on en tire
0
R1 = −R1 , ce qui prouve que P0 est déterminé par P et L et achève la démonstration.
Définition 4.3.3. — Deux sous-groupes paraboliques de G vérifiant les conditions équivalentes (i) à (vii) de 4.3.2 sont dits opposés. Si P est un sous-groupe parabolique de
G, et si L est un sous-groupe de Levi de P (resp. et si T est un tore maximal de P),
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
305
on appelle sous-groupe parabolique opposé à P relativement à L (resp. T) l’unique
sous-groupe parabolique Q de G tel que P ∩ Q = L (resp. tel que P ∩ Q soit l’unique
sous-groupe de Levi de P contenant T, cf. 1.6, ou encore tel que P ∩ Q contienne T
et que P et Q soient opposés).
En vertu de 4.3.2 (iii), on tire aussitôt de 4.2.4 et 4.2.5 des résultats parallèles ;
donnons-en un échantillon.
Corollaire 4.3.4. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sous- 468
groupes paraboliques de G.
(i) Pour que P et Q soient opposés, il faut et il suffit que pour tout point s ∈ S,
Ps et Qs soient opposés. Si S0 → S est un morphisme surjectif, et si PS0 et QS0 sont
opposés, alors P et Q sont opposés.
(ii) Le foncteur Opp(G), tel que pour S0 → S, Opp(G)(S0 ) soit l’ensemble des
couples de sous-groupes paraboliques opposés de GS0 , est représentable par un sousschéma ouvert de Par(G)2 . Le foncteur Opp(/P) tel que pour S0 → S, Opp(/P)(S0 )
soit l’ensemble des sous-groupes paraboliques de GS0 opposés à PS0 est représentable
par un sous-schéma ouvert universellement schématiquement dense sur S (20) de
Pars(t(P)) (G).
(iii) Supposons P et Q opposés ; soient P0 et Q0 deux sous-groupes paraboliques
de G, P0 étant de même type que P. Pour que P0 et Q0 soient opposés, il faut et il
suffit que localement pour la topologie étale, le couple (P0 , Q0 ) soit conjugué au couple
(P, Q). (N. B. On verra au § 5 qu’on peut remplacer la topologie étale par la topologie
de Zariski ).
Corollaire 4.3.5. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe
parabolique de G.
(i) Le morphisme Opp(/P) → Lev(P) (cf. 1.9) défini ensemblistement par Q 7→ 469
P ∩ Q, est un isomorphisme ; Opp(/P) est un fibré principal homogène sous radu (P)
(radu (P) opérant par automorphismes intérieurs). Si S est affine, il existe un sousgroupe parabolique de G opposé à P.
(ii) Supposons S semi-local ; soit {si } l’ensemble de ses points fermés ; soit, pour
chaque i, Qi un sous-groupe parabolique de Gsi , opposé à Psi . Il existe un sous-groupe
parabolique Q de G, opposé à P, et tel que Qsi = Qi pour chaque i.
(iii) Le morphisme Opp(G) → PL (cf. 3.15) défini ensemblistement par (P, Q) 7→
(P, P ∩ Q) est un isomorphisme.
Tout cela résulte de la première partie du théorème et de 1.9, 2.3 et 2.8.
Remarque 4.3.6. — Soient P et Q deux sous-groupes paraboliques opposés de G, et
soit P · Q le sous-schéma ouvert de G, image faisceautique de P ×S Q, introduit en
(20) N.D.E.
: On a remplacé « relativement dense » par « universellement schématiquement dense sur
S », cf. EGA IV3 , Déf. 11.10.8.
306
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
4.2.6. Le « morphisme produit » G ×S G → G induit des isomorphismes :
radu (P) ×S Q
∼
/ P·Q o
∼
P ×S radu (Q).
Cela résulte en effet de 4.3.2 (ou de 4.2.5 (ii)) et du fait que P ∩ Q est un sous-groupe
de Levi de P et de Q, donc que P = radu (P) · (P ∩ Q) et Q = radu (Q) · (P ∩ Q).
470
On a de même un diagramme commutatif
ÂÄ
radu (P)
o
²
ÂÄ
Opp(/P)
/ G/Q
o
²
/ Par
t(Q) (G),
où les flèches verticales sont induites par g 7→ int(g)Q.
4.4. Position osculatrice
471
Proposition 4.4.1. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P et Q deux sousgroupes paraboliques de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) P ∩ Q est un sous-groupe parabolique de G.
(ii) P ∩ Q contient localement pour la topologie étale un sous-groupe de Borel de G.
(iii) P ∩ Q contient localement pour la topologie étale un tore maximal de G et,
pour tout S0 → S et tout tore maximal T de GS0 contenu dans PS0 et QS0 , l’opposé de
PS0 relativement à T est en position transversale relativement à QS0 .
(iv) Il existe une famille couvrante pour la topologie étale {Si → S}, et pour chaque
i un tore maximal Ti de GSi contenu dans PSi et QSi , et tel que l’opposé de PSi
relativement à Ti soit en position transversale relativement à QSi .
(v) Il existe une famille couvrante pour la topologie étale {Si → S}, et pour chaque
i un déploiement (Ti , Mi , Ri ) de GSi tel que PSi (resp. QSi ) soit le sous-groupe de
(1)
(2)
type (R) de GSi contenant Ti et défini par un ensemble de racines Ri (resp. Ri ),
(1)
(2)
Ri ∩ Ri contenant un système de racines positives de R.
De plus, si ces conditions sont vérifiées, on a t(P ∩ Q) = t(P) ∩ t(Q) (avec les
notations de 3.2).
On a (v) ⇒ (ii) et (iii) ⇒ (iv) trivialement. D’autre part, (ii) ⇒ (i) par 1.18. On
a (iv) ⇒ (v) : en effet, on peut supposer G déployé, P (resp. Q) défini par l’ensemble
de racines R1 (resp. R2 ) ; l’opposé de P est alors défini par −R1 , et on est ramené au
lemme 4.2.2. On prouve (i) ⇒ (iii) par déploiement de la même manière. Enfin, la
dernière assertion du théorème peut se démontrer localement pour la topologie étale ;
on peut supposer que P ∩ Q contient un sous-groupe de Borel B de G et on est ramené
à 3.7.
Définition 4.4.2. — Deux sous-groupes paraboliques de G vérifiant les conditions (i)
à (v) de 4.4.1 sont dits en position osculatrice.
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
307
Corollaire 4.4.3. — Soient P et Q deux sous-groupes paraboliques en position osculatrice et soient P0 et Q0 deux sous-groupes paraboliques de G, de même type que P et Q 472
respectivement ; pour que P0 et Q0 soient en position osculatrice, il faut et il suffit que
le couple (P0 , Q0 ) soit conjugué au couple (P, Q), localement pour la topologie étale.
Il suffit de prouver que si P et P0 sont en position osculatrice par rapport à Q, ils
sont conjugués, localement pour (ét), par une section de Q. Or P ∩ Q et P0 ∩ Q sont
deux sous-groupes paraboliques de même type contenus dans Q, donc sont conjugués,
localement pour (ét) par une section de Q, en vertu de la partie (ii) du lemme cidessous. On peut donc supposer P ∩ Q = P0 ∩ Q ; on a alors P = P0 , par la partie (i)
du même lemme :
Lemme 4.4.4. — Soient P, P0 et Q trois sous-groupes paraboliques du S-groupe réductif G.
(i) Pour que P = P0 , il faut et il suffit que P et P0 soient en position osculatrice et
de même type.
(ii) Si P ⊂ Q, P0 ⊂ Q, et si g ∈ G(S) est tel que int(g)P et P0 soient en position
osculatrice, alors g ∈ Q(S).
La partie (i) résulte trivialement de la dernière assertion de 4.4.1. Démontrons (ii) :
Q et int(g)Q contiennent P0 ∩ int(g)P, donc sont en position osculatrice ; ils coı̈ncident
par (i), donc g ∈ NormG (Q)(S) = Q(S).
Remarquons que les assertions (iii) et (iv) du théorème donnent aussitôt :
473
Corollaire 4.4.5. — Soient P, P0 et Q trois sous-groupes paraboliques du S-groupe réductif G, contenant le même tore maximal T de G. Supposons P et P0 opposés relativement à T. Pour que Q soit en position osculatrice relativement à P, il faut et il
suffit qu’il soit en position transversale relativement à P0 . Sous ces conditions P ∩ Q
est aussi en position transversale relativement à P0 .
Corollaire 4.4.6. — Soient P et Q deux sous-groupes paraboliques de G contenant le
même tore maximal T. Pour que P et Q soient en position transversale, il faut et
il suffit qu’il existe deux sous-groupes paraboliques P0 ⊂ P et Q0 ⊂ Q de G, opposés
relativement à T ; on peut même choisir t(P0 ) = t(P) ∩ s(t(Q)). (21)
La condition est évidemment suffisante (4.2.1 (i) et 4.3.2 (iii)). Montrons qu’elle
est nécessaire ; soit P− (resp. Q− ) l’opposé de P (resp. Q) relativement à T. Par 4.4.5,
P− ∩ Q est en position transversale relativement à P et Q− , donc aussi relativement
à P ∩ Q− par une nouvelle application de 4.4.5, de plus
t(P− ∩ Q) = t(P− ) ∩ t(Q) = s(t(P)) ∩ s(t(Q− )) = s(t(P) ∩ t(Q− )) = s(t(P ∩ Q− )),
donc P− ∩ Q = P0 et P ∩ Q− = Q0 sont opposés (4.3.2 (iii)) ; mais P0 ∩ Q0 ⊃ T, donc 474
ils sont bien opposés relativement à T.
(21) N.D.E.
: Rappelons que l’involution s a été définie en 4.3.1.
308
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
4.5. Position standard
Dans ce numéro, nous indiquons brièvement comment certains des résultats précédents se généralisent.
Proposition 4.5.1. — Si P1 et P2 sont deux sous-groupes paraboliques du S-groupe réductif G, les conditions suivantes sont équivalentes : (22)
(i) P1 ∩ P2 est lisse.
(ii) P1 ∩ P2 est un sous-groupe de type (R) (ou de type (RC)) de G.
