Correction exercice 4
1. On a, d’une part, F∩G⊂Fet F∩H⊂F, d’où (F∩G) + (F∩H)⊂F. D’autre
part, F∩G⊂Get F∩H⊂Hd’où (F∩G)+(F∩H)⊂G+H. On en déduit que :
(F∩G)+(F∩H)⊂F∩(G+H).
2. Puisque Get Hjouent des rôles symétriques, on peut supposer que G⊂F. Soit ~x ∈
F∩(G+H). Alors, ~x ∈Fet il existe ~g ∈Get ~
h∈Htels que ~x =~g +~
h. On en déduit
que ~
h=~x −~g ∈Fcar ~x ∈Fet ~g ∈G⊂F. Puisque ~x =~g +~
hoù ~g ∈G=F∩Get
~
h∈F∩Hon obtient que F∩(G+H)⊂(F∩G)+(F∩H).
On déduit l’égalité des deux espaces vectoriels grâce au premier point.
3. Prenons, par exemple, E=R2,F={(α, 0) ∈R2|α∈R},G={(0, β)∈R2|β∈R}et
H={(λ, λ)∈R2|λ∈R}.
On a F∩G={(0,0)}et F∩H={(0,0)}, d’où (F∩G) + (F∩H) = {0}. Etant donné
que G+H=Eon obtient F∩(G+H) = F6={0}.
Correction exercice 5
1. Montrons que U1est un sous-espace vectoriel de V. Soient f, g ∈U1et α∈E. Soit
x∈Earbitraire. Alors (f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x)=(f+g)(−x). Donc
(f+g)∈U1. De plus, (αf)(x) = α·f(x) = α·f(−x)=(αf)(−x), et donc αf ∈U1.
Alors U1est un sous-espace vectoriel. De façon similaire, nous montrons que U2est un
sous-espace vectoriel de V.
2. En considérant quelques exemples concrets, on se rend bientôt compte que la somme U1+
U2contient assez beaucoup d’éléments. Comme tout polynôme est la somme d’un polynôme
pair et d’un polynôme impair, on voit par exemple que U1+U2contient tous les polynômes.
On est donc mené à soupçonner que U1+U2=V.
Vérifions les deux inclusions. Par définition, U1+U2est un sous-ensemble, même un
sous-espace vectoriel, de V. Pour montrer que V⊆U1+U2, prenons f∈V. Définissons
f1, f2E→Epar f1(x) = 1
2f(x) + f(−x)et f2(x) = 1
2f(x)−f(−x)pour tout
x∈E, respectivement. Alors f1(−x) = 1
2f(−x) + f(x)) = 1
2f(x) + f(−x)) = f1(x)et
f2(−x) = 1
2f(−x)−f(x)=1
2−f(x) + f(−x)=−f2(x)pour x∈Earbitraire. Donc
f1∈U1et f2∈U2. Or, (f1+f2)(x) = 1
2f(x) + f(−x) + f(x)−f(−x)=f(x)pour tout
x∈E, et alors f1+f2=f. Nous avons donc réussi à écrire n’importe quel élément fde
Vcomme une somme d’un élément de U1et d’un élément de U2. Par conséquent, nous
avons prouvé que V⊆U1+U2.
En résumé, nous avons démontré que U1+U2=V.
3. Pour répondre à cette question, il nous faut calculer U1∩U2. Soit f∈U1∩U2et x∈E.
Alors f(x) = f(−x)comme f∈U1et f(x) = −f(−x)comme f∈U2. Cela nous donne
que f(x) = −f(x)et donc que 2f(x) = 0. Alors on a forcément f(x)=0pour tout x∈E
et donc f= 0. Comme 0est clairement un élément de U1∩U2, nous avons trouvé que
U1∩U2={0}. Par définition, U1et U2sont donc en somme directe.
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