(iii) P1 ∩ P2 contient localement pour la topologie (fpqc) un tore maximal de G.
(iv) P1 ∩ P2 contient localement pour la topologie de Zariski un tore maximal de
G.
Lorsque S est semi-local, ces conditions équivalent de plus à :
(v) P1 ∩ P2 contient un tore maximal de G.
Démonstration. (22) Évidemment, (iv) ⇒ (iii) (et (v) ⇒ (iv) lorsque S est semilocal), et (ii) ⇒ (i) d’après Exp. XXII, Déf. 5.2.1. On va montrer (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii), puis
que (iii) entraı̂ne (i) et (iv) (et aussi (v) lorsque S est semi-local). Posons K = P1 ∩ P2 .
D’après 4.1.1 et [BT65], 4.5, chaque fibre géométrique Ks contient un tore maximal
Ts de Gs et est connexe, et l’ensemble des racines de Ks par rapport à Ts est un
sous-ensemble clos de l’ensemble des racines de Gs par rapport à Ts . Donc, si K est
lisse sur S, alors c’est un sous-groupe de type (RC) (donc a fortiori de type (R)),
cf. Exp. XXII 5.2.1 et 5.11.1. On a donc (i) ⇔ (ii).
Si K est un sous-groupe de type (R), il contient localement pour la topologie étale
un tore maximal de G, d’après Exp. XXII 2.2 et Exp. XIX 6.1. Donc (ii) ⇒ (iii).
Supposons (iii) vérifié et montrons que K est lisse. Par descente (fpqc), on peut
supposer que G = (G, T, M, R) est déployé, où T est un tore maximal contenu dans
P∩Q, et qu’il existe deux parties closes R1 et R2 de R telles que P = HR1 et Q = HR2 .
Comme K est à fibres connexes, il résulte de Exp. XXII 5.4.5 que K égale HR1 ∩R2 ,
donc est lisse sur S et de type (RC).
Soient Rs1 la partie symétrique de R1 et Ra1 = R1 − Rs1 ; alors radu (P1 ) = HRa1 .
Comme noté dans la preuve de [BT65], 4.4, R0 = (Rs1 ∩ R2 ) ∪ Ra1 est une partie close
de R telle que R0 ∪ (−R0 ) = R ; donc, d’après Exp. XXI 3.3.6, R0 contient un système
de racines positives de R. De plus, la partie symétrique de R0 est Rs1 ∩ Rs2 , qui est
contenue dans R1 ∩ R2 .
On déduit de ce qui précède que P0 = K · radu (P) est un sous-groupe parabolique
de G, et que K est un sous-groupe de type (RC) de P0 tel que radu (K) = K ∩ radu (P0 ).
Donc, d’après 2.11, K possède un sous-groupe de Levi L. Il résulte alors de Exp. XIV
3.20 et 3.21 que K vérifie l’assertions (iv), ainsi que l’assertion (v) lorsque S est semilocal. Ceci prouve 4.5.1.
(22) N.D.E.
: On a ajouté la démonstration de l’équivalence de ces conditions (ainsi que la condition
(v), utilisée implicitement en 6.17 de l’original) ; en conséquence, on a transformé le n◦ 4.5.1 en la
proposition 4.5.1 plus la définition 4.5.1.1.
4. POSITION RELATIVE DE DEUX SOUS-GROUPES PARABOLIQUES
309
Définition 4.5.1.1. — (23) Lorsque les conditions précédentes sont réalisées, on dit que
P et Q sont en position mutuelle standard ; c’est par exemple le cas si P et Q sont en
position transversale, ou en position osculatrice, ou si la base est le spectre d’un corps.
C’est une notion stable par extension de la base et locale pour la topologie (fpqc).
4.5.2. — Soient (P, Q) et (P0 , Q0 ) deux couples de sous-groupes paraboliques de G, 475
en position standard, et soit H le sous-foncteur de G défini comme suit : H(S0 ) est
l’ensemble des g ∈ G(S0 ) tels que int(g)P = P0 et int(g)Q = Q0 . C’est un sous-schéma
fermé de G, lisse sur S et formellement principal homogène sous P ∩ Q. On en déduit
que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) (P, Q) et (P0 , Q0 ) sont conjugués localement pour la topologie (fpqc),
(ii) (P, Q) et (P0 , Q0 ) sont conjugués localement pour la topologie étale.
(iii) (P, Q) et (P0 Q0 ) sont conjugués sur chaque fibre géométrique.
On dit alors que les couples (P, Q) et (P0 , Q0 ) ont même type de position mutuelle.
C’est une notion stable par changement de base et locale pour la topologie (fpqc).
4.5.3. — Soit Stand(G) le sous-foncteur de Par(G) ×S Par(G) « formé des couples en
position mutuelle standard ». Alors Stand(G) est représentable, il existe un S-schéma
étale et fini TypeStand (« schéma des types de position mutuelle standard » ), et un
morphisme lisse, de présentation finie, à fibres géométriques irréductibles (et donc en
particulier fidèlement plat)
t2 : Stand(G) −→ TypeStand
qui est un quotient de Stand(G) par l’action de G : deux sections de Stand(G) (sur 476
un S0 → S quelconque), ont même type de position mutuelle si et seulement si elles
ont même image par t2 . On a un diagramme commutatif
t2
Stand(G)
Ä_
/ TypeStand
Ä_
q
²
Par(G) ×S Par(G)
t×t
²
/ Of(Dyn(G)) ×S Of((Dyn(G)),
où le morphisme q peut se décrire par descente de la manière suivante : si (P, Q)
est un couple de sous-groupes paraboliques de G, en position relative standard, et si
T est un tore maximal de P ∩ Q, alors le morphisme NormG (T) → Stand(G) défini
ensemblistement par n 7→ (P, int(n)Q) induit un isomorphisme
WP (T)\WG (T)/WQ (T) ' q −1 (t(P), t(Q)).
(Le premier membre désigne le faisceau des doubles classes . . . ). Ces assertions se
démontrent sans difficulté (remarquer en particulier que t−1
2 (t2 (P, Q)) ' G/(P ∩ Q)).
(23) N.D.E.
: voir la N.D.E. (22). D’autre part, pour un exemple de sous-groupes paraboliques P, Q
qui ne sont pas en position standard, voir 7.11 plus loin.
310
477
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
4.5.4. — Soit maintenant P un sous-groupe parabolique fixé de G, et soit Par(G; P) le
foncteur des sous-groupes paraboliques de G, en position standard relativement à P.
Pour chaque t ∈ Of(Dyn(G))(S), posons de même Part (G; P) = Par(G; P) ∩ Part (G).
On voit aussitôt que les deux foncteurs précédents s’obtiennent à partir de Stand(G)
par produits fibrés, donc sont représentables par des S-schémas lisses et de présentation finie sur S, à fibres non vides. On a un morphisme canonique tP induit par t2
(i.e. tP (Q) = t2 (P, Q))
tP : Part (G; P) −→ q −1 (t(P), t)
qui est lisse et de présentation finie, à fibres géométriques irréductibles. Le morphisme
canonique Part (G; P) → Part (G) est un monomorphisme surjectif, et peut donc être
considéré comme une décomposition cellulaire de Part (G) (indexée par l’ensemble des
composantes connexes de q −1 (t(P), t)).
4.5.5. — Supposons maintenant que le type t soit de la forme t(Q), où Q est un
sous-groupe parabolique de G, en position standard relativement à P, et que P ∩ Q
contienne un tore maximal T.
Alors Part (G) ' G/Q et q −1 (t(P), t) ' WP (T)\WG (T)/WQ (T), ce qui donne un
diagramme
Part(Q) (G; P)
Ä_
f
/ WP (T) \ WG (T)/WQ (T)
i
²
Part(Q) (G)
478
∼
/ G/Q
où i est un monomorphisme surjectif, et où f est lisse et de présentation finie, à fibres
géométriques irréductibles. De plus, si Q1 et Q2 sont deux sections de Part(Q) (G; P)
(sur un S0 → S), c’est-à-dire deux sous-groupes paraboliques de GS0 conjugués
(localement pour (fpqc)) à Q, et en position standard relativement à PS0 , alors Q1 et
Q2 sont conjugués par une section de P (localement pour (fpqc)) si et seulement si
f (Q1 ) = f (Q2 ). Si S est le spectre d’un corps k algébriquement clos, on trouve ainsi
la relation
P(k)\G(k)/Q(k) ' WP (T)(k)\WG (T)(k)/WQ (T)(k).
De manière générale, si on suppose que le schéma WP (T)\WG (T)/WQ (T) est
constant et de la forme ES (ce qui a lieu par exemple lorsque G est déployé relativement à T et S est connexe), les f −1 (e), e ∈ E, forment une décomposition de
Part(Q) (G; P) en sous-schémas ouverts et fermés, qui sont des espaces homogènes sous
P, lisses et de présentation finie sur S, à fibres géométriques irréductibles.
4.5.6. — Revenons à la situation générale de 4.5.4. Le schéma q −1 (t(P), t) (24) possède toujours deux sections particulières, correspondant respectivement aux types
« position transversale » et « position osculatrice ». L’image réciproque de la première
(24) N.D.E.
: On a corrigé t−1 (t(P), t) en q −1 (t(P), t) et, plus bas, Part (G) en Part (G; P) (deux fois).
5. THÉORÈME DE CONJUGAISON
311
section est un ouvert relativement dense de Part (G; P) comme on l’a vu plus haut,
c’est la cellule de dimension relative maximum de la décomposition.
L’image réciproque de la seconde section est vraisemblablement un sous-schéma
fermé de Part (G; P) ; c’est la cellule de dimension relative minimum de la décomposition.
5. Théorème de conjugaison
Théorème 5.1. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P et P0 deux
sous-groupes paraboliques opposés (4.3.3) de G. Alors
479
radu (P)(S) P0 · P = G,
i.e. la réunion des ouverts uP0 · P (4.3.6), pour u parcourant radu (P)(S) est G tout
entier.
La démonstration se fait en plusieurs étapes :
5.1.1. — Il suffit de faire la démonstration dans le cas où S est le spectre d’un corps
k ; cela résulte aussitôt de 2.6.
5.1.2. — Soit L = P ∩ P0 . Supposons que L possède un sous-groupe de Borel BL ; soit
T un tore maximal de BL (Exp. XXII, 5.9.7) ; on vérifie aussitôt que B = BL · radu (P)
est un sous-groupe de Borel de P ; soit B0 le sous-groupe de Borel de G opposé à B
relativement à T (i.e. tel que B ∩ B0 = T). On a B0 ⊂ P0 comme on le vérifie aussitôt
en déployant G relativement à T. Prouvons que
(x)
Bu (S) B0 · B ⊂ radu (P)(S) P0 · P.
Comme on a Bu (S) ⊂ P(S) = radu (P)(S) · L(S) ⊂ radu (P)(S)P0 (S), il suffit de prouver
que B0 · B ⊂ P0 · P, ce qui est évident. Il résulte de (x) qu’il suffit de démontrer 5.1 480
pour le couple (B, B0 ).
5.1.3. — Le théorème est vrai si k est algébriquement clos ; en effet, la condition de
5.1.2 est vérifiée, et on conclut par Exp. XXII, 5.7.10.
5.1.4. — Le théorème est vrai lorsque k est un corps infini. En effet, radu (P)(k) est
dense dans radu (P)(k) d’après 2.7, et le théorème est vrai pour k.
5.1.5. — On est donc ramené au cas où k est un corps fini. Or Bor(L) est un espace
homogène lisse de L ; il résulte donc du théorème de Lang (Am. J. of Maths., 78,
1956 (25) ) que L possède un groupe de Borel BL . Par 5.1.2, on peut donc supposer que
P = B et P0 = B0 sont des groupes de Borel. On note T = B ∩ B0 .
(25) N.D.E.
: voir aussi [DG70], § III.5, 7.4.
312
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
5.1.6. — Soit K la clôture algébrique de k ; choisissons un épinglage du triplet
(GK , BK , TK ), soit R+ (resp. ∆), l’ensemble des racines positives (resp. simples). En
vertu de Exp. XXII, 5.7.2, il suffit de prouver que pour tout α ∈ ∆, on a
uα B0u (K) ⊂ Bu (k) B0u (K) B(K).
(1)
481
Soient αi les différentes racines conjuguées de α sur k (ce sont des éléments de ∆, car
B est « défini sur k » ), et soit R0 l’ensemble des racines combinaison linéaire des αi .
Notons R0− = R− ∩ R0 . Comme « R0 est défini sur k », il existe un sous-tore Q de T,
tel que QK soit le tore maximal du noyau commun des αi .
Notons Z = CentrG (Q), BZ = B ∩ Z, B0Z = B0 ∩ Z (cf. Exp. XXII, 5.10.2). Montrons
qu’il suffit de vérifier l’assertion cherchée dans Z, c’est-à-dire
u
(2)
On a (B0uZ )K =
Q
α∈R0−
uα · B0 Z (K) ⊂ BuZ (k) B0uZ (K) BZ (K).
Uα ; soit R00 le complémentaire de R0 dans R, posons
Y
V=
Uα .
α∈R00 ∩R−
On a aussitôt (B0u )K = (B0uZ )K · V, et (BZ )K normalise V (Exp. XXII, 5.6.7). On tire
donc de (2) successivement
uα · B0u (K) = uα · B0uZ (K)V(K) ⊂ BuZ (k) B0uZ (K) BZ (K) V(K)
⊂ BuZ (k) B0uZ (K) V(K) BZ (K)
ce qui entraı̂ne aussitôt (1).
Nous sommes donc ramenés au cas où G = Z, c’est-à-dire où le groupe de Galois
de K sur k opère transitivement sur les racines simples.
482
5.1.7. — L’assertion à démontrer est équivalente au fait que G/B est la réunion des
translatés par Bu (k) de l’ouvert image de B0u , assertion qui ne change pas si on
remplace G par son groupe adjoint (ou d’ailleurs par n’importe quel groupe donnant
le même groupe adjoint). On peut donc supposer G adjoint.
5.1.8. — Considérons alors le diagramme de Dynkin de GK . Le groupe de Galois opère
transitivement sur ce diagramme de Dynkin. Mais ce groupe de Galois n’a que des
quotients cycliques et le diagramme de Dynkin n’a pas de cycles. Il en résulte aussitôt
que ce diagramme est de type n A1 , n > 0, ou m A2 , m > 0. Utilisant la décomposition
canonique de Exp. XXIV, 5.9, on peut écrire
Y
G=
G0 ,
D/K
où D est un K-schéma fini et G0 est soit un tore, soit de type A1 , soit de type A2 .
Par Exp. XXIV, 5.12, B provient d’un sous-groupe de Borel B0 de G0 , T d’un
tore maximal T0 de G0 ; B0 provient du sous-groupe de Borel B00 de G0 opposé à B0
5. THÉORÈME DE CONJUGAISON
313
relativement à T0 . On a
u
B0 (k) = Bu0 (D),
Y u
u
B0 · T · Bu =
B0 0 · T0 · Bu0 ,
D/k
et il nous suffit de démontrer l’assertion cherchée sur le triplet (G0 , B0 , T0 ).
5.1.9. — On peut donc supposer que G est de type ∅, A1 ou A2 . Comme G possède un 483
sous-groupe de Borel B, G est quasi-déployable relativement à B (Exp. XXIV, 3.9.1),
donc déployable s’il est de type ∅ ou A1 . Comme le théorème a déjà été prouvé dans le
cas déployé (Exp. XXII 5.7.10), il ne reste plus que le cas A2 à traiter. Par Exp. XXIV,
3.11 il existe un morphisme E → Spec(k), fibré principal galoisien sous le groupe Z/2Z
Ép
des automorphismes du diagramme de Dynkin de type A2 tel que G = GqE/
Spec(k) (A2 ).
Si E possède une section, G est déployable et le théorème est démontré. Sinon, on a
nécessairement E = Spec(k 0 ), où k 0 est une extension quadratique de k. Enfin, comme
on l’a vu en 5.1.7, on peut supposer G simplement connexe (i.e. que G est une forme
de SL3, k ).
5.1.10. — On est donc dans la situation suivante : on a un corps fini k, une extension
quadratique k 0 de k. Le groupe SL3, k0 des matrices 3 × 3 de déterminant 1 est épinglé
comme suit : le tore maximal est le groupe des matrices diagonales, le sous-groupe de
Borel est le groupe des matrices triangulaires supérieures, les « épingles » les éléments :




110
100
uα = 0 1 0
et
uβ = 0 1 1 .
001
001
On voit aussitôt que la grosse cellule Ω est définie par


ab c
d e f  ∈ Ω(S) ⇐⇒ a et ae − bd inversibles,
gh i
et que

 1x
Bu (k) = 0 1

00
¯
z ¯¯
x ¯¯ x, z ∈ k 0 ,
1 ¯


z + z = xx .

Il nous faut prouver l’inclusion (1) de 5.1.6, c’est-à-dire montrer que pour tous a, b,
c ∈ K (clôture algébrique de k), il existe x, z ∈ k 0 tels que z + z = xx et




1xz
110
100
0 1 x 0 1 0 a 1 0 ⊂ Ω(K).
(1)
001
001
bc1
– Si a 6= −1, on prend x = z = 0.
484
314
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
– Si a = −1, les conditions à réaliser s’écrivent


z + z = xx,
bz − x 6= 0,


(b + c)z + bx − 1 6= 0.
Soit q le nombre d’éléments de k (q > 2). On sait que pour tout m ∈ k, l’équation
z + z = m, avec z ∈ k 0 , a q solutions.
– Si b = 0, prenons x = 1 ; on doit résoudre z + z = 1, cz 6= 1, ce qui est toujours
possible par la remarque précédente.
– Si b 6= 0, prenons x = 0 ; on doit résoudre
z + z = 0,
485
z 6= 0,
(b + c)z 6= 1.
Cela est toujours possible si q > 3. Si k = F2 , c’est possible si b + c 6= 1, on peut
prendre z = 1.
– Il ne reste donc à traiter que le cas k = F2 , b + c = 1, b 6= 0. Le système s’écrit
alors
bz 6= x,
z + bx 6= 1.
z + z = xx,
0
Si b = 1 (resp. b 6∈ k ), faisons x = 1 ; alors les deux dernières conditions s’écrivent
z 6= b−1 , 1 − b, et elles sont conséquences de z + z = 1 qui a des solutions. Enfin, si
b ∈ k 0 − k, on peut prendre x = b, z = b.
C.Q.F.D.
Corollaire 5.2. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P et P0
deux sous-groupes paraboliques opposés de G. L’application canonique
radu (P)(S) · radu (P0 )(S) −→ (G/P)(S)
est surjective (en particulier, on a (G/P)(S) = G(S)/P(S)). Tout sous-groupe parabolique Q de G, de même type que P, est de la forme int(uu0 )P avec u ∈ radu (P)(S)
et u0 ∈ radu (P0 )(S).
La seconde assertion est évidemment équivalente à la première, démontrons celleci. Soient si les points fermés de S, soit V l’ouvert de G/P image de P0 (et isomorphe
à radu (P0 ), cf. 4.3.6) et soit x ∈ G/P(S). Par 5.1, il existe pour chaque i une section
ui ∈ radu (P)(κ(si )) telle que ui xsi soit une section de Vsi . Si u ∈ radu (P)(S) relève
les ui (2.6), ux est une section de V, car une telle assertion se vérifie sur les fibres
∼
fermées. Mais radu (P0 )(S) −→ V(S), est bijectif, et on conclut aussitôt.
486
Corollaire 5.3. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P, P0 et Q
trois sous-groupes paraboliques de G. Il existe g ∈ G(S) tel que int(g)Q soit en position
transversale relativement à P et P0 .
Avec les notations de 4.2.4 (ii), on doit vérifier que l’ouvert universellement schématiquement dense sur S (26) Gen(Q/P) ∩ Gen(Q/P0 ) de G possède une section sur S.
En fait, choisissons un sous-groupe parabolique de G opposé à Q (4.3.5 (i)), soit Q1 , et
(26) N.D.E.
: On a remplacé « relativement dense » par « universellement schématiquement dense sur
S », cf. EGA IV3 , Déf. 11.10.8.
5. THÉORÈME DE CONJUGAISON
315
posons U = radu (Q), U0 = radu (Q1 ). Nous allons montrer qu’il existe g ∈ U(S)U0 (S)
répondant à la question ; sous cette forme, il résulte de 4.2.4 (i) et 2.6 qu’il suffit de
vérifier l’assertion sur les fibres aux points fermés de S, et on peut donc supposer que
S est le spectre d’un corps k.
Si k est algébriquement clos, il existe g ∈ G(k) répondant à la question, or g s’écrit
uu0 q avec u ∈ U(k), u0 ∈ U0 (k), q ∈ Q(k) (5.2), et l’on a int(uu0 )Q = int(g)Q.
Si k est infini, considérons l’ouvert V de U ×k U0 défini par le diagramme cartésien
U ×k U0
O
/ G
O
Â?
V
Â?
/ Gen(Q/P) ∩ Gen(Q/P0 );
comme V(k) 6= ∅ en vertu de ce qu’on vient de voir, V est dense dans U ×k U0 , donc
possède une section par 2.7.
Si k est fini, P (resp. P0 ) possède un sous-groupe de Borel B (resp. B0 ), en 487
vertu du théorème de Lang (cf. 5.1.5), les schémas Bor(P) ' Bor(P/ radu (P)) et
Bor(Q) ' Bor(Q/ radu (Q)) étant lisses. Si B1 est un sous-groupe de Borel opposé à
B (4.3.5 (i)), il existe a ∈ Bu (k) et a1 ∈ Bu1 (k) tels que int(aa1 )B = B0 (5.2) ; alors
B0 = int(aa1 )B1 = int(a)B1 est opposé à B0 et à B ; si Q0 est l’unique sous-groupe
parabolique de G contenant B0 et de même type que Q (3.8), Q0 est en position transversale relativement à P et P0 (4.2.1 (vi)). D’autre part par 5.2, Q0 s’écrit int(uu0 )Q
avec u0 ∈ U0 (k), u ∈ U(k) ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire 5.4. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P et Q deux
sous-groupes paraboliques de G. Il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P soit en position osculatrice relativement à Q, i.e. (4.4.2) que int(g)P ∩ Q soit un sous-groupe parabolique
de G.
En effet, en vertu de 4.3.5 (i), il existe un sous-groupe parabolique P0 de G, opposé
à P. En vertu de 5.3, il existe un sous-groupe parabolique P01 de G de même type
que P0 , en position transversale relativement à P et Q. Si T est un tore maximal de
P01 ∩ Q (4.2.7 (ii)), et si P1 est l’opposé de P01 relativement à T, alors P1 et Q sont
en position osculatrice, en vertu de 4.4.5. D’autre part, P et P1 étant opposés à P01 ,
C.Q.F.D.
il existe g ∈ radu (P01 )(S) tel que int(g)P = P1 (4.3.5 (i)).
Remarquons d’ailleurs que pour la même raison, il existe u ∈ radu (P)(S) tel que 488
int(u)P0 = P01 , donc que g s’écrit int(u)u0 avec u0 ∈ radu (P0 )(S), ce qui donne P1 =
int(uu0 u−1 )P = int(uu0 )P et redémontre au passage 5.2.
Les énoncés 5.3 et 5.4 sont les résultats essentiels de ce paragraphe. Énonçons
d’abord quelques conséquences de 5.4.
Corollaire 5.5. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif.
(i) Si P et Q sont deux sous-groupes paraboliques de G et si t(P) ⊂ t(Q) (cf. 3.3),
il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P ⊂ Q.
316
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
(ii) Soient
P1 ⊃ P2 ⊃ · · · · · · ⊃ Pn
489
et
P01 ⊃ P02 ⊃ · · · · · · ⊃ P0n
deux chaı̂nes de sous-groupes paraboliques de G telles que t(Pi ) = t(P0i ). Il existe
g ∈ G(S) tel que int(g)Pi = P0i pour chaque i.
(iii) Soient P, Q, P0 , Q0 quatre sous-groupes paraboliques de G tels que t(P) =
t(P0 ) et t(Q) = t(Q0 ). Si les couples (P, P0 ) et (Q, Q0 ) sont en position transversale
(resp. osculatrice), il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P = P0 et int(g)Q = Q0 .
(iv) Soient P et P0 deux sous-groupes paraboliques de même type, L (resp. L0 )
un sous-groupe de Levi de P (resp. P0 ). Il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P = P0 et
int(g)L = L0 .
Démonstration : (i) résulte aussitôt de 5.4 ; (ii) se démontre par récurrence sur n,
le cas n = 0 étant trivial ; on peut donc supposer Pi = P0i pour i = 1, . . . , n − 1 ; par
5.2 il existe g ∈ G(S) tel que int(g)Pn = P0n ; mais alors Pn et int(g)Pn sont contenus
dans Pn−1 = P0n−1 , donc g ∈ Pn−1 (S) (4.4.4 (ii)) et int(g)Pi = P0i pour i = 1, . . . , n.
D’autre part, (iv) résulte aussitôt de 5.2 et de 1.8. Démontrons (iii) dans le cas
« position transversale » ; l’assertion est une conséquence de (iv) lorsque les types
de P et Q sont opposés (4.3.3 (iii)) ; dans le cas général, on peut en vertu de 4.2.7
(iii) et 4.4.6, trouver des sous-groupes paraboliques P1 , P01 , Q1 , Q01 de P, P0 , Q,
Q0 respectivement, tels que P1 et P01 soient opposés, ainsi que Q1 et Q01 , et que
t(P1 ) = t(P01 ) ; il existe donc g ∈ G(S) tel que int(g)P1 = P01 , int(g)Q1 = Q01 , et on
peut supposer P1 = P01 et Q1 = Q01 ; mais alors P et P0 sont en position osculatrice et
de même type, donc P = P0 (4.4.4 (i)) ; pour la même raison Q = Q0 .
Il nous reste à démontrer l’assertion (iii) dans le cas « position osculatrice ». En
vertu du théorème de conjugaison (5.2), on peut supposer P = P0 ; en vertu du même
théorème, on peut trouver g ∈ G(S) tel que int(g)Q = Q0 ; mais alors g ∈ P(S) par
4.4.4 (ii) et l’on a int(g)P = P = P0 .
490
Définition 5.6. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G. On dit que P est minimal si chaque fois que Q est un sous-groupe
parabolique de G contenu dans P, on a Q = P.
On notera que ce n’est pas une notion stable par passage aux fibres en général.
Corollaire 5.7. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif.
(i) Soient t, t0 ∈ Of(Dyn(G))(S). S’il existe dans G un sous-groupe parabolique de
type t et un sous-groupe parabolique de type t0 , il existe un sous-groupe parabolique
de type t ∩ t0 . En particulier, il existe un plus petit élément tmin dans l’ensemble des
t(P), P parcourant l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G.
(ii) Tout sous-groupe parabolique de G contient un sous-groupe parabolique minimal. Pour qu’un sous-groupe parabolique de G soit minimal, il faut et il suffit qu’il
soit de type tmin . Deux sous-groupes paraboliques minimaux de G sont conjugués par
un élément de G(S).
Cela résulte aussitôt de 5.4 et 5.5 (i).
5. THÉORÈME DE CONJUGAISON
317
Remarque 5.8. — Un sous-groupe parabolique opposé à un sous-groupe parabolique
minimal est également minimal ; ceci entraı̂ne s(tmin ) = tmin .
491
Corollaire 5.9. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe parabolique de G. Le morphisme canonique
G −→ G/P = X
fait de G un X-fibré localement trivial (au sens de Zariski) de groupe PX . Si L est
un sous-groupe de Levi de P, le morphisme canonique (cf. 3.12)
G −→ G/L = Y
fait de G un Y-fibré localement trivial (au sens de Zariski) de groupe LY .
Il suffit de prouver que si on a un morphisme S0 → S, où S0 est local et un morphisme
S → X (resp. S0 → Y), il se remonte en un morphisme S0 → G. Autrement dit, on
peut supposer S local et on doit montrer que l’application G(S) → X(S) (resp. G(S) →
Y(S)) est surjective.
La première assertion a été démontrée en 5.2 ; démontrons la seconde. Soit y ∈ Y(S),
son image canonique dans X(S) provient d’un g ∈ G(S) ; la projection y 0 de g dans
Y(S) a donc même projection que y dans X(S). Il existe donc un unique u ∈ radu (P)(S)
tel que y 0 u = y, et la projection de gu dans Y(S) est bien y.
0
Corollaire 5.10. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif
492
(i) Soient P un sous-groupe parabolique de G, L un sous-groupe de Levi de P. Les
applications canoniques (cf. 3.21) induisent des bijections
∼
∼
H1 (S, L) −→ H1 (S, P) −→ H1t(P) (S, G).
(ii) Soient t, t0 ∈ Of(Dyn(G))(S), on a (cf. 3.21)
T
H1t (S, G) H1t0 (S, G) = H1t∩t0 (S, G).
(iii) Si P et Q sont deux sous-groupes paraboliques de G en position osculatrice, le
diagramme canonique suivant est cartésien et composé d’injections :
H1 (S, P)
O
/ H1 (S, G)
O
H1 (S, P ∩ Q)
/ H1 (S, Q)
Démontrons (i). L’application H1 (S, L) → H1 (S, P) est bijective par 2.3 ; l’application H1 (S, P) → H1t(P) (S, G) est surjective (3.21), montrons qu’elle est injective,
i.e. que l’application canonique H1 (S, P) → H1 (S, G) est injective. Soit Q un fibré
principal sous P, Q1 le fibré principal sous G associé, P0 et G0 les formes tordues de P
et G correspondantes. Il est clair que G0 est un S-groupe réductif et que P0 en est un
sous-groupe parabolique. L’ensemble des éléments de H1 (S, P) qui ont même image 493
que la classe de Q dans H1 (S, G) s’identifie naturellement au noyau de l’application
canonique H1 (S, P0 ) → H1 (S, G0 ), et celui-ci, par la suite exacte de cohomologie, à
318
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
l’ensemble des orbites de G0 (S) dans (G0 /P0 )(S) (Pour ces raisonnements de cohomologie non abélienne, voir la thèse de Giraud (27) . Mais G0 (S) opère transitivement dans
(G0 /P0 )(S) par 5.2.
Démontrons (ii) : soient Q un fibré principal homogène sous G et GQ la forme tordue
de G correspondante. Par définition (3.21), il nous faut prouver que GQ possède un
sous-groupe parabolique de type t ∩ t0 si et seulement si il possède des sous-groupes
paraboliques de type t et t0 , ce qui n’est autre que la conjonction de 3.8 et 5.7 (i).
Enfin, (iii) résulte aussitôt de (i) et de (ii).
Énonçons maintenant une conséquence de 5.3.
Corollaire 5.11. — Soient S un schéma semi-local, G un S-groupe réductif, P un sousgroupe parabolique de G. Si P 6= G, il existe au moins 3 sous-groupes paraboliques de
G, distincts, de même type que P ; autrement dit P 6= G entraı̂ne (G(S) : P(S)) > 3.
En effet, soit P0 un sous-groupe parabolique de G opposé à P (4.3.5 (i)). Comme
P 6= G, on a radu (P0 ) 6= e (par 4.3.2 par exemple). Par 2.1, radu (P0 )(S) 6= e ; soit donc
u ∈ radu (P0 )(S), u 6= e. Alors int(u)P 6= P, et en vertu de 5.3, il existe un P1 , de même
type que P, et opposé à P et int(u)P ; alors P1 , P et int(u)P sont trois sous-groupes
paraboliques distincts de G, de même type que P.
494
6. Sous-groupes paraboliques et tores déployés
Proposition 6.1. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, g = Lie(G/S), et Q
un sous-tore déployé de G. Écrivons Q = DS (M) et soit
a
g=
gα
α∈M
la décomposition de g sous l’action de Q. Soit M1 une partie de M telle que 0 ∈ M1
et que α, β ∈ M1 ⇒ α + β ∈ M1 .
(i) Il existe un unique sous-groupe lisse
` HM1 de G, à fibres connexes, contenant
CentrG (Q), et dont l’algèbre de Lie soit α∈M1 gα .
(ii) On a les implications suivantes :
M1 = {0}
=⇒
HM1 = CentrG (Q),
M1 = −M1 =⇒ HM1 est réductif,
M1 ∪ (−M1 ) = M =⇒ HM1 et H−M1 sont des sous-groupes paraboliques de G,
opposés, de sous-groupe de Levi commun HM1 ∩−M1 .
495
Pour démontrer (i) et (ii), qui sont locaux pour la topologie (fpqc), on peut supposer que Q est contenu dans un tore maximal T de G ; on peut de plus déployer
G relativement à T. L’assertion (i) résulte alors aussitôt de Exp. XXII, 5.3.5, 5.4.5
et 5.4.7 ; les assertions de (ii) résultent de Exp. XXII, 5.3.5, 5.10.1, 5.11.3 et de cet
exposé, 1.4 et 4.3.2.
(27) N.D.E.
: voir [Gi71], § III.3.
6. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES ET TORES DÉPLOYÉS
319
Corollaire 6.2. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, Q un sous-tore déployé
de G. Il existe un sous-groupe parabolique de G dont CentrG (Q) soit un sous-groupe
de Levi.
En effet, écrivant Q = DS (M), on choisit une structure d’ordre total sur le groupe
M, on appelle M1 l’ensemble des éléments positifs de M ; le groupe HM1 répond à la
question.
Corollaire 6.3. — Si le S-groupe réductif G possède un sous-tore déployé non central,
il possède un sous-groupe parabolique propre (i.e 6= G).
Par 5.9 et 5.10, on tire de 6.2 :
Corollaire 6.4. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, Q un sous-tore déployé de G. Le morphisme canonique G → G/ CentrG (Q) est une fibration localement
triviale.
Si S est semi-local, l’application G(S) → (G/ CentrG (Q))(S) est surjective, et l’application H1 (S, CentrG (Q)) → H1 (S, G) est injective.
6.5. Supposons S connexe. Si T est un S-tore et si T0 et T00 sont deux sous-tores
déployés de T, leur produit T0 · T00 (28) est également un sous-tore déployé de T. En 496
effet il s’identifie au quotient de T0 ×S T00 par T0 ∩ T00 , quotient qui est déployé par
Exp. IX, 2.11. Il en résulte que T possède un plus grand sous-tore déployé ; on le note
Tdép .
Lemme 6.6. — Soient S un schéma connexe, T un S-tore isotrivial, Tdép son plus
grand sous-tore déployé. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe un homomorphisme T → Gm, S distinct de e.
(ii) Tdép 6= e.
Comme T est supposé isotrivial, il existe un groupe fini Γ, un revêtement principal
galoisien connexe S0 → S de groupe Γ, et un isomorphisme TS0 ' DS0 (M) ; M est alors
muni d’une structure de Γ-module, et on a un isomorphisme naturel HomS (T, Gm, S ) =
H0 (Γ, M).
D’autre part, soit V le sous-espace vectoriel de M ⊗ Q engendré par les éléments
de la forme g(m) − m, g ∈ Γ, m ∈ M. On vérifie aussitôt que (Tdép )S0 s’identifie
à DS0 (M/M ∩ V). L’assertion (i) est donc équivalente à H0 (Γ, M) 6= 0, ou encore à
H0 (Γ, M ⊗ Q) 6= 0, tandis que l’assertion (ii) est équivalente à M 6= M ∩ V, ou encore
à M ⊗ Q 6= V. Or on a M ⊗ Q = H0 (Γ, M ⊗ Q) ⊕ V, comme on le vérifie aussitôt
(considérer le projecteur M ⊗ Q → H0 (Γ, M ⊗ Q) qui envoie x sur la moyenne des
transformés de x par Γ).
Lemme 6.7. — Soient S un schéma, G un S-groupe réductif, P un sous-groupe para- 497
bolique de G tel que P 6= G, L un sous-groupe de Levi de P, Q son radical. Il existe
un homomorphisme Q → Gm, S distinct de e.
(28) N.D.E.
: On a adopté la notation multiplicative, i.e. on a remplacé « leur somme T0 + T00 » par
« leur produit T0 · T00 ».
320
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Considérons le radical unipotent U de P ; il est invariant sous int(P), donc sous
int(Q). Considérons le OS -module inversible dét(Lie(U)) « puissance extérieure maximum » du OS -module localement libre Lie(U). La représentation adjointe définit un
homomorphisme de groupes
f:
Q −→ Aut(dét(Lie(U)) = Gm, S .
Si P 6= G, alors U 6= e. Choisissons un s ∈ S tel que Us 6= e. Déployant Gs relativement
à un tore maximal contenant Qs , on voit aussitôt que fs 6= e.
Proposition 6.8. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif,
P un sous-groupe parabolique de G, L un sous-groupe de Levi de P, Q son radical,
Qdép le plus grand sous-tore déployé de Q (i.e. le plus grand sous-tore central déployé
de L). Alors
L = CentrG (Qdép ).
498
Posons L0 = CentrG (Qdép ) ; c’est un sous-groupe réductif de G contenant L ; de
plus, P0 = P ∩ L0 est un sous-groupe parabolique de L0 , de sous-groupe de Levi L
(1.20). Si L0 6= L, alors L0 6⊂ P (car L est un sous-groupe réductif maximal de P,
cf. 1.7), donc P0 6= L0 .
Soient G1 le groupe dérivé de G, et P1 = P0 ∩ G1 . Par 1.19, P1 est un sous-groupe
parabolique du groupe semi-simple G1 , L1 = L ∩ G1 en est un sous-groupe de Levi, et
Q1 = rad(L1 ) = (rad(L) ∩ G1 )0 = (Q ∩ G1 )0 .
Comme L1 possède un tore maximal T1 (Exp. XIV, 3.20), et que celui-ci est isotrivial
(Exp. XXIV, 4.1.5), Q1 qui est un sous-tore de T1 est également isotrivial (Exp. IX,
2.11) ; comme P1 6= G1 , on peut appliquer 6.7 et 6.6 et l’on a donc (Q1 )dép 6= e,
d’où (Qdép ∩ G1 )0 6= e, donc Qdép 6⊂ rad(L0 ) (car rad(L0 ) ∩ G1 est fini), ce qui est
contradictoire avec la définition de L0 .
Corollaire 6.9. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif, Q
un sous-tore critique de G (i.e. tel que rad(CentrG (Q)) = Q). Pour que CentrG (Q)
soit sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique de G, il faut et il suffit que
CentrG (Q) = CentrG (Qdép ), c’est-à-dire que Lie(G)Q = Lie(G)Qdép .
Cela résulte de 6.2 et 6.8.
499
Corollaire 6.10. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif,
L un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe un sous-groupe parabolique de G dont L soit un sous-groupe de Levi.
(ii) Il existe un sous-tore déployé de G dont L soit le centralisateur.
(iii) Il existe un homomorphisme Gm, S → G dont L soit le centralisateur.
En effet, on a (i) ⇒ (ii) par 6.8, et (iii) ⇒ (i) par 6.1 ; reste à prouver (ii) ⇒ (iii).
Supposons donc L = CentrG (Q), avec Q = DS (M) ; écrivons g = Lie(G/S) et
a
g=
gα ,
α∈M
et soit R l’ensemble des α ∈ M − {0} tels que gα 6= 0.
6. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES ET TORES DÉPLOYÉS
321
Comme R est fini et ne contient pas 0, il existe un homomorphisme u : M → Z tel
que u(α) 6= 0 pour chaque α ∈ R. Par dualité, u donne un homomorphisme Gm, S → Q,
donc un homomorphisme f : Gm, S → G. On a CentrG (f ) ⊃ CentrG (Q) ; ce sont deux
sous-groupes lisses de G, à fibres connexes ; leurs algèbres de Lie coı̈ncident (car égales
toutes deux à g0 ) ; ils coı̈ncident donc, par un raisonnement habituel.
Corollaire 6.11. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif.
Les applications
L 7→ rad(L)dép ,
Q 7→ CentrG (Q)
sont des bijections réciproques l’une de l’autre, qui inversent les structures d’ordre
naturelles, entre l’ensemble des sous-groupes L de G qui sont des sous-groupes de Levi
de sous-groupes paraboliques de G et l’ensemble des sous-tores déployés Q de G tels
que rad(CentrG (Q))dép = Q.
Corollaire 6.12. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif. 500
Considérons les assertions suivantes :
(i) Il existe un sous-groupe parabolique de G distinct de G.
(ii) G possède un sous-tore déployé non central.
(ii bis) G possède un sous-tore déployé non central de dimension relative 1.
(iii) Il existe un homomorphisme de groupes Ga, S → G qui soit une immersion
fermée.
Alors on a (i) ⇔ (ii) ⇔ (ii bis) ⇒ (iii).
La seule assertion nouvelle est (i) ⇒ (iii). Soit donc P un sous-groupe parabolique
de G, distinct de G. Alors U = radu (P) 6= e. Considérons le dernier sous-groupe non
trivial Un de la suite de composition de U (2.1). On a un isomorphisme Un ' W(En ),
où En est un OS -module localement libre, donc libre (29) . Comme En 6= 0, il existe
un monomorphisme localement facteur direct OS → En , donc une immersion fermée
Ga, S = W(OS ) ,→ W(En ) ' Un , ce qui entraı̂ne aussitôt (iii).
Remarque 6.12.1. — Lorsque S est le spectre d’un corps de caractéristique 0, il résulte du théorème de Jacobson-Morozov que (iii) ⇒ (ii bis). Les quatre conditions
précédentes sont alors équivalentes (« critère de Godement » cf. [BT65], 8.5). (∗)
Définition 6.13. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif. 501
On dit que G est anisotrope si G ne contient aucun sous-tore déployé non réduit à e.
Corollaire 6.14. — Soit S un schéma semi-local connexe. Pour que le S-groupe réductif
G soit anisotrope, il faut et il suffit qu’il ne possède aucun sous-groupe parabolique
P 6= G, et que son radical soit anisotrope.
Utilisant maintenant 6.6, Exp. XXIV, 4.1.5, et Exp. XXII, 6.2, on en déduit :
(∗) Cela
est plus généralement vrai lorsque S est le spectre d’un corps parfait (Tits).
(29) N.D.E.
(30) N.D.E.
: puisque S est supposé semi-local et connexe.
: il s’agit du corollaire 3.7 de l’article [BT71].
(30)
322
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Corollaire 6.15. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif
isotrivial (par exemple G semi-simple, ou S normal (Exp. X 5.16)). Pour que G soit
anisotrope, il faut et il suffit que G ne possède aucun sous-groupe parabolique P 6= G,
et que HomS-gr (G, Gm, S ) = e.
Proposition 6.16. — Soient S un schéma semi-local connexe, G un S-groupe réductif.
Les sous-tores déployés maximaux de G sont les plus grands sous-tores centraux déployés des groupes de Levi des sous-groupes paraboliques minimaux de G. Deux tels
tores sont conjugués par un élément de G(S).
502
Soit Q un sous-tore déployé maximal de G. (31) Alors, d’après 6.2, L = CentrG (Q)
est sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique P de G, et comme Q ⊂
rad(CentrG (Q))dép , la maximalité de Q entraı̂ne Q = rad(CentrG (Q))dép . En vertu
de 6.11, L est un élément minimal de l’ensemble des sous-groupes de Levi de sousgroupes paraboliques de G, donc P est un sous-groupe parabolique minimal de G par
1.20. Il résulte alors de 5.7 et 5.5 (iv) que deux sous-tores tels que Q sont conjugués
par une section de G(S). La conjugaison des Q et des couples (P, L) entraı̂ne alors la
première assertion de 6.16.
Corollaire 6.17. — Soient S un schéma semi-local connexe, P et P0 deux sous-groupes
paraboliques minimaux en position standard (4.5.1.1). Alors P ∩ P0 contient un sousgroupe de Levi commun à P et P0 .
En effet, P ∩ P0 contient un tore maximal T de G, d’après 4.5.1 (v) ; soit L l’unique
sous-groupe de Levi de P contenant T. On a
rad(P) ∩ T = rad(P) ∩ L = rad(L)
par 1.21, donc rad(P) ∩ T contient rad(L)dép qui est un sous-tore déployé maximal de
G, donc est nécessairement égal à Tdép . On a donc L = CentrG (Tdép ), et par symétrie
L est aussi un sous-groupe de Levi de P0 .
Remarque 6.18. — Il résulte de 1.21 que le sous-groupe parabolique P de G est minimal si et seulement si rad(P) contient un sous-tore déployé maximal de G ; alors,
d’après 6.17, si T est un tore maximal P, Tdép est un tore maximal de G et de rad(P)
et CentrG (Tdép ) est un sous-groupe de Levi de P. De plus, tout sous-groupe de Levi
de P s’obtient de cette manière.
503
7. Donnée radicielle relative
Dans ce paragraphe, S désignera un schéma semi-local connexe non vide, G un
S-groupe réductif, Q un sous-tore déployé maximal de G, et L le centralisateur de Q
dans G, i.e. L = CentrG (Q).
(31) N.D.E.
: On a détaillé la phrase qui suit.
7. DONNÉE RADICIELLE RELATIVE
323
7.1. Comme Q est le plus grand sous-tore central trivial de L, toute section de G(S)
qui normalise L normalise aussi Q. On a donc (cf. 7.1.1)
NormG (L)(S) = NormG (Q)(S).
D’autre part, on a vu en 6.4 que l’application G(S) → (G/L)(S) est surjective. Il
s’ensuit qu’on a une identification canonique
WG (Q)(S) = (NormG (Q)/ CentrG (Q))(S) ' NormG (L)(S)/L(S).
On désignera par M le groupe HomS-gr (Q, Gm, S ), de telle sorte qu’on a un isomorphisme canonique Q ' DS (M). On notera W le groupe d’automorphismes de M défini
par WG (Q)(S). On a donc des isomorphismes
W ' WG (Q)(S) ' NormG (L)(S)/L(S).
7.1.1. — On n’a pas en général NormG (L) = NormG (Q). Prenons par exemple pour
S le spectre d’un corps k, possédant une extension quadratique k 0 , pour G le groupe
unitaire GkqÉp
0 /k (A2 ) (cf. Exp. XXIV, 3.11.2).
Comme les sous-groupes paraboliques minimaux de G sont ses groupes de Borel, 504
leurs sous-groupes de Levi sont des tores maximaux, et on a (NormG (L)/L)(k) = S3 .
D’autre part, comme G n’est pas déployé, les tores déployés maximaux de G sont
de dimension 6 1, donc isomorphes à Gm, k . Comme NormG (Q)/L opère fidèlement
dans Q, on a (NormG (Q)/Q)(k) = Z/2Z.
7.2. Si P est un sous-groupe parabolique de G de groupe de Levi L (il en existe par
6.2), P est nécessairement minimal (cf. 6.18). En vertu de la conjugaison des sousgroupes paraboliques minimaux de G (5.7), de celle des sous-groupes de Levi d’un
sous-groupe parabolique (1.8), et des égalités P = NormG (P) et NormG (L) ∩ P = L
(1.6), on obtient : l’ensemble des sous-groupes paraboliques (minimaux ) de G de
groupe de Levi L est principal homogène sous le groupe W.
7.3. L’algèbre de Lie de G se décompose sous l’action de Q en
a
Lie(G) = Lie(L) ⊕
Lie(G)α ,
α∈R
où R est l’ensemble des caractères non nuls de Q tels que Lie(G)α 6= 0 (racines de G
relativement à Q).
Désignons par M∗ le groupe HomS-gr (Gm, S , Q), qui est en dualité avec M et sur
lequel W opère de manière naturelle par transport de structure.
Théorème 7.4. — Avec les notations de 7.3, il existe une unique application α 7→ α∗ 505
de R dans M∗ qui définisse dans (M, M∗ ) une donnée radicielle (Exp. XXI, 1.1) dont
le groupe de Weyl soit W.
De plus, les sous-groupes paraboliques P de G de groupe de Levi L et les systèmes
de racines positives R+ de R se correspondent bijectivement par la relation
a
Lie(P) = Lie(L) ⊕
Lie(G)α .
α∈R+
324
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
7.4.1. — Supposons d’abord prouvée l’existence de l’application α 7→ α∗ demandée.
En vertu de Exp. XXI, 3.4.10, sα est l’unique élément de W tel que pour tout m ∈ M,
sα (m) − m soit un multiple rationnel de α, ce qui montre que sα est déterminé par
α ; comme on a alors (32) α∗ (m) α = m − sα (m), on voit que α∗ est déterminé par α,
ce qui prouve l’unicité de l’application α 7→ α∗ .
7.4.2. — Soit α ∈ R et soit Lα (resp. Hα , resp. H−α ) l’unique sous-groupe lisse et à
fibres connexes de G contenant L et tel que (cf. 6.1 (i))
a
Lie(Lα ) = Lie(L) ⊕
Lie(G)γ
γ∈Zα∩R
resp.
Lie(Hα ) = Lie(L) ⊕
a
Lie(G)γ ,
γ∈Nα∩R
resp.
Lie(H−α ) = Lie(L) ⊕
a
Lie(G)γ ;
γ∈−Nα∩R
506
Lα est un sous-groupe réductif de G, Hα et H−α en sont des sous-groupes paraboliques
de sous-groupe de Levi L, et Hα et H−α sont opposés relativement à L (cf. 6.1 (ii)).
Par 7.2, il existe donc sα ∈ NormLα (Q)(S)/L(S) ⊂ W tel que sα (Hα ) = H−α . On a
sα (α) = −α (car α (resp. − α) est le diviseur commun des éléments de R intervenant
dans Hα (resp. H−α )), et on a s2α = id (car s2α (Hα ) et Hα sont tous deux opposés
à H−α relativement à L). On a donc construit un sα ∈ W vérifiant les propriétés
suivantes :
(x)
(xx)
sα (α) = −α,
s2α = id
sα peut se représenter par un élément de Lα (S).
Remarquons d’ailleurs que sα est construit de manière canonique à partir de α, et en
particulier que
(xxx)
pour tout w ∈ W, on a wsα w−1 = sw(α) .
7.4.3. — Nous nous proposons maintenant de prouver l’assertion :
(xxxx)
507
pour tout m ∈ M, sα (m) − m ∈ Zα.
Comme S est connexe, cette assertion est locale pour la topologie (fpqc). On peut
donc supposer que Lα = G1 est déployable relativement à un tore maximal T1 de L.
Soit donc (G1 , T1 , M1 , R1 ) un tel déploiement. Le monomorphisme Q → T1 identifie
M à un quotient de M1 , soit p : M1 → M l’application canonique.
L’image de R1 par p est formée éventuellement de zéro et des racines de G1 par
rapport à Q (donc des éléments de R multiples entiers de α) ; on a donc p(R1 ) ⊂ Zα.
En vertu de (xx), il existe un élément de NormG1 (L)(S) qui induit sα sur Q. En vertu
de Exp. XXII, 5.10.10, il existe donc une section w ∈ (W1 )S (S) qui induit sα sur Q
(on dénote par W1 le groupe de Weyl de la donnée radicielle (M1 , R1 , . . .)). Quitte à
(32) N.D.E.
: On a corrigé α∗ (m) en α∗ (m) α.
7. DONNÉE RADICIELLE RELATIVE
325
restreindre S, on peut donc supposer qu’il existe w ∈ W1 induisant sα sur Q, donc
vérifiant p(w(m1 )) = sα (p(m1 )) pour tout m1 ∈ M1 . Mais, par définition de W1 ,
w est un produit de symétries par rapport à des éléments de R1 , donc w(m1 ) − m1
est une combinaison linéaire à coefficients entiers des éléments de R1 . Il s’ensuit que
sα (p(m1 )) − p(m1 ) est une combinaison linéaire à coefficients entiers des éléments de
p(R1 ) ⊂ Zα, donc un multiple entier de α, ce qu’il fallait démontrer.
7.4.4. — On peut donc définir un élément α∗ ∈ M∗ par
(33)
α∗ (m) α = m − sα (m).
En vertu de (x), on a (α∗ , α) = 2 ; il résulte d’autre part de (xxx) que pour tout couple
(α, α0 ) ∈ R×R, on a sα (α0 ) ∈ R et sα (α0∗ ) = sα (α0 )∗ , ce qui prouve (cf. Exp. XXI, 1.1)
que l’application α 7→ α∗ construite définit bien une donnée radicielle dans (M, M∗ ).
7.4.5. — Soit W0 le groupe de Weyl de cette donnée radicielle (groupe de transformations de M engendré par les sα ) ; on a W0 ⊂ W.
Soit d’autre part > une relation d’ordre total sur le groupe abélien libre M ; posons 508
R+ = {α ∈ R | α > 0}. On sait que R+ est un système de racines positives de R.
Soit w ∈ W, représenté par un n ∈ NormG (L)(S) = NormG (Q)(S). Posons P = HR+
(notation de 6.1) ; en vertu de loc. cit., P est un sous-groupe parabolique de G, de
sous-groupe de Levi L. On a évidemment int(n)P = Hw(R+ ) . Il résulte alors de 7.3
que w(R+ ) = R+ entraı̂ne w = e. Comme le groupe W0 opère transitivement sur les
systèmes de racines positives de R (Exp. XXI, 3.3.7) et que le stabilisateur dans W de
R+ est l’identité, on en conclut aussitôt que W = W0 . On en conclut également que
W = W0 opère de façon simplement transitive à la fois sur l’ensemble des systèmes de
racines positives de R et sur l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G de groupe
de Levi L, ce qui entraı̂ne la dernière assertion de 7.4.
C.Q.F.D.
7.5. Si P et P1 sont deux sous-groupes paraboliques minimaux de G, de sous-groupes
de Levi L et L1 , et si on désigne par Q et Q1 les tores centraux déployés maximaux
de L et L1 , alors les couples (P, Q) et (P1 , Q1 ) sont conjugués : il existe g ∈ G(S) tel
que int(g)P = P1 et int(g)Q = Q1 .
En effet, P et P1 sont conjugués (5.7) et on peut donc supposer P = P1 ; alors L et
L1 sont conjugués par une section de P(S) (1.8). De plus, si g et g 0 sont deux sections
de G conjuguant les couples (P, Q) et (P1 , Q1 ), alors g 0−1 g normalise P et Q, donc P
et L ; mais
NormG (P) ∩ NormG (L) = P ∩ NormG (L) = L = CentrG (Q).
∼
L’isomorphisme Q −→ Q1 induit par int(g) est donc indépendant de g.
509
Soient R et R1 les données radicielles définies grâce à 7.4 dans HomS-gr. (Q, Gm, S )
et HomS-gr. (Q1 , Gm, S ) et soient R+ et R1+ les systèmes de racines positives corres∼
pondant à P et P1 . L’isomorphisme canonique Q −→ Q1 défini ci-dessus transforme
(33) N.D.E.
: On a corrigé α∗ (m) en α∗ (m) α.
326
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
(R, R+ ) en (R1 , R1+ ). On en déduit aussitôt que l’on peut définir la donnée radicielle relative épinglée (34) de G sur S, en identifiant les différents (R, R+ ) à l’aide du
système transitif d’isomorphismes décrit ci-dessus.
À partir de maintenant, nous noterons (M, M∗ , R, R∗ , R+ ) = R(G/S) cette donnée
radicielle épinglée ; pour chaque couple P ⊃ Q comme ci-dessus, on a donc un isomor∼
phisme canonique M −→ HomS-gr. (Q, Gm, S ) transformant R (resp. R+ ) en l’ensemble
des racines de G (resp. de P) relativement à Q, et W(R) en WG (Q)(S).
7.6. Soit toujours Q un tore déployé maximal de G, P un sous-groupe parabolique
(minimal) de G de groupe de Levi CentrG (Q), (M, M∗ , R, R∗ , R+ ) la donnée radicielle
épinglée correspondante (7.4), et ∆ l’ensemble des racines simples de R+ . Pour tout
A ⊂ ∆, soit RA ⊂ R l’ensemble
RA = R+ ∪ (ZA ∩ R− )
510
formé des racines positives et des racines négatives combinaisons linéaires des éléments
de A. C’est un ensemble clos (Exp. XXI, 3.1.4) de racines, et tout ensemble clos
contenant R+ se met de façon unique sous cette forme (Exp. XXI, 3.3.10). Par 6.1, il
existe un unique sous-groupe PA de G, lisse et à fibres connexes, contenant CentrG (Q)
et tel que
a
Lie(PA ) = Lie(G)0 ⊕
Lie(G)α .
α∈RA
Il résulte alors aussitôt de 6.1, de la conjugaison des paraboliques minimaux, et du
fait que l’ensemble des racines d’un sous-groupe parabolique de G contenant Q est
clos (qui se déduit aussitôt de 1.4 par déploiement) que :
Proposition 7.7. — (i) L’application A 7→ PA est une bijection de l’ensemble des parties de ∆ sur l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G contenant P. Cette bijection conserve les relations d’ordre naturelles d’inclusion.
(ii) Tout sous-groupe parabolique de G est conjugué par une section de G(S) à un
unique PA .
7.8. Soit P ⊃ Q comme ci-dessus. Considérons la donnée radicielle relative (7.5) de
G sur S et l’isomorphisme canonique
f:
∼
(M, M∗ , R, R∗ , R+ ) −→ (M, M∗ , R, R∗ , R+ ).
L’ensemble ∆ des racines simples de R+ est transformé en l’ensemble ∆ des racines
simples de R+ , donc toute partie A de ∆ en une partie f (A) ⊂ ∆.
511
Définition 7.9.0. — (35) Soit H un sous-groupe parabolique de G quelconque. Par 7.7
(ii), il est conjugué à un unique PA . Notons tr (H) = f (A) ⊂ ∆. On vérifie aussitôt
à l’aide des théorèmes de conjugaison que tr (H) est indépendant du choix du couple
P ⊃ Q. On dit que c’est le type relatif de H.
(34) N.D.E.
: Rappelons (Exp. XXIII 1.5) qu’une donnée radicielle épinglée est une donnée radicielle
munie du choix d’un système de racines positives (ou de racines simples).
(35) N.D.E. : On a ajouté la numérotation 7.9.0 pour mettre en évidence la définition du « type
relatif ».
7. DONNÉE RADICIELLE RELATIVE
327
Proposition 7.9. — (i) L’application H 7→ tr (H) induit une bijection entre l’ensemble
des classes de conjugaison (par G(S)) des sous-groupes paraboliques de G, et l’ensemble des parties de ∆.
(ii) Soient H un sous-groupe parabolique de G, P un sous-groupe parabolique minimal contenu dans H, Q le tore déployé central maximal d’un sous-groupe de Levi de P,
∼
∆ l’ensemble des racines simples de P relativement à Q et f : ∆ −→ ∆ l’isomorphisme
canonique. Alors, pour tout α ∈ ∆, on a l’équivalence :
f (α) ∈ tr (H)
⇐⇒
Lie(H)−α 6= 0
et l’on a H = PA , où A = f −1 (tr (H)).
(iii) Si H et H0 sont deux sous-groupes paraboliques de G contenant P, alors (voir
3.8.1 (ii) et 5.5 (i) pour d’autres conditions équivalentes) :
tr (H) ⊂ tr (H0 )
⇐⇒
t(H) ⊂ t(H0 )
7.10. On peut étudier les positions relatives de deux sous-groupes paraboliques mi- 512
nimaux ; les résultats sont les suivants (on renvoie à 4.5.2 pour la notation t2 (P, P1 )) :
(1) Si P, P1 , P0 , P01 sont quatre sous-groupes paraboliques minimaux de G, alors
t2 (P, P1 ) = t2 (P0 , P01 ) (i.e. (P, P1 ) et (P0 , P01 ) sont conjugués localement pour (fpqc))
si et seulement si il existe g ∈ G(S) tel que int(g)P = P0 et int(g)P1 = P01 .
(2) Fixons-nous en particulier un sous-groupe parabolique minimal P de sousgroupe de Levi L et soit T un tore maximal de L. Considérons le schéma Partmin (G; P)
des sous-groupes paraboliques minimaux de G en position standard relativement à P.
On a un morphisme (cf. 4.5.5)
f : Partmin (G; P) −→ WP (T)\WG (T)/WP (T)
dont les fibres sont « les orbites de P dans Partmin (G; P) ». En vertu de (1), f induit
donc un monomorphisme
¡
¢
P(S)\ Partmin (G; P)(S) ,→ WP (T)\WG (T)/WP (T) (S).
L’image de ce morphisme s’identifie à W ; c’est le théorème de Bruhat : chaque orbite
de P(S) dans Partmin (G; P)(S) contient un et un seul sous-groupe parabolique de G
de groupe de Levi L (c’est-à-dire de la forme int(n)P, où n ∈ NormG (L)).
(3) En d’autres termes, soit E(S) l’ensemble des g ∈ G(S) tels que int(g)P et P
soient en position mutuelle standard. Alors E(S) possède une partition en doubles
classes modulo P(S) indexée par W :
E(S) = P(S) W P(S)
(notation évidente). Posant U = radu (P)(S), on peut aussi écrire
E(S) = U(S) · NormG (L)(S) · U(S),
mettant ainsi en évidence une partition de E(S) en doubles classes modulo U(S),
indexée par NormG (L)(S).
(4) Si S est le spectre d’un corps, alors E(S) = G(S), et on retrouve [BT65], 5.15.
513
328
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
Contre-exemples 7.11. — Soient S =¡ Spec(Z/4Z),
G = SL2, S . Soit
¢
¡ B1 ¢le sous-groupe de
Borel habituel formé des matrices ac db avec c = 0. Soit g = −1
2 1 ∈ G(S), posons
B0 = int(g)B. Alors B(S) = B0 (S), et B ∩ B0 ne contient pas de tore maximal (36) . Cela
montre d’une part que deux sous-groupes paraboliques minimaux distincts peuvent
avoir le même groupe de sections, d’autre part qu’il n’existe pas en général de critère
permettant de reconnaı̂tre si deux sous-groupes paraboliques minimaux P et P0 sont
en position standard, à l’aide uniquement des groupes P(S) et P0 (S). En particulier,
la partie E(S) de G(S) ne semble pas pouvoir être définie à l’aide uniquement de la
situation {G(S), P(S), NormG (L)(S)} (dans le cas précédent, cette partie est définie
par c 6= 2 (37) ).
514
7.12. On se propose maintenant d’étudier la variation de R(G/S) avec S. Soit donc
S0 un S-schéma, également semi-local connexe et non vide. Soit Q un tore déployé
maximal de G ; alors QS0 est un tore déployé de GS0 , soit Q0 un tore déployé maximal
de GS0 contenant QS0 . Posons
M = HomS-gr. (Q, Gm, S ) ' HomS0 -gr. (QS0 , Gm, S0 )
M0 = HomS0 -gr. (Q0 , Gm, S0 ).
Le monomorphisme QS0 → Q0 induit un épimorphisme u : M0 → M. Notons
L0 = CentrGS0 (Q0 ),
L = CentrG (Q),
on a L0 ⊂ LS0 .
Si H est un sous-groupe de G contenant L, alors HS0 contient L0 , et on a
a
Lie(H) = Lie(L) ⊕
Lie(H)α
α∈RH
0
Lie(HS0 ) = Lie(L ) ⊕
a
0
Lie(HS0 )α ,
α0 ∈R0H
S0
où RH (resp. R0HS0 ) désigne l’ensemble des racines de H (resp. HS0 ) relativement à Q
(resp. Q0 ). On en tire immédiatement que
RH ⊂ u(R0HS0 ) ⊂ RH ∪ {0}.
Prenant H = G, on voit d’abord que R ⊂ u(R0 ) ⊂ R ∪ {0} ; prenant ensuite pour
H un sous-groupe parabolique minimal P de sous-groupe de Levi L, on voit que R0HS0
contient un système de racines positives de R0 , donc (7.4) qu’il existe un sous-groupe
parabolique minimal P0 de GS0 de sous-groupe de Levi L0 contenu dans PS0 . On a
(36) N.D.E. : En effet, B0 est le sous-groupe de G défini par l’équation c = 2(a + b) ; alors B ∩ B0 n’est
pas plat sur S, donc ne contient pas de tore maximal, d’après 4.5.1.
(37) N.D.E. : Plus généralement, pour tout S-schéma S0 , E(S0 ) est défini par la condition : « c est nul
ou bien inversible ».
7. DONNÉE RADICIELLE RELATIVE
329
donc construit un diagramme
Q S0
⊂
∩
Q0
L S0
⊂
∪
⊂
L0
PS0
∪
⊂
P0 .
Si R+ (resp. ∆) est le système de racines positives (resp. simples) de R défini par P
et si on définit de même R0+ et ∆0 , on vérifie facilement que
R+ ⊂ u(R0+ ) ⊂ R+ ∪ {0},
515
∆ ⊂ u(∆0 ) ⊂ ∆ ∪ {0}.
Soient maintenant w ∈ W ' NormG (Q)(S)/ CentrG (Q)(S), et n ∈ NormG (Q)(S)
un représentant de w. On a int(n)Q = Q donc int(n)L = L, donc int(n)LS0 = LS0 .
Alors Q0 et int(n)Q0 sont deux tores déployés maximaux de LS0 donc sont conjugués
par une section x ∈ L(S0 ), et on a int(nx)Q0 = Q0 , donc nx ∈ NormGS0 (Q0 )(S0 ).
Soit w0 l’image de n0 = nx dans W0 ' NormGS0 (Q0 )(S0 )/ CentrGS0 (Q0 )(S0 ). Il est clair
que l’opération de w0 sur M0 est compatible avec la projection u : M0 → M et que
l’opération induite sur M coı̈ncide avec celle définie par w.
Utilisant maintenant la définition des données radicielles relatives et les théorèmes
de conjugaison, on démontre sans peine :
Théorème 7.13. — Soient S et S0 deux schémas semi-locaux connexes non vides, S0 →
S un morphisme de S-schémas, G un S-groupe réductif,
R(G/S) = (M, M∗ , R, R∗ , R+ ),
R(GS0 /S0 ) = (M0 , M0∗ , R0 , R0∗ , R0+ )
les données radicielles épinglées relatives. Il existe un homomorphisme canonique
u : M0 −→ M
vérifiant les conditions suivantes :
516
(i) u est surjectif.
(ii) Pour tout w ∈ W, il existe un élément w0 de W0 compatible avec u et qui
induise w sur M.
(iii) Pour toute partie X de M, notons X∧ = X ∩ (M − {0}). Alors
u(R0+ )∧ = R+ ,
u(∆0 )∧ = ∆.
(iv) Pour tout sous-groupe parabolique H, considérons tr (H) ⊂ ∆ et tr (HS0 ) ⊂ ∆0 .
Alors
¡
¢
tr (HS0 ) = u−1 tr (H) ∪ {0} ∩ ∆0 = {α0 ∈ ∆0 | u(α0 ) ∈ tr (H) ou u(α0 ) = 0}.
Remarque 7.14. — Si G est déployable sur S, ses tores déployés maximaux sont des
tores maximaux, et les notions relatives introduites ici coı̈ncident alors avec les notations absolues déjà introduites. Le théorème précédent donne donc une description
de la donnée radicielle relative R(G/S) et du type relatif tr , à l’aide de la donnée
radicielle absolue et du type absolu du groupe GS0 , S0 étant choisi de telle manière
que GS0 soit déployable (cf. Exp. XXIV, 4.4.1). Renvoyons à [BT65], 6.12 et sq. pour
cette description.
330
517
EXPOSÉ XXVI. SOUS-GROUPES PARABOLIQUES DES GROUPES RÉDUCTIFS
7.15. Soient S un schéma local hensélien, s0 son point fermé, S0 le spectre du corps
résiduel de s0 , identifié à un sous-schéma fermé de S ; pour tout objet X au-dessus
de S, notons X0 l’objet au-dessus de S0 déduit de X par changement de base. Soit
enfin G un S-groupe réductif. Pour tout sous-groupe parabolique P de G, P0 est un
sous-groupe parabolique de G0 ; inversement, pour tout sous-groupe parabolique P
de G0 , il existe un sous-groupe parabolique P de G tel que P0 = P (cela résulte du
lemme de Hensel et de ce que Par(G) est un S-schéma lisse) ; en particulier (cf. 5.7),
un sous-groupe parabolique P de G est minimal si et seulement si P0 est minimal. Un
tel sous-groupe P de G étant choisi, un raisonnement analogue montre que les soustores déployés maximaux de P0 sont de la forme T0 , où T est un sous-tore déployé
maximal de P. Il s’ensuit sans difficultés que les données radicielles relatives de G
sur S et de G0 sur S0 sont canoniquement isomorphes, de sorte que la théorie des
sous-groupes paraboliques de G se ramène à celle des sous-groupes paraboliques de
G0 .
Remarquons d’ailleurs que tout S0 -groupe réductif est de la forme G0 (Exp. XXIV,
Prop. 1.21), ce qui permet inversement de ramener l’étude des sous-groupes paraboliques d’un S0 -groupe réductif à l’étude correspondante sur S.
Bibliographie
[BT65] A. Borel, J. Tits, Groupes réductifs, Publ. Math. I.H.É.S. 27 (1965), 55-150.
(38)
[BT71] A. Borel, J. Tits, Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes
réductifs. I, Invent. Math. 12 (1971), 95-104.
[Ch05] C. Chevalley, Classification des groupes algébriques semi-simples (avec la
collaboration de P. Cartier, A. Grothendieck, M. Lazard), Collected Works,
vol. 3, Springer, 2005.
[DG70] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques, Masson & North-Holland,
1970.
[Gi71] J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Springer-Verlag, 1971.
(38) N.D.E.
: On a ajouté à cette référence, figurant dans l’original, les références qui suivent.

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